Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық нысан
Mathematical object
Математикада 3 сфера, глома немесе гиперсфера – сфераның жоғары өлшемді аналогы. 4 өлшемді Евклид кеңістігінде ол белгілі бір орталық нүктеден тең қашықтықтағы нүктелер жиынтығы болып табылады. Үш өлшемді шардың шекарасы қалыпты сфера (немесе 2 сфера, екі өлшемді бет) болғандай, төрт өлшемді шардың (гонгил) шекарасы 3 сфера (үш өлшемді "бет") болады. Топологиялық тұрғыдан алғанда, 3 сфера – 3 көпқырлылықтың мысалы, және ол n сфера да болып табылады.
In mathematics, a 3 sphere, glome or hypersphere is a higher dimensional analogue of a sphere. In 4 dimensional Euclidean space, it is the set of points equidistant from a fixed central point. Analogous to how the boundary of a ball in three dimensions is an ordinary sphere (or 2 sphere, a two dimensional surface), the boundary of a ball in four dimensions (a gongyl) is a 3 sphere (a 3 dimensional "surface"). Topologically, a 3 sphere is an example of a 3 manifold, and it is also an n sphere.
Геометриялық қасиеттері
3 сфера табиғи түрде тегіс көптүрлілік, тіпті "R"^(4) жабық енгізілген подмногообразие. "R"^(4) бойынша Евклид метрикасы 3 сферада метриканы тудырады, оған Риман көптүрлілігінің құрылымын береді. Барлық сфералар сияқты, 3 сфераның тұрақты оң қималық қисықтығы радиусы r-ға тең. 3 сфераның көптеген қызықты геометриясы 3 сфераның кватернион көбейту арқылы берілген табиғи Ли тобының құрылымынан туындайды (төмендегі топ құрылымы бөлімін қараңыз). Мұндай құрылымға ие басқа сфералар – 0 сферасы және 1 сферасы (шеңбер тобын қараңыз). 2 сферадан айырмашылығы, 3 сферада жоғалып кетпейтін векторлық өрістер (оның жанама бундельінің қималары) бар. Тіпті, үш сызықтық тәуелсіз және жоғалып кетпейтін векторлық өрістерді табуға болады. Бұлар 3 сфераның Ли алгебрасының негізін құрайтын кез келген сол жақты инвариантты векторлық өрістер болуы мүмкін. Бұл 3 сфераның параллельдендірілуі мүмкін екенін білдіреді. Осыдан 3 сфераның жанама бундельі тривиальды екендігі шығады. n сферадағы сызықтық тәуелсіз векторлық өрістердің саны туралы жалпы талқылау үшін «сфералардағы векторлық өрістер» мақаласын қараңыз. S^(3) шеңбер тобының "T" әсері бар, бұл 3 сфераға Хопф бунделі деп аталатын негізгі шеңбер бундельінің құрылымын береді. Егер S^(3) "C"^(2) жиынының ішкі жиыны ретінде қарастырылса, онда әрекет S^(2) гомеоморфты орбиталық кеңістігіне ие. S^(3) S^(2) × S^(1) гомеоморфты болмағандықтан, Хопф бунделі тривиальды емес.
The 3 sphere is naturally a smooth manifold, in fact, a closed embedded submanifold of 'R'^(4). The Euclidean metric on 'R'^(4) induces a metric on the 3 sphere giving it the structure of a Riemannian manifold. As with all spheres, the 3 sphere has constant positive sectional curvature equal to where r is the radius. Much of the interesting geometry of the 3 sphere stems from the fact that the 3 sphere has a natural Lie group structure given by quaternion multiplication (see the section below on group structure). The only other spheres with such a structure are the 0 sphere and the 1 sphere (see circle group). Unlike the 2 sphere, the 3 sphere admits nonvanishing vector fields (sections of its tangent bundle). One can even find three linearly independent and nonvanishing vector fields. These may be taken to be any left invariant vector fields forming a basis for the Lie algebra of the 3 sphere. This implies that the 3 sphere is parallelizable. It follows that the tangent bundle of the 3 sphere is trivial. For a general discussion of the number of linear independent vector fields on a n sphere, see the article vector fields on spheres. There is an interesting action of the circle group 'T' on S^(3) giving the 3 sphere the structure of a principal circle bundle known as the Hopf bundle. If one thinks of S^(3) as a subset of 'C'^(2), the action is given by The orbit space of this action is homeomorphic to the two sphere S^(2). Since S^(3) is not homeomorphic to S^(2) × S^(1), the Hopf bundle is nontrivial.
Топологиялық құрылыс
Үш сфераның бірнеше белгілі құралу жолдары бар. Бұл жерде екі үш шарды біріктіріп, сосын бір нүктелік тығыздау жасауды сипаттаймыз.
There are several well known constructions of the three sphere. Here we describe gluing a pair of three balls and then the one point compactification.
Тігістеу
3 шарды топологиялық тұрғыдан 3 шардың шекараларын біріктіру арқылы құрастыруға болады. 3 шардың шекарасы 2 сфера болып табылады, және осы екі 2 сфераны сәйкестендіру керек. Яғни, бірдей мөлшердегі екі 3 шарды көзге елестетіп, оларды 2 шарлық шекаралары сәйкес келетіндей етіп жабыстырыңыз, сондай-ақ екі 2 сфера жұбындағы сәйкес келетін нүктелердің жұптары бір-бірімен толықтай тең болып есептелсін. 2 сфера жағдайымен салыстырғанда (төменде қараңыз), жабыстыру беті экваторлық сфера деп аталады. 3 шардың ішкі кеңістіктері бір-біріне жабыспайтынын ескеріңіз. Төртінші өлшемді 3 шардың 3 өлшемді координаттарының үздіксіз, нақты мәнді функциясы ретінде қарастыруға болады, мысалы, "температура" ретінде. "Температураны" жабыстыру 2 сферасы бойында нөлге тең деп қабылдайық, ал бір 3 шарды "ыстық", екінші 3 шарды "салқын" деп есептейік. "Ыстық" 3 шарды "жоғарғы жарты шар", ал "салқын" 3 шарды "төменгі жарты шар" деп ойлауға болады. Температура екі 3 шардың ортасында ең жоғары/ең төмен мәнге жетеді. Бұл құрылым 2 сфераны құрастыруға ұқсас, ол екі дискінің шекараларын жабыстыру арқылы жасалады. Диск – 2 шар, ал дискінің шекарасы – шеңбер (1 сфера). Екі дискінің диаметрі бірдей болсын. Оларды біріне-бірі жабыстырып, олардың шекараларындағы сәйкес келетін нүктелерді біріктіріңіз. Үшінші өлшемді де температура ретінде қарастыруға болады. Сол сияқты, 2 сфераны кеңейтіп, дискілер жұбын солтүстік және оңтүстік жарты шарларға айналдыруға болады.
A 3 sphere can be constructed topologically by "gluing" together the boundaries of a pair of 3 balls. The boundary of a 3 ball is a 2 sphere, and these two 2 spheres are to be identified. That is, imagine a pair of 3 balls of the same size, then superpose them so that their 2 spherical boundaries match, and let matching pairs of points on the pair of 2 spheres be identically equivalent to each other. In analogy with the case of the 2 sphere (see below), the gluing surface is called an equatorial sphere. Note that the interiors of the 3 balls are not glued to each other. One way to think of the fourth dimension is as a continuous real valued function of the 3 dimensional coordinates of the 3 ball, perhaps considered to be "temperature". We take the "temperature" to be zero along the gluing 2 sphere and let one of the 3 balls be "hot" and let the other 3 ball be "cold". The "hot" 3 ball could be thought of as the "upper hemisphere" and the "cold" 3 ball could be thought of as the "lower hemisphere". The temperature is highest/lowest at the centers of the two 3 balls. This construction is analogous to a construction of a 2 sphere, performed by gluing the boundaries of a pair of disks. A disk is a 2 ball, and the boundary of a disk is a circle (a 1 sphere). Let a pair of disks be of the same diameter. Superpose them and glue corresponding points on their boundaries. Again one may think of the third dimension as temperature. Likewise, we may inflate the 2 sphere, moving the pair of disks to become the northern and southern hemispheres.
Бір нүктелік тығыздалу
2-сферадан бір нүктені алып тастағаннан кейін, қалған бөлік Евклид жазықтығына гомеоморфты болады. Сол сияқты, 3-сферадан бір нүктені алып тастау үш өлшемді кеңістік береді. Бұл көрудің өте пайдалы тәсілі – стереографиялық проекция арқылы. Бірінші кезекте, төмен өлшемді нұсқаны сипаттаймыз. Бірлік 2-сфераның оңтүстік полюсін үш кеңістіктегі xy жазықтығында орналастырыңыз. Сфераның P нүктесін (солтүстік полюс N емес) жазықтыққа, P-ні NP түзуімен жазықтықтың қиылысына жіберіп, картаға түсіріңіз. 3-сфераның стереографиялық проекциясы (қайтадан солтүстік полюсті алып тастау) үш кеңістікке дәл сол тәсілмен карталайды. (Стереографиялық проекция конформал болғандықтан, дөңгелек сфералар дөңгелек сфераларға немесе жазықтықтарға жіберілетінін ескеріңіз.) Бір нүктелік тығыздалуды қарастырудың тағы бір тәсілі – экспоненциалдық карта арқылы. Евклид жазықтығында орналасқан бірлік екі сфераның суретіне қайта оралайық: жазықтықтағы, нөлдік нүктедегі геодезияны қарастырып, оны оңтүстік полюстегі, бірдей ұзындығы бар екі сферадағы геодезияға картаға түсіріңіз. Бұл картада радиус шеңберінің барлық нүктелері солтүстік полюске жіберіледі. Ашық бірлік дискі Евклид жазықтығына гомеоморфты болғандықтан, бұл да бір нүктелік тығыздалу болып табылады. 3-сфераның экспоненциалдық картасы да осылай құрылады; оны 3-сфераның бірлік кватерниондардың Ли тобы екендігі фактісі арқылы да талқылауға болады.
After removing a single point from the 2 sphere, what remains is homeomorphic to the Euclidean plane. In the same way, removing a single point from the 3 sphere yields three dimensional space. An extremely useful way to see this is via stereographic projection. We first describe the lower dimensional version. Rest the south pole of a unit 2 sphere on the xy plane in three space. We map a point P of the sphere (minus the north pole N) to the plane by sending P to the intersection of the line NP with the plane. Stereographic projection of a 3 sphere (again removing the north pole) maps to three space in the same manner. (Notice that, since stereographic projection is conformal, round spheres are sent to round spheres or to planes.) A somewhat different way to think of the one point compactification is via the exponential map. Returning to our picture of the unit two sphere sitting on the Euclidean plane: Consider a geodesic in the plane, based at the origin, and map this to a geodesic in the two sphere of the same length, based at the south pole. Under this map all points of the circle of radius are sent to the north pole. Since the open unit disk is homeomorphic to the Euclidean plane, this is again a one point compactification. The exponential map for 3 sphere is similarly constructed; it may also be discussed using the fact that the 3 sphere is the Lie group of unit quaternions.
Үш сферадағы координаттар жүйесі
S^(3) үшін төрт Евклидтік координат артық, себебі олар 1=x0^(2) + x1^(2) + x2^(2) + x3^(2) = 1 шартына бағынады. Үш өлшемді манифольд ретінде S^(3) үш координат арқылы параметрленуге мүмкіндік беруі керек, дәл сияқты екі координатты (мысалы, ендік және бойлық) пайдаланып 2 сфераны параметрлеуге болады. S^(3)-тің топологиясы тривиалды емес болғандықтан, бүкіл кеңістікті қамтитын координаттар жиынтығын табу мүмкін емес. 2 сферадағыдай, кем дегенде екі координаттық кесте қолдану қажет. Төменде координаттардың әртүрлі нұсқалары келтірілген.
The four Euclidean coordinates for S^(3) are redundant since they are subject to the condition that 1=x0^(2) + x1^(2) + x2^(2) + x3^(2) = 1. As a 3 dimensional manifold one should be able to parameterize S^(3) by three coordinates, just as one can parameterize the 2 sphere using two coordinates (such as latitude and longitude). Due to the nontrivial topology of S^(3) it is impossible to find a single set of coordinates that cover the entire space. Just as on the 2 sphere, one must use at least two coordinate charts. Some different choices of coordinates are given below.
Әдебиетте
Эдвин Эбботт Эбботттың 1884 жылы жарық көрген "Жеті өлшемді әлем" және Дионис Бергердің 1965 жылы жарық көрген "Жеті өлшемді әлем" атты еңбегінің жалғасы "Сфералық әлем" кітабында 3 сфераны "оверсфера" деп, ал 4 сфераны "гиперсфера" деп атайды. Американдық физика журналында Марк А. Питерсон 3 сфераны көрудің үш түрлі тәсілін сипаттайды және Дантенің "Құдайлық комедиясында" Ғайынатты осылай қарастырғанын көрсетеді; Карло Ровелли де осы пікірді қолдайды. Стивен Л. Липскомбтың "Өнер төртінші өлшемде математикамен кездеседі" атты еңбегінде гиперсфералық өлшемдер туралы түсінік өнер, архитектура және математикамен байланысты дамытылады.
In Edwin Abbott Abbott's Flatland, published in 1884, and in Sphereland, a 1965 sequel to Flatland by Dionys Burger, the 3 sphere is referred to as an oversphere, and a 4 sphere is referred to as a hypersphere. Writing in the American Journal of Physics, Mark A. Peterson describes three different ways of visualizing 3 spheres and points out language in The Divine Comedy that suggests Dante viewed the Universe in the same way; Carlo Rovelli supports the same idea. In Art Meets Mathematics in the Fourth Dimension, Stephen L. Lipscomb develops the concept of the hypersphere dimensions as it relates to art, architecture, and mathematics.