Кіріспе
Көпқырлылықтардағы интеграция туралы мәлімдеме, жалпыланған теорема
the generalized theorem
Векторлық есептеу және дифференциалдық геометрияда жалпыланған Стокстың теоремасы (кейде апострофпен Стокстың теоремасы немесе Стокстың теоремасы ретінде), сондай-ақ Стокс-Картан теоремасы деп аталады, көпқырлылықтардағы дифференциалдық формалардың интеграциясы туралы мәлімдеме болып табылады. Ол векторлық есептеуден бірнеше теоремаларды оңайлатып, жалпылайды. Атап айтқанда, математикалық анализдің негізгі теоремасы – көпқырлылықтың түзу кесіндіге сәйкес келетін ерекше жағдай, Грин теоремасы және Стокстың теоремасы – немесе кеңістіктегі бетке сәйкес келетін жағдайлар, ал дивергенция теоремасы – кеңістіктегі көлемге сәйкес келетін жағдай. Сондықтан теорема кейде көпөлшемді есептеудің негізгі теоремасы деп аталады. Стокстың теоремасы бойынша, бағдарланатын көпқырлылықтың шекарасы бойынша дифференциалдық форманың интегралы, оның сыртқы туындысының сол көпқырлылықтың бүкіл аумағы бойынша алынған интегралына тең, яғни:
Стокстың теоремасы қазіргі түрінде Эли Картан 1945 жылы қалыптастырған, бұл алдында Вито Вольтерра, Эдуард Гурсат және Анри Пуанкаре векторлық есептеу теоремаларын жалпылау бойынша жүргізген жұмыстарға негізделген. Стокстың теоремасының қазіргі заманғы түрі – Лорд Келвиннің 1850 жылғы 2 шілдеде Джордж Стокке жолдаған хатында баяндалған классикалық нәтиженің кеңінен жалпыланған түрі. Стокстың теоремасы 1854 жылы Смит сыйлығы бойынша емтихан сұрағы ретінде қойылды, нәтижесінде оның атымен аталатын нәтиже пайда болды. Ол алғаш рет Герман Хэнкель 1861 жылы жариялаған. Бұл классикалық жағдай, евклидтік үш кеңістікте векторлық өрістің роторының бетіндегі интегралын (яғни, ағынын) сол беттің шекарасы бойынша векторлық өрістің сызықтық интегралымен байланыстырады.
Кіріспе
Калькульдің екінші негізгі теоремасы функцияның [a, b] интервалындағы интегралын антитуындысы арқылы табуға болатынын айтады:
Стокстың теоремасы осы теореманың келесі мағынадағы жалпылауы болып табылады. Дифференциалдық формалар тілінде, бұл дегеніміз, - 0 формасының, яғни функцияның сыртқы туындысы: басқаша айтқанда, жалпы Стокс теоремасы 0 формасының орнына жоғары дәрежелі дифференциалдық формаларға қолданылады. Жабық интервал [a, b] – шекарасы бар бір өлшемді көптүрліліктің қарапайым мысалы. Оның шекарасы – екі нүктеден, a және b-ден тұратын жиынтық. Интервал бойынша интеграциялау жоғары өлшемді көптүрліліктегі формаларды интеграциялауға жалпыландырылуы мүмкін. Мұндай интегралдың дұрыс анықталғанын қамтамасыз ету үшін екі техникалық шарт орындалуы керек: көптүрлілік бағытталған болуы керек, ал форма шектеулі түрде қолдауға ие болуы керек. Екі нүкте a және b жабық интервалдың шекарасын құрайды. Жалпы алғанда, Стокс теоремасы шекарасы бар бағытталған көптүрліліктерге қолданылады. -ның шекарасы өзі де көптүрлілік болып табылады және оның бағытын мұра етеді. Мысалы, интервалдың табиғи бағыты екі шекаралық нүктеге бағыт береді. Интуитивті түрде, a және b нүктелері интервалдың қарама-қарсы ұштарында орналасқандықтан, олар бір-біріне қарама-қарсы бағыттарға ие. Сондықтан, екі шекаралық нүктедегі "интеграциялау" – бұл айырманы табу. Тіпті қарапайым түсіндіру үшін, нүктелерді қисықтардың шекаралары ретінде қарастыруға болады, яғни 1 өлшемді көптүрліліктің 0 өлшемді шекаралары ретінде. Осылайша, 1 өлшемді көптүрліліктегі интегралдың мәнін 0 өлшемді шекарадағы антитуындыны қарастыру арқылы табуға болатын сияқты, сандық есептеудің негізгі теоремасын, бірнеше қосымша ескертулермен, - өлшемді көптүрліліктегі интегралдардың мәнін қарастыру үшін, көптүрліліктің - өлшемді шекарасындағы антитуындыны қарастыру арқылы жалпылауға болады. Осылайша, негізгі теорема былай жазылады:
Топологиялық алдын ала дайындалу; тізбектер арқылы интеграциялау
M тегіс көптік болсын. M-дегі (тұйық) сингулярлық k-симплекс – 'R'^k-дағы стандартты симплекстен M-ге дейінгі тегіс бейнелеу ретінде анықталады. M-дегі сингулярлық k-тізбектердің C_k(M, 'Z') тобы M-дегі сингулярлық k-симплекстер жиынындағы еркін абельдік топ ретінде анықталады. Бұл топтар шекаралық бейнелеумен бірге тізбек кешенін құрайды. Тиісті гомология (немесе кохомология) тобы әдеттегі сингулярлық гомология тобы H_k(M, 'Z') (немесе сингулярлық кохомология тобы H^k(M, 'Z'))-ға изоморфты, ол M-де тегіс емес, үздіксіз симплекстерді қолдану арқылы анықталады.
On the other hand, the differential forms, with exterior derivative, d, as the connecting map, form a cochain complex, which defines the de Rham cohomology groups
Differential k forms can be integrated over a k simplex in a natural way, by pulling back to 'R'^(k). Extending by linearity allows one to integrate over chains. This gives a linear map from the space of k forms to the kth group of singular cochains, C^(k)(M, 'Z'), the linear functionals on Ck(M, 'Z'). In other words, a k form ω defines a functional
on the k chains. Stokes' theorem says that this is a chain map from de Rham cohomology to singular cohomology with real coefficients; the exterior derivative, d, behaves like the dual of ∂ on forms. This gives a homomorphism from de Rham cohomology to singular cohomology. On the level of forms, this means:
closed forms, i. e., 1=dω = 0, have zero integral over boundaries, i. e. over manifolds that can be written as ∂Σc Mc, and
exact forms, i. e., 1=ω = dσ, have zero integral over cycles, i. e. if the boundaries sum up to the empty set: 1=∂Σc Mc = ∅. De Rham's theorem shows that this homomorphism is in fact an isomorphism. So the converse to 1 and 2 above hold true. In other words, if {ci} are cycles generating the kth homology group, then for any corresponding real numbers, {ai} , there exist a closed form, ω, such that
and this form is unique up to exact forms. Stokes' theorem on smooth manifolds can be derived from Stokes' theorem for chains in smooth manifolds, and vice versa. Formally stated, the latter reads:
Екінші жағынан, сыртқы туындысы d болатын дифференциалдық формалар коценалды кешенді құрайды, ол де Рам кохомология топтарын анықтайды. Дифференциалдық k-формаларды 'R'^k-ға кері тартып, k-симплекс бойынша табиғи түрде интегралдауға болады. Сызықтылық принципін қолдану арқылы тізбектер бойынша интегралдауға болады. Бұл k-формалар кеңістігінен сингулярлық кошейндердің k-шы тобына C^k(M, 'Z'), яғни C_k(M, 'Z')-дегі сызықтық функционалдарға сызықтық бейнелеуді береді. Басқаша айтқанда, k-форма ω, k-тізбектерде функционалды анықтайды. Стокс теоремасы бұл шын мәніндегі коэффициенттері бар де Рам кохомологиясынан сингулярлық кохомологияға тізбек бейнелеуі екенін көрсетеді; сыртқы туынды d, формаларда ∂-ның дуалы ретінде әрекет етеді. Бұл де Рам кохомологиясынан сингулярлық кохомологияға гомоморфизмді анықтайды. Формалар деңгейінде бұл мынаны білдіреді:
On the other hand, the differential forms, with exterior derivative, d, as the connecting map, form a cochain complex, which defines the de Rham cohomology groups
Differential k forms can be integrated over a k simplex in a natural way, by pulling back to 'R'^(k). Extending by linearity allows one to integrate over chains. This gives a linear map from the space of k forms to the kth group of singular cochains, C^(k)(M, 'Z'), the linear functionals on Ck(M, 'Z'). In other words, a k form ω defines a functional
on the k chains. Stokes' theorem says that this is a chain map from de Rham cohomology to singular cohomology with real coefficients; the exterior derivative, d, behaves like the dual of ∂ on forms. This gives a homomorphism from de Rham cohomology to singular cohomology. On the level of forms, this means:
closed forms, i. e., 1=dω = 0, have zero integral over boundaries, i. e. over manifolds that can be written as ∂Σc Mc, and
exact forms, i. e., 1=ω = dσ, have zero integral over cycles, i. e. if the boundaries sum up to the empty set: 1=∂Σc Mc = ∅. De Rham's theorem shows that this homomorphism is in fact an isomorphism. So the converse to 1 and 2 above hold true. In other words, if {ci} are cycles generating the kth homology group, then for any corresponding real numbers, {ai} , there exist a closed form, ω, such that
and this form is unique up to exact forms. Stokes' theorem on smooth manifolds can be derived from Stokes' theorem for chains in smooth manifolds, and vice versa. Formally stated, the latter reads:
жабық формалар, яғни dω = 0, шекаралар бойынша нөлдік интегралға ие, яғни ∂Σ_c M_c түрінде жазылатын көптіктер бойынша, және
дәл формалар, яғни ω = dσ, циклдар бойынша нөлдік интегралға ие, яғни егер шекаралар бос жиынтыққа жиынтықтаса: ∂Σ_c M_c = ∅. Де Рам теоремасы бұл гомоморфизмнің шын мәнінде изоморфизм екенін көрсетеді. Сондықтан, жоғарыдағы 1 және 2 шарттарына кері теорема да дұрыс. Яғни, егер {c_i} k-шы гомология тобын құрайтын циклдар болса, онда кез келген сәйкес келетін нақты сандар {a_i} үшін жабық форма ω бар, мұндай ω формасы дәл формаларға дейін бірегей болады. Тегіс көптіктердегі Стокс теоремасын тегіс көптіктердегі тізбектерге арналған Стокс теоремасынан шығаруға болады, және керісінше. Формальды түрде соңғысы былай жазылады:
On the other hand, the differential forms, with exterior derivative, d, as the connecting map, form a cochain complex, which defines the de Rham cohomology groups
Differential k forms can be integrated over a k simplex in a natural way, by pulling back to 'R'^(k). Extending by linearity allows one to integrate over chains. This gives a linear map from the space of k forms to the kth group of singular cochains, C^(k)(M, 'Z'), the linear functionals on Ck(M, 'Z'). In other words, a k form ω defines a functional
on the k chains. Stokes' theorem says that this is a chain map from de Rham cohomology to singular cohomology with real coefficients; the exterior derivative, d, behaves like the dual of ∂ on forms. This gives a homomorphism from de Rham cohomology to singular cohomology. On the level of forms, this means:
closed forms, i. e., 1=dω = 0, have zero integral over boundaries, i. e. over manifolds that can be written as ∂Σc Mc, and
exact forms, i. e., 1=ω = dσ, have zero integral over cycles, i. e. if the boundaries sum up to the empty set: 1=∂Σc Mc = ∅. De Rham's theorem shows that this homomorphism is in fact an isomorphism. So the converse to 1 and 2 above hold true. In other words, if {ci} are cycles generating the kth homology group, then for any corresponding real numbers, {ai} , there exist a closed form, ω, such that
and this form is unique up to exact forms. Stokes' theorem on smooth manifolds can be derived from Stokes' theorem for chains in smooth manifolds, and vice versa. Formally stated, the latter reads:
Негізгі принцип
Бұл топологиялық аргументтерді жеңілдету үшін 1=d = 2 өлшемдегі мысал қарастыру арқылы жатқан принципті қарастыру пайдалы. Негізгі идеяны сол жақтағы сурет арқылы түсінуге болады, ол көпқырлының бағытталған мозаикасындағы ішкі жолдар қарама-қарсы бағыттармен жүретінін көрсетеді; олардың жол интегралына тигізетін үлестері жұп-жұп болып өзара жояды. Осының салдарынан, тек шекарадан келетін үлес қалады. Сондықтан, жеткілікті ұсақ мозаикалар (немесе, балама ретінде, симплекстер) үшін Стокстің теоремасын дәлелдеу жеткілікті, бұл көбінесе қиындық тудырмайды.
Шын мәнінде жалпылау
Жоғарыда келтірілген формула, онда шекарасы бар тегіс коллектор қарастырылады, көптеген қолдануларда жеткіліксіз. Мысалы, егер интегралдау домені екі координата және екі функцияның графиктері арасындағы жазықтық аймағы ретінде анықталса, онда доменнің бұрыштары жиі кездеседі. Мұндай жағдайда бұрыштық нүктелер доменнің шекарасы бар тегіс коллектор еместігін көрсетеді, сондықтан жоғарыда келтірілген Стокс теоремасының тұжырымы қолданылмайды. Дегенмен, Стокс теоремасының қорытындысының әлі де дұрыс екенін тексеруге болады. Өйткені домен және оның шекарасы кішкентай нүктелер жиынынан (өлшемі нөл жиынынан) тыс жақсы анықталған. Уитни Стокс теоремасының дөрекілікке рұхсат ететін нұсқасын дәлелдеді. Егер домен келесі қасиетті қанағаттандырса, оны стандартты домен деп атаймыз: оның ішінде ашық болатын кіші жиын бар, оның домендегі толықтығының Хаусдорф өлшемі нөлге тең; және доменнің әрбір нүктесі үшін жалпыланған нормаль вектор бар. Бұл вектор, егер координаттар жүйесі таңдалса, онда бірінші базистік вектор болады, онда доменнің айналасында ашық маңдағы график және аймақ сияқты тегіс функция бар. Уитни стандартты доменнің шекарасы нөлдік Хаусдорф өлшемі жиынының және әрқайсысының тек бір жағында домені бар тегіс коллекторлардың шекті немесе санаулы одағынан тұратынын айтады. Ол содан кейін егер стандартты домен болса, форма анықталған, үздіксіз және шектелген болса, тегіс болса, интегралданатын болса және интегралданатын болса, онда Стокс теоремасы орындалады, яғни, өлшемдік қасиеттерді зерттеу геометриялық өлшем теориясына алып келеді. Федерер және Харрисон Стокс теоремасының одан да жалпы нұсқаларын дәлелдеді.
The study of measure theoretic properties of rough sets leads to geometric measure theory. Even more general versions of Stokes' theorem have been proved by Federer and by Harrison.
Ерекше жағдайлар
Дифференциалдық формаларды қолдана отырып, Стокс теоремасының жалпы түрі, ерекше жағдайларға қарағанда күштірек және қолдануға ыңғайлырақ. Дәстүрлі түсіндірулер дифференциалдық геометрия құралдарынсыз, Картезиандық координаттарды пайдаланып тұжырымдалуы мүмкін, осылайша оларға қол жеткізу оңай. Сонымен қатар, олар көнерек болғандықтан, олардың аттары көбірек таныс. Тәжірибелі ғалымдар мен инженерлер дәстүрлі түсіндірулерді көбінесе ыңғайлырақ деп санайды, бірақ дәстүрлі тұжырымдаманың табиғи еместігі басқа координат жүйелерін қолданғанда, тіпті шар немесе цилиндр координаттары сияқты таныс жүйелерді қолданғанда байқалады. Атауларды қолдану және екіұшты тұжырымдамаларды пайдалану кезінде шатасу туындауы мүмкін.
Классикалық (векторлық есептеу) жағдай
Бұл (дуализацияланған) (1 + 1) өлшемді жағдай, 1-форма үшін (дуализацияланған, себебі ол векторлық өрістер туралы мәлімдеме). Бұл ерекше жағдай көптеген кіріспе деңгейдегі университеттердегі векторлық есептеу курстарында көбінесе Стокс теоремасы деп аталады және физика мен инженерияда қолданылады. Оны кейде "curl" теоремасы деп те атайды. Классикалық Стокс теоремасы, Евклидтік үш кеңістіктегі бетте векторлық өрістің керлінен алынған беттік интегралды, осы беттің шекарасы бойынша векторлық өрістің сызықтық интегралымен байланыстырады. Егер Евклидтік 3 кеңістігіндегі метриканы қолданып, векторлық өрісті 1-формамен сәйкестендірсек, бұл жалпы Стокс теоремасының (с) ерекше жағдайы болады. Сызықтық интегралдың қисығы , оң бағытта болуы керек, яғни беттік нормаль , көрерменге қарай бағытталғанда, сағат тіліне қарсы айналуы тиіс. Бұл теореманың бір салдары – керлісі нөлге тең векторлық өрістің өріс сызықтары жабық контурлар құрамайды. Формула келесідей жазылуы мүмкін:
Грин теоремасы
Грин теоремасы жоғарыда аталған P, Q және R арқылы берілген интегралдың екі жағындағы үшінші интеграл ретінде дереу анықталады.