Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы тангенстік кеңістікке қос кеңістік. Дифференциалдық геометрияда котангенстік кеңістік – тегіс (немесе дифференциалданатын) көптеудегі нүктеге қатысты векторлық кеңістік; тегіс көптеудегі әрбір нүкте үшін котангенстік кеңістікті анықтауға болады. Әдетте, котангенстік кеңістік , , нүктесіндегі тангенстік кеңістіктің қос кеңістігі ретінде анықталады, бірақ тікелей анықтамалар да бар (төменде қараңыз). Котангенстік кеңістіктің элементтері котангенттік векторлар немесе тангенттік ковекторлар деп аталады.
In differential geometry, the cotangent space is a vector space associated with a point on a smooth (or differentiable) manifold ; one can define a cotangent space for every point on a smooth manifold. Typically, the cotangent space, is defined as the dual space of the tangent space at , , although there are more direct definitions (see below). The elements of the cotangent space are called cotangent vectors or tangent covectors.
Қасиеттері
Байланысты көпқырлының нүктелеріндегі барлық котангенттік кеңістіктердің өлшемдері бірдей, көпқырлының өлшеміне тең. Көпқырлының барлық котангенттік кеңістіктерін "бірге біріктіруге" болады (яғни, біріктіріп, топологиямен жабдыруға) – бұл көпқырлының котангенттік шоғырына айналатын, бастапқысынан екі есе үлкен өлшемді жаңа дифференциалданатын көпқырлыны құрайды. Бір нүктедегі тангенс кеңістігі мен котангенс кеңістігі – бірдей өлшемді нақты векторлық кеңістіктер, сондықтан олар көптеген мүмкін изоморфизмдер арқылы бір-біріне изоморфты. Риман метрикасы немесе симплектикалық форма енгізілген кезде, тангенс кеңістігі мен котангенс кеңістігі арасында табиғи изоморфизм пайда болады, ол кез келген тангенс ковекторға канондық тангенс векторды сәйкес қояды.
Сызықтық функционалдар ретінде анықтамасы
Тегіс манифольд болсын және болсын нүктесінде. нүктесіндегі жанама кеңістік болсын. Содан кейін, нүктесіндегі котангенттік кеңістік ретінде анықталады:
Нақты айтқанда, котангенттік кеңістіктің элементтері – кеңістіктегі сызықтық функционалдар. Яғни, әрбір элемент – сызықтық бейнелеу
мұнда – қарастырылып отырған векторлық кеңістіктің негізгі өрісі, мысалы, нақты сандар өрісі. Котангенттік кеңістіктің элементтері котангенттік векторлар деп аталады.
Баламалы анықтама
Кейбір жағдайларда, котангенттік кеңістіктің тікелей анықтамасы тангенттік кеңістікке сілтемесіз болуы мүмкін. Мұндай анықтаманы тегіс функциялардың эквиваленттілік кластары арқылы беруге болады. Шартты түрде, егер екі тегіс функция f және g бір нүктеде бірдей бірінші реттік қасиеттерге ие болса, олар эквивалентті деп айтамыз, бұл олардың сызықтық Тейлор полиномдарына ұқсас. Екі функция f және g бір нүктеде бірдей бірінші реттік қасиеттерге ие болуы үшін, f - g функциясының туындысы сол нүктеде нөлге тең болуы керек және керісінше. Котангенттік кеңістік сол нүктеде функцияның барлық мүмкін бірінші реттік қасиеттерінен тұрады.
Let be a smooth manifold and let x be a point in Let be the ideal of all functions in vanishing at , and let be the set of functions of the form , where Then and are both real vector spaces and the cotangent space can be defined as the quotient space by showing that the two spaces are isomorphic to each other. This formulation is analogous to the construction of the cotangent space to define the Zariski tangent space in algebraic geometry. The construction also generalizes to locally ringed spaces.
Осылайша, тегіс манифольд болсын және x нүктесі болсын. - нүктеде нөлге тең болатын барлық функциялардың идеалы болсын, ал - түріндегі функциялар жиыны болсын, мұндағы . және екі векторлық кеңістік болып табылады, ал котангенттік кеңістікті көрсету арқылы квотиенттік кеңістік ретінде анықтауға болады, екі кеңістіктің де бір-біріне изоморфты екенін көрсете отырып. Бұл құрылым алгебралық геометриядағы Зариски тангенттік кеңістігін анықтау үшін котангенттік кеңістіктің құрылысына ұқсас. Бұл құрылым жергілікті сақиналық кеңістіктерге де таралады.
Let be a smooth manifold and let x be a point in Let be the ideal of all functions in vanishing at , and let be the set of functions of the form , where Then and are both real vector spaces and the cotangent space can be defined as the quotient space by showing that the two spaces are isomorphic to each other. This formulation is analogous to the construction of the cotangent space to define the Zariski tangent space in algebraic geometry. The construction also generalizes to locally ringed spaces.
Сыртқы өкілеттіктер
Котангентті кеңістіктің th сыртқы қуаты, , дифференциалдық және алгебралық геометриядағы маңызды нысан болып табылады. th сыртқы қуаттағы векторлар, немесе дәлірек айтқанда, котангенттік шоғырдың th сыртқы қуатының қималары дифференциалдық формалар деп аталады. Оларды тангенс векторларындағы кезектесетін, көп сызықты бейнелеулер ретінде қарастыруға болады. Сондықтан тангенстік ковекторларды көбінесе бір форма деп атайды.