Э́тальная когомология и́ли́ схема́ми́

Введение

Кохомология снопов на этальном сайте. В математике этальные когомологические группы алгебраического многообразия или схемы являются алгебраическими аналогами обычных когомологических групп с конечными коэффициентами топологического пространства, введенными Гротендиком для доказательства гипотез Вейля. Теория этальной когомологии может быть использована для построения ℓ-адической когомологии, которая является примером теории когомологии Вейля в алгебраической геометрии. Она имеет множество применений, таких как доказательство гипотез Вейля и построение представлений конечных групп типа Ли.

История

Этальская кохомология была введена, используя некоторые предложения Жана Пьера Серра, и была мотивирована попыткой построить теорию кохомологии Вейля для доказательства гипотез Вейля. Основы вскоре после этого были разработаны Гротендиком совместно с Майклом Артином и опубликованы как SGA 4. Гротендик использовал этальную кохомологию для доказательства некоторых гипотез Вейля (Бернарду Дворку уже удалось доказать рациональную часть гипотез в 1960 году, используя p-адические методы), а оставшаяся гипотеза, аналог гипотезы Римана, была доказана Пьером Делинем (1974) с использованием ℓ-адической кохомологии. Дальнейшая связь с классической теорией была найдена в форме версии группы Брауэра, предложенной Гротендиком; она была быстро применена к диофантовой геометрии Юрием Маниным. Значимость и успех общей теории заключались, безусловно, как в интеграции всей этой информации, так и в доказательстве общих результатов, таких как двойственность Пуанкаре и теорема о неподвижной точке Лефшеца в этом контексте. Гротендик первоначально разработал этальную кохомологию в чрезвычайно общем виде, работая с такими понятиями, как топосы Гротендика и вселенные Гротендика. Однако, оглядываясь назад, большая часть этого аппарата оказалась ненужной для большинства практических применений теории эталей, и была предложена упрощенная экспозиция теории этальной кохомологии. Использование Гротендиком этих вселенных (существование которых нельзя доказать в теории множеств Цермело — Френкеля) привело к предположениям, что этальная кохомология и ее приложения (например, доказательство последней теоремы Ферма) требуют аксиом, выходящих за рамки ZFC. Однако на практике этальная кохомология используется главным образом в случае конструктивных пучков над схемами конечного типа над целыми числами, и для этого не требуются глубокие аксиомы теории множеств: при осторожном подходе необходимые объекты можно построить без использования каких-либо несчетных множеств, и это можно сделать в ZFC и даже в гораздо более слабых теориях. Этальская кохомология быстро нашла и другие применения, например, Делинь и Джордж Лустиг использовали ее для построения представлений конечных групп типа Ли; см. теорию Делиня — Лустига.

Étale cohomology was introduced by , using some suggestions by Jean Pierre Serre, and was motivated by the attempt to construct a Weil cohomology theory in order to prove the Weil conjectures. The foundations were soon after worked out by Grothendieck together with Michael Artin, and published as and SGA 4. Grothendieck used étale cohomology to prove some of the Weil conjectures (Bernard Dwork had already managed to prove the rationality part of the conjectures in 1960 using p adic methods), and the remaining conjecture, the analogue of the Riemann hypothesis was proved by Pierre Deligne (1974) using ℓ adic cohomology. Further contact with classical theory was found in the shape of the Grothendieck version of the Brauer group; this was applied in short order to diophantine geometry, by Yuri Manin. The burden and success of the general theory was certainly both to integrate all this information, and to prove general results such as Poincaré duality and the Lefschetz fixed point theorem in this context. Grothendieck originally developed étale cohomology in an extremely general setting, working with concepts such as Grothendieck toposes and Grothendieck universes. With hindsight, much of this machinery proved unnecessary for most practical applications of the étale theory, and gave a simplified exposition of étale cohomology theory. Grothendieck's use of these universes (whose existence cannot be proved in Zermelo–Fraenkel set theory) led to some speculation that étale cohomology and its applications (such as the proof of Fermat's Last Theorem) require axioms beyond ZFC. However, in practice étale cohomology is used mainly in the case of constructible sheaves over schemes of finite type over the integers, and this needs no deep axioms of set theory: with care the necessary objects can be constructed without using any uncountable sets, and this can be done in ZFC, and even in much weaker theories. Étale cohomology quickly found other applications, for example Deligne and George Lusztig used it to construct representations of finite groups of Lie type; see Deligne–Lusztig theory.

Определения

Для любой схемы X категория Et(X) является категорией всех этальных морфизмов из схемы в X. Это аналог категории открытых подмножеств топологического пространства, и её объекты могут неформально рассматриваться как "этальные открытые подмножества" X. Пересечение двух открытых множеств топологического пространства соответствует обратному отображению двух этальных морфизмов в X. Здесь возникает небольшая теоретико-множественная проблема, поскольку Et(X) является "большой" категорией: её объекты не образуют множество. Прешеф на топологическом пространстве X — это контравариантный функтор из категории открытых подмножеств в множества. По аналогии, этальный прешеф на схеме X определяется как контравариантный функтор из Et(X) в множества. Прешеф F на топологическом пространстве называется пучком, если он удовлетворяет условию пучка: всякий раз, когда открытое подмножество покрыто открытыми подмножествами Ui, и нам даны элементы F(Ui) для всех i, ограничения которых на Ui ∩ Uj согласованы для всех i, j, то они являются образами единственного элемента F(U). По аналогии, этальный прешеф называется пучком, если он удовлетворяет тому же условию (с пересечениями открытых множеств, замененными обратными отображениями этальных морфизмов, и где говорят, что множество этальных морфизмов в U покрывает U, если топологическое пространство, лежащее в основе U, является объединением их образов). В более общем смысле, пучок можно определить для любой топологии Гротендика на категории аналогичным образом. Категория пучков абелевых групп над схемой имеет достаточно инъективных объектов, поэтому можно определить правые производные функторы левых точных функторов. Этальные когомологические группы Hi(F) пучка F абелевых групп определяются как правые производные функторы функтора сечений, (где пространство сечений Γ(F) пучка F равно F(X)). Сечения пучка можно рассматривать как Hom(Z, F), где Z — это пучок, возвращающий целые числа в виде абелевой группы. Идея производного функтора здесь заключается в том, что функтор сечений не сохраняет точные последовательности, поскольку он не является правым точным; согласно общим принципам гомологической алгебры, существует последовательность функторов H0, H1, …, которые представляют собой "компенсации", которые необходимо внести для восстановления некоторой степени точности (длинные точные последовательности, возникающие из коротких). Функтор H0 совпадает с функтором сечений Γ. В более общем смысле, морфизм схем f : X → Y индуцирует отображение f* из этальных пучков над X в этальные пучки над Y, и его правые производные функторы обозначаются Rqf*, для q — неотрицательного целого числа. В частном случае, когда Y является спектром алгебраически замкнутого поля (точкой), Rqf*(F) совпадает с Hq(F). Предположим, что X — схема Ноэтера. Абелевский этальный пучок F над X называется локально постоянным конечного типа, если он представлен этальным покрытием X. Он называется конструктивным, если X можно покрыть конечной семьей подсхем, на каждой из которых ограничение F является локально постоянным конечного типа. Он называется пучком кручения, если F(U) является группой кручения для всех этальных покрытий U из X. Локально постоянные конечного типа пучки являются конструктивными, а конструктивные пучки являются пучками кручения. Каждый пучок кручения является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных пучков.

For any scheme X the category Et(X) is the category of all étale morphisms from a scheme to X. It is an analogue of the category of open subsets of a topological space, and its objects can be thought of informally as "étale open subsets" of X. The intersection of two open sets of a topological space corresponds to the pullback of two étale maps to X. There is a rather minor set theoretical problem here, since Et(X) is a "large" category: its objects do not form a set. A presheaf on a topological space X is a contravariant functor from the category of open subsets to sets. By analogy we define an étale presheaf on a scheme X to be a contravariant functor from Et(X) to sets. A presheaf F on a topological space is called a sheaf if it satisfies the sheaf condition: whenever an open subset is covered by open subsets Ui, and we are given elements of F(Ui) for all i whose restrictions to Ui ∩ Uj agree for all i, j, then they are images of a unique element of F(U). By analogy, an étale presheaf is called a sheaf if it satisfies the same condition (with intersections of open sets replaced by pullbacks of étale morphisms, and where a set of étale maps to U is said to cover U if the topological space underlying U is the union of their images). More generally, one can define a sheaf for any Grothendieck topology on a category in a similar way. The category of sheaves of abelian groups over a scheme has enough injective objects, so one can define right derived functors of left exact functors. The étale cohomology groups Hi(F) of the sheaf F of abelian groups are defined as the right derived functors of the functor of sections,

(where the space of sections Γ(F) of F is F(X)). The sections of a sheaf can be thought of as Hom(Z, F) where Z is the sheaf that returns the integers as an abelian group. The idea of derived functor here is that the functor of sections doesn't respect exact sequences as it is not right exact; according to general principles of homological algebra there will be a sequence of functors H 0, H 1, that represent the 'compensations' that must be made in order to restore some measure of exactness (long exact sequences arising from short ones). The H 0 functor coincides with the section functor Γ. More generally, a morphism of schemes f : X → Y induces a map f∗ from étale sheaves over X to étale sheaves over Y, and its right derived functors are denoted by Rqf∗, for q a non negative integer. In the special case when Y is the spectrum of an algebraically closed field (a point), Rqf∗(F ) is the same as Hq(F ). Suppose that X is a Noetherian scheme. An abelian étale sheaf F over X is called finite locally constant if it is represented by an étale cover of X. It is called constructible if X can be covered by a finite family of subschemes on each of which the restriction of F is finite locally constant. It is called torsion if F(U) is a torsion group for all étale covers U of X. Finite locally constant sheaves are constructible, and constructible sheaves are torsion. Every torsion sheaf is a filtered inductive limit of constructible sheaves.

Свойства

В целом, ℓ-адические когомологические группы многообразия, как правило, обладают свойствами, аналогичными сингулярным когомологическим группам комплексных многообразий, за исключением того, что они являются модулями над ℓ-адическими целыми числами (или числами), а не над целыми числами (или рациональными числами). Они удовлетворяют форме двойственности Пуанкаре на несингулярных проективных многообразиях, и ℓ-адические когомологические группы "редукции по модулю p" комплексного многообразия, как правило, имеют тот же ранг, что и сингулярные когомологические группы. Также справедлива формула Кюннета. Например, первая когомологическая группа комплексной эллиптической кривой является свободным модулем ранга 2 над целыми числами, в то время как первая ℓ-адическая когомологическая группа эллиптической кривой над конечным полем является свободным модулем ранга 2 над ℓ-адическими целыми числами, при условии, что ℓ не является характеристикой рассматриваемого поля, и двойственна своему модулю Тата. ℓ-адические когомологические группы превосходят сингулярные когомологические группы в одном аспекте: на них, как правило, действует группа Галуа. Например, если комплексное многообразие определено над рациональными числами, то его ℓ-адические когомологические группы действуют на абсолютную группу Галуа рациональных чисел, порождая галуа-представления. Элементы группы Галуа рациональных чисел, отличные от единичного и комплексного сопряжения, обычно не действуют непрерывно на комплексное многообразие, определенное над рациональными числами, и, следовательно, не действуют на сингулярные когомологические группы. Это явление галуа-представлений связано с тем, что фундаментальная группа топологического пространства действует на сингулярные когомологические группы, поскольку Гротендик показал, что группу Галуа можно рассматривать как своего рода фундаментальную группу. (См. также теорию Галуа Гротендика.)

Расчет этальных кохомологических групп для алгебраических кривых

Основным начальным шагом в вычислении этальных когомологических групп многообразия является их вычисление для полных связных гладких алгебраических кривых X над алгебраически замкнутыми полями k. Этальные когомологические группы произвольных многообразий затем можно контролировать, используя аналоги обычного аппарата алгебраической топологии, такие как спектральная последовательность расслоения. Для кривых вычисление состоит из нескольких этапов, а именно: Пусть Gm обозначает пучок ненулевых функций.

Расчет Hi ((X, Gm)

Та же длинная точная последовательность, представленная выше, показывает, что если i ≥ 2, то когомологическая группа H i(X, Gm) изоморфна H i(X, j*Gm, K), которая, в свою очередь, изоморфна группе когомологий Галуа H i(K, K*). Теорема Цэня утверждает, что группа Брауэра поля функций K от одной переменной над алгебраически замкнутым полем равна нулю. Это, в свою очередь, влечет за собой, что все группы когомологий Галуа H i(K, K*) равны нулю при i ≥ 1, следовательно, все когомологические группы H i(X, Gm) равны нулю, если i ≥ 2.

Расчет H i ((X, Z/nZ)

Зафиксировав примитивный n-й корень из единицы, можно отождествить группу Z/nZ с группой μn из n-х корней из единицы. Тогда этальная группа H i(X, Z/nZ) является свободным модулем над кольцом Z/nZ, и её ранг равен:

где g — род кривой X. Это следует из предыдущего результата, используя тот факт, что группа Пикара кривой состоит из точек её якобиана, абелева многообразия размерности g, и если n взаимно просто с характеристикой, то точки порядка, делящего n, в абелевом многообразии размерности g над алгебраически замкнутым полем образуют группу, изоморфную (Z/nZ)2g. Эти значения для этальной группы H i(X, Z/nZ) совпадают с соответствующими группами сингулярных когомологий, когда X — комплексная кривая.

Примеры кохомологических групп эталей

Если X — спектр поля K с абсолютной группой Галуа G, то эталевые пучки над X соответствуют непрерывным множествам (или абелевым группам), на которые действует (профинитная) группа G, и эталевая когомология пучка совпадает с групповой когомологией G, то есть с когомологией Галуа поля K. Если X — комплексное многообразие, то эталевая когомология с конечными коэффициентами изоморфна сингулярной когомологии с конечными коэффициентами. (Это неверно для целочисленных коэффициентов.) В более общем случае когомологии с коэффициентами в любом конструктивном пучке совпадают. Если F — когерентный пучок (или Gm), то эталевая когомология F совпадает с когерентной когомологией пучка Серра, вычисленной в топологии Зариски (а если X — комплексное многообразие, то это то же самое, что когомология пучка, вычисленная в обычной комплексной топологии). Для абелевых многообразий и кривых существует элементарное описание ℓ-адической когомологии. Для абелевых многообразий первая ℓ-адическая группа когомологии является дуальным к модулю Тата, а старшие группы когомологии задаются его внешними степенями. Для кривых первая группа когомологии является первой когомологической группой ее якобиана. Это объясняет, почему Вейлю удалось дать более элементарное доказательство гипотез Вейля в этих двух случаях: в общем случае следует ожидать найти элементарное доказательство всякий раз, когда существует элементарное описание ℓ-адической когомологии.

Применение к кривым

Вот как теорию можно применить к локальной дзета-функции алгебраической кривой. Теорема. Пусть X – кривая рода g, определенная над Fₚ, конечным полем из p элементов. Тогда для n ≥ 1,

где αᵢ – некоторые алгебраические числа, удовлетворяющие
Это согласуется с тем, что проективная прямая является кривой рода 0 с pⁿ + 1 точками. Это также показывает, что число точек на любой кривой довольно близко (в пределах 2g p^(n/2)) к числу точек на проективной прямой; в частности, это обобщает теорему Хассе об эллиптических кривых.