Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Две функции, имеющие равные значения и производные в данной точке, называются находящимися в контакте.
Two functions having equal values and derivatives at a given point
contact of functions
В математике две функции имеют контакт порядка k, если в точке P они имеют одинаковые значения и k равных производных. Это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого обычно называются струями. Точку оскуляции также называют двойной точкой возврата. Контакт – это геометрическое понятие, которое можно определить алгебраически как оценку. Также говорят о кривых и геометрических объектах, имеющих контакт k-го порядка в точке: это также называется оскуляцией (то есть касанием), обобщая свойство касательности. (Здесь производные рассматриваются относительно длины дуги.) Оскуляционная кривая из данного семейства кривых – это кривая, имеющая наивысший возможный порядок контакта с заданной кривой в заданной точке; например, касательная – это оскуляционная кривая из семейства прямых и имеет контакт первого порядка с заданной кривой; оскуляционный круг – это оскуляционная кривая из семейства окружностей и имеет контакт второго порядка (одинаковый касательный угол и кривизна) и так далее.
In mathematics, two functions have a contact of order k if, at a point P, they have the same value and k equal derivatives. This is an equivalence relation, whose equivalence classes are generally called jets. The point of osculation is also called the double cusp. Contact is a geometric notion; it can be defined algebraically as a valuation. One speaks also of curves and geometric objects having k th order contact at a point: this is also called osculation (i. e. kissing), generalising the property of being tangent. (Here the derivatives are considered with respect to arc length.) An osculating curve from a given family of curves is a curve that has the highest possible order of contact with a given curve at a given point; for instance a tangent line is an osculating curve from the family of lines, and has first order contact with the given curve; an osculating circle is an osculating curve from the family of circles, and has second order contact (same tangent angle and curvature), etc.
Приложения
Контактные формы — это особые дифференциальные формы степени 1 на нечетномерных многообразиях; см. контактную геометрию. Контактные преобразования — соответствующие изменения координат, важные в классической механике. См. также преобразование Лежандра. Контакт между многообразиями часто изучается в теории особенностей, где классифицируются типы контакта, включая серии A (A0: пересечение, A1: касание, A2: прикосновение, ) и умбиликальные или D-серии, характеризующиеся высокой степенью контакта со сферой.
Contact forms are particular differential forms of degree 1 on odd dimensional manifolds; see contact geometry. Contact transformations are related changes of coordinates, of importance in classical mechanics. See also Legendre transformation. Contact between manifolds is often studied in singularity theory, where the type of contact are classified, these include the A series (A0: crossing, A1: tangent, A2: osculating, ) and the umbilic or D series where there is a high degree of contact with the sphere.
Контакт между кривой и кругом
Для каждой точки S(t) на гладкой плоской кривой S существует ровно одна оскулирующая окружность, радиус которой является величиной, обратной κ(t) – кривизне S в точке t. Там, где кривизна равна нулю (например, в точке перегиба кривой), оскулирующая окружность вырождается в прямую линию. Геометрическое место центров всех оскулирующих окружностей (также называемых "центрами кривизны") является эволютой кривой. Если производная кривизны κ'(t) равна нулю, то оскулирующая окружность имеет касание третьего порядка, и кривая называется имеющей вершину. Эволюта имеет острие в центре этой окружности. Знак второй производной кривизны определяет, имеет ли кривая локальный минимум или максимум кривизны. Все замкнутые кривые имеют по крайней мере четыре вершины, две минимальные и две максимальные кривизны (теорема о четырех вершинах). В общем случае кривая не имеет касания четвертого порядка с какой-либо окружностью. Однако касание четвертого порядка может возникать в общем случае в однопараметрическом семействе кривых, на кривой семейства, где (при изменении параметра) две вершины (одна максимальная и одна минимальная) сближаются и исчезают. В таких точках вторая производная кривизны равна нулю.
For each point S(t) on a smooth plane curve S, there is exactly one osculating circle, whose radius is the reciprocal of κ(t), the curvature of S at t. Where curvature is zero (at an inflection point on the curve), the osculating circle is a straight line. The locus of the centers of all the osculating circles (also called "centers of curvature") is the evolute of the curve. If the derivative of curvature κ'(t) is zero, then the osculating circle will have 3rd order contact and the curve is said to have a vertex. The evolute will have a cusp at the center of the circle. The sign of the second derivative of curvature determines whether the curve has a local minimum or maximum of curvature. All closed curves will have at least four vertices, two minima and two maxima (the four vertex theorem). In general a curve will not have 4th order contact with any circle. However, 4th order contact can occur generically in a 1 parameter family of curves, at a curve in the family where (as the parameter varies) two vertices (one maximum and one minimum) come together and annihilate. At such points the second derivative of curvature will be zero.
Битангенты в эконометрике
В эконометрике также можно рассматривать окружности, касающиеся кривой в двух точках S(t1), S(t2). Такие окружности называются битангентными. Центры всех битангентных окружностей образуют множество симметрий. Медиальная ось является подмножеством множества симметрий. Эти множества использовались Марио Хенрике Симонсеном, бразильским и английским эконометристом, в качестве метода для описания формы биологических объектов.
In econometrics it is also possible to consider circles which have two point contact with two points S(t1), S(t2) on the curve. Such circles are bi tangent circles. The centers of all bi tangent circles form the symmetry set. The medial axis is a subset of the symmetry set. These sets have been used as a method of characterising the shapes of biological objects by Mario Henrique Simonsen, Brazilian and English econometrist.