Симплектикалық манифольдтар – дифференциалдық геометриядағы маңызды объектілер. Қозғалыс теңдеулерін, фазалық кеңістікті зерттеуге қолданылады. Симплектикалық геометрия.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы көптік түрі
Type of manifold in differential geometry
Дифференциалдық геометрияда, математиканың бір саласы, симплектикалық көптік – тегіс көптік, , жабық және дегенеративті емес дифференциалдық 2-формамен жабдықталған, бұл симплектикалық форма деп аталады. Симплектикалық көптіктерді зерттеу симплектикалық геометрия немесе симплектикалық топология деп аталады. Симплектикалық көптіктер классикалық және аналитикалық механиканың абстрактілі тұжырымдамаларында көптіктердің котангенттік бундельдері ретінде табиғи түрде пайда болады. Мысалы, классикалық механиканың Гамильтондық формуласында, бұл саланың маңызды қозғаушы күштерінің бірі, жүйенің барлық мүмкін конфигурациялары жиынтығы көптік ретінде модеделденеді, ал осы көптіктің котангенттік бундельі жүйенің фазалық кеңістігін сипаттайды.
In differential geometry, a subject of mathematics, a symplectic manifold is a smooth manifold, , equipped with a closed nondegenerate differential 2 form , called the symplectic form. The study of symplectic manifolds is called symplectic geometry or symplectic topology. Symplectic manifolds arise naturally in abstract formulations of classical mechanics and analytical mechanics as the cotangent bundles of manifolds. For example, in the Hamiltonian formulation of classical mechanics, which provides one of the major motivations for the field, the set of all possible configurations of a system is modeled as a manifold, and this manifold's cotangent bundle describes the phase space of the system.
Мотивация
Симплектикалық көптіктер классикалық механикадан туындайды; атап айтқанда, олар жабық жүйенің фазалық кеңістігінің жалпыламасы болып табылады. Гамильтон теңдеулері дифференциалдық теңдеулер жиынтығынан жүйенің уақыт бойынша өзгеруін шығаруға мүмкіндік беретіндей, симплектикалық форма Гамильтон функциясының дифференциалынан жүйенің ағынын сипаттайтын векторлық өрісті алуға мүмкіндік беруі керек. Сондықтан, бізге тангенциалдық көптіктен котангенциалдық көптікке дейінгі сызықтық бейнелеу қажет, немесе, эквивалентті түрде, элементі қажет. -нің қимасы деп белгілесек, деген талаптың бұрмаланбауы, кез келген дифференциал үшін сәйкес келетін бірегей векторлық өріс бар екенін қамтамасыз етеді, мұндай шарты орындалады. Гамильтонның ағын сызықтары бойында тұрақты болуын қаласақ, болуы керек, бұл көздерін ауыстырады және демек, 2-форма болады. Соңында, ағын сызықтары бойынша өзгермеуі керек, яғни бойынша Ли туындысы жоғалуы керек. Картан формуласын қолданғанда, бұл (мұнда ішкі көбейтінді):
Symplectic manifolds arise from classical mechanics; in particular, they are a generalization of the phase space of a closed system. In the same way the Hamilton equations allow one to derive the time evolution of a system from a set of differential equations, the symplectic form should allow one to obtain a vector field describing the flow of the system from the differential of a Hamiltonian function So we require a linear map from the tangent manifold to the cotangent manifold , or equivalently, an element of Letting denote a section of , the requirement that be non degenerate ensures that for every differential there is a unique corresponding vector field such that Since one desires the Hamiltonian to be constant along flow lines, one should have , which implies that is alternating and hence a 2 form. Finally, one makes the requirement that should not change under flow lines, i. e. that the Lie derivative of along vanishes. Applying Cartan's formula, this amounts to (here is the interior product):
Осы аргументті әртүрлі тегіс функциялар үшін қайталайтын болсақ, олардың сәйкес функциялары аргумент қолданылатын әрбір нүктедегі тангенциалдық кеңістіктің жабылатын кеңістігін құрайды, онда кез келген тегіс функцияларына сәйкес ағындар бойынша жоғалатын Ли туындысының талабы жабық болуы керек деген талапқа тең екенін көреміз.
so that, on repeating this argument for different smooth functions such that the corresponding span the tangent space at each point the argument is applied at, we see that the requirement for the vanishing Lie derivative along flows of corresponding to arbitrary smooth is equivalent to the requirement that ω should be closed.
Анықтама
Жұп кеңістіктегі симплектикалық форма – жабық, дегенерацияланбаған дифференциалдық 2-форма. Мұнда дегенерацияланбаған дегеніміз, кез келген нүктеде, тангенциалдық кеңістіктегі қисайып симметриялық жұптасу, арқылы анықталған, дегенерацияланбаған болады. Яғни, егер барлық үшін осындай бар болса, онда . Тақ өлшемдерде қисайып симметриялық матрицалар әрқашан сингулярлы болатынын ескере отырып, дегенерацияланбаған болу талабы жұп өлшемді екенін білдіреді. Полисимплектикалық көптік – полисимплектикалық тангенс-мәнді формамен жабдықталған Лежандр шоғыры; ол Гамильтондық өріс теориясында қолданылады.
A symplectic form on a smooth manifold is a closed non degenerate differential 2 form Here, non degenerate means that for every point , the skew symmetric pairing on the tangent space defined by is non degenerate. That is to say, if there exists an such that for all , then Since in odd dimensions, skew symmetric matrices are always singular, the requirement that be nondegenerate implies that has an even dimension. A polysymplectic manifold is a Legendre bundle provided with a polysymplectic tangent valued form; it is utilized in Hamiltonian field theory.