Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Екі функцияның белгілі бір нүктеде тең мәндері мен туындылары болса, олардың арасында контакт болады.
Two functions having equal values and derivatives at a given point
contact of functions
Математикада екі функция P нүктесінде мәндері мен k туындылары тең болса, k реттік контактке ие болады. Бұл эквиваленттік қатынас, оның эквиваленттік сыныптары ұшқыштар деп аталады. Аскуляция нүктесі қос құйрық деп те аталады. Контакт – геометриялық ұғым; оны алгебралық түрде бағалау ретінде де анықтауға болады. Сондай-ақ, бұрыштар мен геометриялық нысандардың бір нүктеде k-шы реттік контактіде болуы туралы да айтылады: бұл оскуляция (яғни, жанасу) деп аталады, бұл тангенстік қасиетті жалпылайды. (Мұнда туындылар доға ұзындығына қатысты қарастырылады.) Берілген қисықтар отбасындағы оскуляциялық қисық – бұл берілген қисықпен белгілі бір нүктеде мүмкін болатын ең жоғары контакт ретіне ие қисық; мысалы, тангенстік түзу – түзулер отбасындағы оскуляциялық қисық және берілген қисықпен бірінші рет контактіде болады; оскуляциялық шеңбер – шеңберлер отбасындағы оскуляциялық қисық және екінші рет контактіде болады (бірдей тангенстік бұрыш пен қисықтық) және т.б.
In mathematics, two functions have a contact of order k if, at a point P, they have the same value and k equal derivatives. This is an equivalence relation, whose equivalence classes are generally called jets. The point of osculation is also called the double cusp. Contact is a geometric notion; it can be defined algebraically as a valuation. One speaks also of curves and geometric objects having k th order contact at a point: this is also called osculation (i. e. kissing), generalising the property of being tangent. (Here the derivatives are considered with respect to arc length.) An osculating curve from a given family of curves is a curve that has the highest possible order of contact with a given curve at a given point; for instance a tangent line is an osculating curve from the family of lines, and has first order contact with the given curve; an osculating circle is an osculating curve from the family of circles, and has second order contact (same tangent angle and curvature), etc.
Қолданбалар
Контакттық формалар — тақ өлшемді көптүрліліктердегі 1-дәрежелі ерекше дифференциалдық формалар; контакттық геометрияға қараңыз. Контакттық түрлендірулер — классикалық механикада маңызды координаттардың өзгеруіне байланысты өзгерістер. Лежандр түрлендіруін де қараңыз. Көптүрліліктер арасындағы контакті сингулярлық теорияда жиі зерттеледі, онда контакті түрлері жіктеледі, оларға A сериясы (A0: қиылысу, A1: жанасу, A2: жақындасу) және сферамен жоғары дәрежеде контакті бар көрек немесе D сериясы жатады.
Contact forms are particular differential forms of degree 1 on odd dimensional manifolds; see contact geometry. Contact transformations are related changes of coordinates, of importance in classical mechanics. See also Legendre transformation. Contact between manifolds is often studied in singularity theory, where the type of contact are classified, these include the A series (A0: crossing, A1: tangent, A2: osculating, ) and the umbilic or D series where there is a high degree of contact with the sphere.
Иілгіш пен шеңбер арасындағы байланыс
Кез келген тегіс жазық қисық S-тің S(t) нүктесі үшін, дәл бір жанасу шеңбері болады, оның радиусы S қисығының t нүктесіндегі қисықтығы κ(t)-ның кері шамасына тең. Қисықтық нөлге тең болған жерде (қисықтағы иілгіш нүктеде), жанасу шеңбері түзу сызық болады. Барлық жанасу шеңберлерінің орталықтарының геометриялық орны (олар "қисықтық орталықтары" деп те аталады) – қисықтың эволюциясы. Егер қисықтықтың туындысы κ'(t) нөлге тең болса, онда жанасу шеңбері үшін 3-ші реттік жанасу болады және қисықтың төбесі бар деп айтылады. Эволюция шеңбердің ортасындағы нүктеде өткелге ие болады. Қисықтықтың екінші туындысының таңбасы қисықтың жергілікті минимум немесе максимум қисықтығын анықтайды. Барлық жабық қисықтарда кем дегенде төрт төбе, екі минимум және екі максимум болады (төрт төбе теоремасы). Әдетте, қисық сызықтың кез келген шеңбермен 4-ші реттік жанасуы болмайды. Дегенмен, 4-ші реттік жанасу 1 параметрлі қисықтар отбасында, отбасының қисығында (параметр өзгерер кезде) екі төбе (бір максимум және бір минимум) бірігіп, жойылуы мүмкін. Мұндай нүктелерде қисықтықтың екінші туындысы нөлге тең болады.
For each point S(t) on a smooth plane curve S, there is exactly one osculating circle, whose radius is the reciprocal of κ(t), the curvature of S at t. Where curvature is zero (at an inflection point on the curve), the osculating circle is a straight line. The locus of the centers of all the osculating circles (also called "centers of curvature") is the evolute of the curve. If the derivative of curvature κ'(t) is zero, then the osculating circle will have 3rd order contact and the curve is said to have a vertex. The evolute will have a cusp at the center of the circle. The sign of the second derivative of curvature determines whether the curve has a local minimum or maximum of curvature. All closed curves will have at least four vertices, two minima and two maxima (the four vertex theorem). In general a curve will not have 4th order contact with any circle. However, 4th order contact can occur generically in a 1 parameter family of curves, at a curve in the family where (as the parameter varies) two vertices (one maximum and one minimum) come together and annihilate. At such points the second derivative of curvature will be zero.
Эконометриядағы битангенттер
Эконометрияда қисық сызықтағы екі нүкте S(t1), S(t2) нүктесімен екі рет жанасатын шеңберлерді де қарастыру мүмкін. Мұндай шеңберлер екі тиісті шеңберлер деп аталады. Барлық екі тиісті шеңберлердің орталықтары симметрия жиынтығын құрайды. Медиалдық ось – симметрия жиынтығының ішкі жиынтығы болып табылады. Бразилиялық және ағылшын эконометрисі Марио Хенрике Симонсен биологиялық объектілердің пішіндерін сипаттау әдісі ретінде осы жиынтықтарды қолданған.
In econometrics it is also possible to consider circles which have two point contact with two points S(t1), S(t2) on the curve. Such circles are bi tangent circles. The centers of all bi tangent circles form the symmetry set. The medial axis is a subset of the symmetry set. These sets have been used as a method of characterising the shapes of biological objects by Mario Henrique Simonsen, Brazilian and English econometrist.