Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Риманн көптігі SU(n) голономиясымен алгебралық және дифференциалдық геометрияда Калаби-Яу көптігі, сондай-ақ Калаби-Яу кеңістігі деп аталады, бұл Риччи жазықтығы сияқты қасиеттері бар көптіктің нақты түрі, теориялық физикада қолдануға мүмкіндік береді. Әсіресе, суперструна теориясында кеңістік-уақыттың қосымша өлшемдері кейде 6 өлшемді Калаби-Яу көптігі түрінде болады деп есептеледі, бұл айна симметриясы идеясына әкелді. Олардың атын алғаш рет мұндай беттердің болу мүмкіндігін болжаған және Калаби болжамын дәлелдеген К. Калаби берді. Калаби-Яу көптігі – бұл кез келген сандағы кешенді өлшемдегі (яғни, нақты өлшемдердің кез келген жұп санындағы) K3 бетінің жалпыламасы болып табылатын кешенді көптіктер. Олар бастапқыда жоғалып кететін бірінші Черн класы және Риччидің жазық метрикасы бар, ықшам Кэлер көптігі ретінде анықталды, бірақ басқа да көптеген ұқсас, бірақ эквивалентті емес анықтамалар да қолданылады.
Riemannian manifold with SU(n) holonomy
In algebraic and differential geometry, a Calabi–Yau manifold, also known as a Calabi–Yau space, is a particular type of manifold which has properties, such as Ricci flatness, yielding applications in theoretical physics. Particularly in superstring theory, the extra dimensions of spacetime are sometimes conjectured to take the form of a 6 dimensional Calabi–Yau manifold, which led to the idea of mirror symmetry. Their name was coined by , after who first conjectured that such surfaces might exist, and who proved the Calabi conjecture. Calabi–Yau manifolds are complex manifolds that are generalizations of K3 surfaces in any number of complex dimensions (i. e. any even number of real dimensions). They were originally defined as compact Kähler manifolds with a vanishing first Chern class and a Ricci flat metric, though many other similar but inequivalent definitions are sometimes used.
Мысалдар
Негізгі факт – проективті кеңістікте орналасқан кез келген тегіс алгебралық сан алуандығы – Кэлер көптігі, себебі проективті кеңістікте табиғи Фубини-Студия метрикасы бар, оны алгебралық сан алуандығымен шектеуге болады. Анықтама бойынша, егер ω алгебралық сан алуандығы X-тегі Кэлер метрикасы болса және каноникалық шоғыр KX тривиалды болса, онда X – Калаби-Яу. Сонымен қатар, X-тегі [ω0] = [ω] ∈ H2(X, ℝ) теңдігін қанағаттандыратын бірегей Кэлер метрикасы ω бар, бұл факт Эудженио Калаби болжаған және Шинг Тунг Яу дәлелдеген (Калаби болжамына қараңыз).
The fundamental fact is that any smooth algebraic variety embedded in a projective space is a Kähler manifold, because there is a natural Fubini–Study metric on a projective space which one can restrict to the algebraic variety. By definition, if ω is the Kähler metric on the algebraic variety X and the canonical bundle KX is trivial, then X is Calabi–Yau. Moreover, there is unique Kähler metric ω on X such that [ω0] = [ω] ∈ H2(X,R), a fact which was conjectured by Eugenio Calabi and proved by Shing Tung Yau (see Calabi conjecture).
КалабиЯу алгебралық қисықтары
Бір күрделі өлшемде, жалғыз компакт мысалдар – торылар, олар бір параметрлік отбасы құрайды. Тордағы Риччи-жазық метрикасы, шындығында, жазық метрика болып табылады, сондықтан голономиясы – тривиальды топ SU(1). Бір өлшемді Калаби-Яу манифолдысы – күрделі эллипстік қисық, және әсіресе алгебралық.
In one complex dimension, the only compact examples are tori, which form a one parameter family. The Ricci flat metric on a torus is actually a flat metric, so that the holonomy is the trivial group SU(1). A one dimensional Calabi–Yau manifold is a complex elliptic curve, and in particular, algebraic.
CY үш еселенген
Үш күрделі өлшемде мүмкін Калаби–Яу көптүстіктерін жіктеу ашық мәселе болып қалады, бірақ Яу отбасылар саны шекті деп күдіктенеді (бірақ 20 жыл бұрынғы бағалауынан әлдеқайда көп). Сол сияқты, Майлз Рид Калаби–Яу 3 бүктемелерінің топологиялық типтерінің саны шексіз екенін және олардың барлығы Риманн беттері сияқты, конфолдтар сияқты жұмсақ сингуляризациялар арқылы бірін-біріне үздіксіз түрлендіріле алады деп болжады. Үш өлшемді Калаби–Яу көптүстігінің бір мысалы – CP4-тегі бұдырамайтын квинтикалық үшбұрыш, ол CP4-тің біртекті координаттарындағы біртекті квинтикалық полиномның барлық нөлдерінен тұратын алгебралық сан алуандығы. Тағы бір мысал – Барт–Нието квинтигінің тегіс моделі. Z5 әрекеттерінің әртүрлі түрі арқылы алынған квинтикалықтың кейбір дискретті бөліктері де Калаби–Яу болып табылады және әдебиетте көп назар аударды. Олардың бірі айна симметриясы арқылы түпнұсқалық квинтикамен байланысты. Кез келген оң бүтін сан n үшін, CPn+1 кешенді проекциялық кеңістігінің біртекті координаттарындағы n+2 айнымалысы бар бұдырамайтын біртекті n+2 дәрежелі полиномның нөлдік жиыны – бұл Calabi–Yau n бүктемесі. n=1 жағдайы эллипстік қисықты сипаттайды, ал n=2 үшін K3 беті алынады. Жалпы алғанда, Calabi–Yau сорттары/орбиталық қабаттар салмақты проективті кеңістікте салмақты толық қиылыстар түрінде кездеседі. Мұндай кеңістіктерді табудың негізгі құралы – қосымша формула. Барлық гипер-Келер көптүстіктері Калаби–Яу көптүстіктері болып табылады.
In three complex dimensions, classification of the possible Calabi–Yau manifolds is an open problem, although Yau suspects that there is a finite number of families (albeit a much bigger number than his estimate from 20 years ago). In turn, it has also been conjectured by Miles Reid that the number of topological types of Calabi–Yau 3 folds is infinite, and that they can all be transformed continuously (through certain mild singularizations such as conifolds) one into another—much as Riemann surfaces can. One example of a three dimensional Calabi–Yau manifold is a non singular quintic threefold in CP4, which is the algebraic variety consisting of all of the zeros of a homogeneous quintic polynomial in the homogeneous coordinates of the CP4. Another example is a smooth model of the Barth–Nieto quintic. Some discrete quotients of the quintic by various Z5 actions are also Calabi–Yau and have received a lot of attention in the literature. One of these is related to the original quintic by mirror symmetry. For every positive integer n, the zero set, in the homogeneous coordinates of the complex projective space CPn+1, of a non singular homogeneous degree n + 2 polynomial in n + 2 variables is a compact Calabi–Yau n fold. The case n = 1 describes an elliptic curve, while for n = 2 one obtains a K3 surface. More generally, Calabi–Yau varieties/orbifolds can be found as weighted complete intersections in a weighted projective space. The main tool for finding such spaces is the adjunction formula. All hyper Kähler manifolds are Calabi–Yau manifolds.
Алгебралық беттерден құралған
Иілгіштерге ұқсас дәлелдерді қолдана отырып, алгебралық беттің каноникалық шоғының толық кеңістігі Калаби-Яу үштігін құрайды. Проективтік кеңістік үстінде қарапайым мысал келтіруге болады.
Using a similar argument as for curves, the total space of the canonical sheaf for an algebraic surface forms a Calabi Yau threefold. A simple example is over projective space.
Суперзым теориясының қолданылуы
Калаби–Яу көптіктері суперструн теориясында маңызды. Негізінде, Калаби–Яу көптіктері – бұл жол теориясының алты "көрінбейтін" кеңістіктік өлшемдері үшін қажетті кеңістік талабын қанағаттандыратын пішіндер, олар әлі анықталмағандықтан, қазіргі кезде байқалатын ұзындығынан кіші болуы мүмкін. Бран әлемдерінің модельдерінде жиі кездесетін, кеңірек таралған балама нұсқа, Калаби–Яу кеңістігі үлкен, бірақ біз оның D-бранмен қиылысатын кішкентай бөлігінде ғана шектелгенбіз. Жоғары өлшемдерге қатысты одан әрі зерттеулер жалпы салыстырмалылық теориясының қосымша салдарларын қарастыруда. Ең дәстүрлі суперструн модельдерінде, жол теориясындағы он гипотетикалық өлшемнің төртеуін білеміз, ал қалған алтауы белгілі бір фибрация құрылымын құрайды. Калаби–Яу n-бүктемелеріндегі тығыздалу маңызды, себебі олар бастапқы суперсимметрияның бір бөлігін сақтайды. Нақтырақ айтқанда, ағындардың болмауы жағдайында, Калаби–Яу 3-бүктемесіндегі (нақты өлшем 6) тығыздалу, егер голономия толық SU(3) болса, бастапқы суперсимметрияның төрттен бір бөлігін сақтайды. Жалпы алғанда, SU(n) голономиясы бар n-көптіктегі ағынсыз тығыздалу бастапқы суперсимметрияның 21-n бөлігін сақтайды, бұл II типтегі супергравитациядағы тығыздалу үшін 26-n немесе I типтегі тығыздалу үшін 25-n суперзарядқа сәйкес келеді. Ағындар ескерілгенде, суперсимметрия шарты тығыздау көптігінің жалпыланған Калаби–Яу болуын талап етеді, бұл ұғымды енгізген. Бұл модельдер ағын тығыздаулары деп аталады. F-теориясының әртүрлі Калаби–Яу 4-бүктемелеріндегі тығыздалулары физиктерге жол теориясының ландшафтында көптеген классикалық шешімдерді табуға мүмкіндік береді. Калаби–Яу кеңістігіндегі әрбір тесікке төмен энергиялы жол тербелісінің үлгілері сәйкес келеді. Жол теориясы біздің таныс элементар бөлшектерінің төмен энергиялы жол тербелістеріне сәйкес келетіндігін көрсетеді, сондықтан бірнеше тесіктердің болуы жол үлгілерінің бірнеше топқа немесе отбасыға бөлінуіне әкеледі. Келесі тұжырымды қарапайымдағанмен, ол аргументтің логикасын жеткізеді: егер Калаби–Яу үш тесікке ие болса, онда үш тербеліс үлгілерінің отбасы және демек, үш бөлшек отбасы тәжірибелік түрде байқалады. Логикалық тұрғыдан алғанда, жолдар барлық өлшемдерде тербелістегендіктен, олардың бүктелу пішіні олардың тербелісіне және демек, байқалатын элементар бөлшектердің қасиеттеріне әсер етеді. Мысалы, Эндрю Стромингер мен Эдвард Виттен бөлшектердің массалары Калаби–Яудағы әртүрлі тесіктердің қиылысуына байланысты екенін көрсетті. Басқаша айтқанда, Стромингер мен Виттен тесіктердің бір-біріне және Калаби–Яу кеңістігінің құрамына қатысты орналасуы бөлшектердің массасына белгілі бір әсер ететінін анықтады. Бұл барлық бөлшектердің қасиеттеріне қатысты.
Calabi–Yau manifolds are important in superstring theory. Essentially, Calabi–Yau manifolds are shapes that satisfy the requirement of space for the six "unseen" spatial dimensions of string theory, which may be smaller than our currently observable lengths as they have not yet been detected. A popular alternative known as large extra dimensions, which often occurs in braneworld models, is that the Calabi–Yau is large but we are confined to a small subset on which it intersects a D brane. Further extensions into higher dimensions are currently being explored with additional ramifications for general relativity. In the most conventional superstring models, ten conjectural dimensions in string theory are supposed to come as four of which we are aware, carrying some kind of fibration with fiber dimension six. Compactification on Calabi–Yau n folds are important because they leave some of the original supersymmetry unbroken. More precisely, in the absence of fluxes, compactification on a Calabi–Yau 3 fold (real dimension 6) leaves one quarter of the original supersymmetry unbroken if the holonomy is the full SU(3). More generally, a flux free compactification on an n manifold with holonomy SU(n) leaves 21−n of the original supersymmetry unbroken, corresponding to 26−n supercharges in a compactification of type II supergravity or 25−n supercharges in a compactification of type I. When fluxes are included the supersymmetry condition instead implies that the compactification manifold be a generalized Calabi–Yau, a notion introduced by These models are known as flux compactifications. F theory compactifications on various Calabi–Yau four folds provide physicists with a method to find a large number of classical solutions in the so called string theory landscape. Connected with each hole in the Calabi–Yau space is a group of low energy string vibrational patterns. Since string theory states that our familiar elementary particles correspond to low energy string vibrations, the presence of multiple holes causes the string patterns to fall into multiple groups, or families. Although the following statement has been simplified, it conveys the logic of the argument: if the Calabi–Yau has three holes, then three families of vibrational patterns and thus three families of particles will be observed experimentally. Logically, since strings vibrate through all the dimensions, the shape of the curled up ones will affect their vibrations and thus the properties of the elementary particles observed. For example, Andrew Strominger and Edward Witten have shown that the masses of particles depend on the manner of the intersection of the various holes in a Calabi–Yau. In other words, the positions of the holes relative to one another and to the substance of the Calabi–Yau space was found by Strominger and Witten to affect the masses of particles in a certain way. This is true of all particle properties.
Калаби-Яу алгебрасы
Виктор Гинцбург Калаби-Яу алгебрасын Калаби-Яу манифольдінің геометриясын коммутативті емес алгебралық геометрияға көшіру үшін ұсынды.
A Calabi–Yau algebra was introduced by Victor Ginzburg to transport the geometry of a Calabi–Yau manifold to noncommutative algebraic geometry.