Этальдық когомология және алгебралық геометриядағы қолданыстары

Кіріспе

Этальдік сайттағы қаптама кохомологиясы. Математикада алгебралық түрлiлiктердiң немесе схемалардың этальдық кохомология топтары – топологиялық кеңiстiктiң шекті коэффициенттерi бар қалыпты кохомология топтарының алгебралық аналогтары болып табылады. Бұл топтарды Гротендик Вейльдік болжамдарды дәлелдеу мақсатымен енгiзген. Этальдық кохомология теориясы алгебралық геометриядағы Вейльдік кохомология теориясының мысалы болып табылатын ℓ-ади кохомологияны құруға қолданылады. Оның көптеген қолданыс аймақтары бар, мысалы, Вейльдік болжамдарды дәлелдеу және Лай типті шекті топтардың өкiлдерiн құру.

Тарих

Эталь кохомологиясы Жан-Пьер Серрдің кейбір ұсыныстарын пайдаланып, Вейльдік болжамдарды дәлелдеу үшін Вейльдік кохомология теориясын құруға жасалған тыраштан туындады. Негіздерін Гротендик Майкл Артинмен бірге әзірледі және оны жариялады. Гротендик Вейльдік болжамдардың кейбіреуін дәлелдеу үшін эталь кохомологиясын қолданды (Бернард Дворк 1960 жылы p-адық әдістерді пайдаланып, болжамдардың рационалдық бөлігін дәлелдеуге қол жеткізді), ал қалған болжам, Риман гипотезасының аналогы, Пьер Делинь (1974) ℓ-адық кохомологияны қолдана отырып дәлелдеді. Классикалық теориямен байланыс Брауэр тобының Гротендик нұсқасы арқылы табылды; бұл Юрий Манин диофантикалық геометрияда тез арада қолданды. Жалпы теорияның маңыздылығы мен жетістігі осы ақпаратты біріктіруде және осы контексте Понкаре дуальносы және Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы сияқты жалпы нәтижелерді дәлелдеуде болды. Гротендик бастапқыда эталь кохомологиясын өте жалпы жағдайда, Гротендик топостары және Гротендик ғаламдары сияқты ұғымдармен жұмыс істеді. Кейіннен осы механизмнің көп бөлігі эталь теориясының көптеген практикалық қолданбалары үшін қажет емес екені анықталды және эталь кохомология теориясының жеңілдетілген түсіндірмесі берілді. Гротендиктің осы ғаламдарды пайдалануы (олардың бар екендігі Зермело-Фрэнкель жиындар теориясында дәлелденбеуі мүмкін) эталь кохомологиясы мен оның қолданбаларының (мысалы, Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеу) ZFC аксиомаларынан тыс аксиомаларды қажет етуі мүмкін деген болжамдарға әкелді. Дегенмен, іс жүзінде эталь кохомологиясы негізінен бүтін сандар бойынша шекті типтегі схемалар бойынша құрастырылатын қаптамалар үшін қолданылады, бұл жиынтық теориясының терең аксиомаларын қажет етпейді: сақтықпен қажетті объектілерді кез келген санаусыз жиындарды пайдаланбай құрастыруға болады, және бұл ZFC-де, тіпті одан да әлсіз теорияларда жасалуы мүмкін. Эталь кохомологиясы басқа да қолданбаларды тапты, мысалы, Делинь мен Джордж Люстиг оны Ли типті шекті топтардың өкілдіктерін құру үшін қолданды; қараңыз, Делинь-Люстиг теориясы.

Étale cohomology was introduced by , using some suggestions by Jean Pierre Serre, and was motivated by the attempt to construct a Weil cohomology theory in order to prove the Weil conjectures. The foundations were soon after worked out by Grothendieck together with Michael Artin, and published as and SGA 4. Grothendieck used étale cohomology to prove some of the Weil conjectures (Bernard Dwork had already managed to prove the rationality part of the conjectures in 1960 using p adic methods), and the remaining conjecture, the analogue of the Riemann hypothesis was proved by Pierre Deligne (1974) using ℓ adic cohomology. Further contact with classical theory was found in the shape of the Grothendieck version of the Brauer group; this was applied in short order to diophantine geometry, by Yuri Manin. The burden and success of the general theory was certainly both to integrate all this information, and to prove general results such as Poincaré duality and the Lefschetz fixed point theorem in this context. Grothendieck originally developed étale cohomology in an extremely general setting, working with concepts such as Grothendieck toposes and Grothendieck universes. With hindsight, much of this machinery proved unnecessary for most practical applications of the étale theory, and gave a simplified exposition of étale cohomology theory. Grothendieck's use of these universes (whose existence cannot be proved in Zermelo–Fraenkel set theory) led to some speculation that étale cohomology and its applications (such as the proof of Fermat's Last Theorem) require axioms beyond ZFC. However, in practice étale cohomology is used mainly in the case of constructible sheaves over schemes of finite type over the integers, and this needs no deep axioms of set theory: with care the necessary objects can be constructed without using any uncountable sets, and this can be done in ZFC, and even in much weaker theories. Étale cohomology quickly found other applications, for example Deligne and George Lusztig used it to construct representations of finite groups of Lie type; see Deligne–Lusztig theory.

Анықтамалар

Кез келген X схемасы үшін Et(X) санаты – схемадан X-ке дейінгі барлық эталь морфизмдердің санаты. Ол топологиялық кеңістіктің ашық ішкі жиындар санатының аналогы болып табылады, ал оның объектілерін X-тің «этальді ашық ішкі жиындары» ретінде бейресми түрде қарастыруға болады. Топологиялық кеңістіктің екі ашық жиынының қиылысы екі эталь картасының X-ке кері жүргізіліміне сәйкес келеді. Мұнда жинақ теориясының шағын проблемасы бар, өйткені Et(X) – «үлкен» категория: оның объектілері жиынтықты құрамайды. Топологиялық X кеңістігіндегі прешеф – ашық ішкі жиындар санатынан жиындарға дейінгі контравариантты функтор. Аналогия бойынша, X схемасындағы эталь прешефін Et(X) жиындарынан контравариантты функтор деп анықтаймыз. Топологиялық кеңістіктегі F прешефі, егер ол шеф шартын қанағаттандырса, шеф деп аталады: егер ашық ішкі жиынтық Ui ашық ішкі жиынтықтармен жабылған болса, және біз F(Ui) элементтерін барлық i үшін берілгенде, олардың Ui ∩ Uj шектеулері барлық i, j үшін келіседі, онда олар F(U) бірегей элементінің бейнелері болады. Аналогия бойынша, эталь прешеф, егер ол сол шартты қанағаттандырса, шеф деп аталады (ашық жиындардың қиылыстары эталь морфизмдерінің кері жүргізілістерімен ауыстырылса, ал U-ға эталь карталарының жиыны U-ды жабады, егер U-ға негізделген топологиялық кеңістік олардың бейнелерінің бірігінен тұрса). Жалпы алғанда, кез келген Grothendieck топологиясы үшін категорияға ұқсас түрде шефті анықтауға болады. Схемадағы абельдік топтар шефтерінің санатында жеткілікті инъективті объектілер бар, сондықтан сол жақты нақты функторлардың оң жақты туынды функторларын анықтауға болады. Абельдік топтардың F шефінің Hi(F) этальдік когомологиялық топтары қималар функторының оң жақты туынды функторлары ретінде анықталады (мұнда F-тің Γ(F) қималарының кеңістігі F(X) болады). Шефтің қималарын Hom(Z, F) ретінде қарастыруға болады, мұнда Z – бүтін сандарды абельдік топ ретінде қайтаратын шеф. Мұнда туынды функтордың идеясы – қималар функторы дәл тізбектерді сақтамайды, өйткені ол оң жақты нақты емес; гомологиялық алгебраның жалпы принциптеріне сәйкес, H0, H1 функторларының тізбегі болады, олар дәлдікті қалпына келтіру үшін жасалуы керек «компенсацияларды» көрсетеді (қысқа тізбектерден туындайтын ұзын дәл тізбектер). H0 функторы Γ қима функторымен сәйкес келеді. Жалпы алғанда, f: X → Y схемаларының морфизмі f* картасын X-тегі эталь шефтерінен Y-тегі эталь шефтеріне дейін индукциялайды, ал оның оң жақты туынды функторлары Rqf* деп белгіленеді, мұнда q – теріс емес бүтін сан. Егер Y алгебралық жабық өрістің (нүкте) спектрі болса, онда Rqf*(F) = Hq(F). Егер X – ноэтериандық схема болсын. Абельдік эталь шеф F, X-тегі шекті жергілікті тұрақты деп аталады, егер ол X-тің эталь жабылуымен ұсылса. Егер X-ті әрқайсысында F-тің шектеуі жергілікті тұрақты болатын шекті субсхемалар отбасы жабаса, ол құрастырылатын деп аталады. Егер F(U) барлық эталь жабылулар U үшін X торсиялық топ болса, ол торсия деп аталады. Шекті жергілікті тұрақты шефтер құрастырылатын, ал құрастырылатын шефтер торсиялы. Кез келген торсия шефі – құрастырылатын шефтердің сүзгіленген индуктивті шегі.

For any scheme X the category Et(X) is the category of all étale morphisms from a scheme to X. It is an analogue of the category of open subsets of a topological space, and its objects can be thought of informally as "étale open subsets" of X. The intersection of two open sets of a topological space corresponds to the pullback of two étale maps to X. There is a rather minor set theoretical problem here, since Et(X) is a "large" category: its objects do not form a set. A presheaf on a topological space X is a contravariant functor from the category of open subsets to sets. By analogy we define an étale presheaf on a scheme X to be a contravariant functor from Et(X) to sets. A presheaf F on a topological space is called a sheaf if it satisfies the sheaf condition: whenever an open subset is covered by open subsets Ui, and we are given elements of F(Ui) for all i whose restrictions to Ui ∩ Uj agree for all i, j, then they are images of a unique element of F(U). By analogy, an étale presheaf is called a sheaf if it satisfies the same condition (with intersections of open sets replaced by pullbacks of étale morphisms, and where a set of étale maps to U is said to cover U if the topological space underlying U is the union of their images). More generally, one can define a sheaf for any Grothendieck topology on a category in a similar way. The category of sheaves of abelian groups over a scheme has enough injective objects, so one can define right derived functors of left exact functors. The étale cohomology groups Hi(F) of the sheaf F of abelian groups are defined as the right derived functors of the functor of sections,

(where the space of sections Γ(F) of F is F(X)). The sections of a sheaf can be thought of as Hom(Z, F) where Z is the sheaf that returns the integers as an abelian group. The idea of derived functor here is that the functor of sections doesn't respect exact sequences as it is not right exact; according to general principles of homological algebra there will be a sequence of functors H 0, H 1, that represent the 'compensations' that must be made in order to restore some measure of exactness (long exact sequences arising from short ones). The H 0 functor coincides with the section functor Γ. More generally, a morphism of schemes f : X → Y induces a map f∗ from étale sheaves over X to étale sheaves over Y, and its right derived functors are denoted by Rqf∗, for q a non negative integer. In the special case when Y is the spectrum of an algebraically closed field (a point), Rqf∗(F ) is the same as Hq(F ). Suppose that X is a Noetherian scheme. An abelian étale sheaf F over X is called finite locally constant if it is represented by an étale cover of X. It is called constructible if X can be covered by a finite family of subschemes on each of which the restriction of F is finite locally constant. It is called torsion if F(U) is a torsion group for all étale covers U of X. Finite locally constant sheaves are constructible, and constructible sheaves are torsion. Every torsion sheaf is a filtered inductive limit of constructible sheaves.

Қасиеттері

Жалпы алғанда, әртүрліліктің ℓ-адық кохомологиялық топтары күрделі сорттардың сингулярлы кохомологиялық топтарына ұқсас қасиеттерге ие, бірақ олар ℓ-адық бүтін сандардың (немесе сандардың) модульдері болып табылады, бүтін сандардың (немесе рационалды сандардың) емес. Олар біртекті емес проективті сорттарда Поинкаре дуалдығының бір түрін қанағаттандырады, ал күрделі сорттың "mod p бойынша редукциясының" ℓ-адық кохомологиялық топтары сингулярлы кохомологиялық топтармен бірдей дәрежеге ие болады. Күннет формуласы да орынды. Мысалы, күрделі эллиптік қисықтың бірінші кохомологиялық тобы бүтін сандар бойынша 2-дәрежелі еркін модуль, ал шекті өріс үстіндегі эллиптік қисықтың бірінші ℓ-адық кохомологиялық тобы ℓ-адық бүтін сандар бойынша 2-дәрежелі еркін модуль болып табылады, егер ℓ тиісті өрістің сипаттамасы болмаса, және оның Тейт модуліне дуалды болады. ℓ-адық кохомологиялық топтарының сингулярлы кохомологиялық топтарынан жақсырақ болуының бір жолы бар: олар көбінесе Галуа топтарының әрекетіне ұшырайды. Мысалы, егер күрделі сорт рационалды сандар үстінде анықталған болса, оның ℓ-адық кохомологиялық топтары рационалды сандардың абсолютті Галуа тобымен әрекеттеседі: олар Галуа өкілдіктерін ұсынады. Рационалдардың Галуа тобының элементтері, біреулік элементтен және күрделі конъюгациядан басқалары, әдетте рационалдар үстінде анықталған күрделі сорттарға үздіксіз әрекет етпейді, сондықтан сингулярлы кохомологиялық топтарға әсер етпейді. Галуа өкілдігінің бұл құбылысы топологиялық кеңістіктің негізгі тобының сингулярлы кохомологиялық топтарға әсер етуімен байланысты, өйткені Гротендик Галуа тобын бір түрі негізгі топ ретінде қарастырылатынын көрсетті. (Гротендиктің Галуа теориясын да қараңыз.)

Алгебралық қисықтар үшін этальдік кохомология топтарын есептеу

Түрліліктің этальдік когомология топтарын есептеудегі негізгі бастапқы қадам – алгебралық жабық өрістердегі толық байланысқан тегіс алгебралық қисықтар X үшін оларды есептеу болып табылады. Кез келген түрліліктің этальдік когомология топтарын алгебралық топологияның дәстүрлі механизмдерінің аналогтарын қолдану арқылы басқаруға болады, мысалы, фибрацияның спектрлік тізбегі сияқты. Қисықтар үшін есептеу бірнеше қадамнан тұрады, олар келесідей: Gm жойылмайтын функциялардың шоғын белгілейді.

Hi ((X, Gm) есептеу

Жоғарыда көрсетілген дәл сол ұзын тізбектеме i ≥ 2 болғанда, H i(X, Gm) кохомология тобы H i(X, j*Gm,K) тобына изоморфты болады, ал ол Galois кохомология тобы H i(K, K*) тобына изоморфты. Цен теоремасы алгебралық жабық өріс үстіндегі бір айнымалы функциялық өрістің Брауэр тобының нөлдік болып кететінін көрсетеді. Бұл өз кезегінде, барлық Galois кохомология топтары H i(K, K*) i ≥ 1 үшін нөлдік болады, сондықтан барлық кохомология топтары H i(X, Gm) i ≥ 2 болғанда нөлдік болады.

H i ((X, Z/nZ) есептеу

Бастапқы n-ші бірлік түбірін бекіту арқылы Z/nZ тобын n-ші бірлік түбірінің тобы μn-мен сәйкестендіре аламыз. Содан кейін эталь тобы H i(X, Z/nZ) Z/nZ сақинасы үстіндегі бос модуль болып табылады және оның рангысы келесідей беріледі:

мұндағы g – қисық X-тің туысы. Бұл алдыңғы нәтижеден шығады, қисықтың Пикард тобы оның Якобтық әртүрлілігінің нүктелері болып табылады, бұл g өлшемді абелдік әртүрлілік, және егер n және сипаттама өзара жай болса, онда алгебралық жабық өріс үстіндегі g өлшемді абелдік әртүрліліктегі n-ге бөлінетін реті бар нүктелер (Z/nZ)2g-ге изоморфты топты құрайды. Х кешенді қисық болғанда, H i(X, Z/nZ) эталь тобының бұл мәндері сәйкес еңіссіз когомологиялық топтармен сәйкес келеді.

Этальдік кохомология топтарының мысалдары

Егер X абсолютті Галуа тобы G болатын K өрісінің спектрі болса, онда X-тегі этальды шоғырлар (немесе абельдік топтар) (профинитті) топ G-нің әрекетіне түсетін үздіксіз жиындықтарға сәйкес келеді, ал шоғырдың этальды когомологиясы G-нің топтық когомологиясымен бірдей, яғни K-нің Галуа когомологиясы. Егер X күрделі сорт болса, онда шекті коэффициенттері бар этальды когомология шекті коэффициенттері бар сингулярлы когомологияға изоморфты. (Бұл бүтін сан коэффициенттері үшін дұрыс емес.) Жалпы алғанда, кез келген құрастырылатын шоғырдағы коэффициенттермен когомология бірдей. Егер F – когерентті шоғыр (немесе Gm) болса, онда F-тің этальды когомологиясы Зариски топологиясымен есептелген Серрдің когерентті шоғыр когомологиясымен бірдей (егер X – күрделі сорт болса, бұл әдеттегі күрделі топологиямен есептелген шоғыр когомологиясымен бірдей). Абельдік сорттар мен қисықтар үшін ℓ-адикалық когомологияның элементарлық сипаттамасы бар. Абельдік сорттар үшін бірінші ℓ-адикалық когомология тобы – Тейт модулінің дуалы, ал жоғары когомология топтары оның сыртқы қуаттарымен беріледі. Қисықтар үшін бірінші когомология тобы оның Якобианның бірінші когомология тобы болып табылады. Бұл Вейлдің осы екі жағдайда Вейл болжамдарының неғұрлым элементарлық дәлелін беруіне мүмкіндік бергенін түсіндіреді: әдетте, ℓ-адикалық когомологияның элементарлық сипаттамасы болған кезде элементарлық дәлел табуды күтеді.

Иілгіштерге қолдану

Теорияны алгебралық қисықтың жергілікті зетта-функциясына осылай қолдануға болады. Теорема. X – p элементі бар шекті өріс F'p үстінде анықталған g туыстың қисығы болсын. Онда n ≥ 1 үшін

мұнда αi – белгілі бір алгебралық сандарды қанағаттандырады. Бұл p^(n) + 1 нүктесі бар 0 туыстың қисығымен сәйкес келеді. Сонымен қатар, кез келген қисықтағы нүктелер саны проекциялық түзудегі нүктелер санына өте жақын (2gp^(n/2) ішінде) екенін көрсетеді; атап айтқанда, ол эллипстік қисықтар туралы Хассе теоремасын жалпылайды.