Кіріспе
Жартылай қарапайым сақиналар мен алгебраларды жіктеу. Алгебрада Веддерберн-Артин теоремасы – жартылай қарапайым сақиналар мен жартылай қарапайым алгебраларды жіктеуге арналған теорема. Теоремаға сәйкес, (Артиния) жартылай қарапайым сақина R, кейбір бүтін сандар үшін i индексінің орналасуына дейін бірегей анықталатын бөліну сақиналары арқылы шекті матрица сақиналарының көбейтіндісіне изоморфты. Атап айтқанда, кез келген қарапайым сол жақ немесе оң жақ Артиния сақинасы, бөліну сақинасы D арқылы n x n матрицалық сақинаға изоморфты, мұнда n және D екеуі де бірегей анықталады.
In algebra, the Wedderburn–Artin theorem is a classification theorem for semisimple rings and semisimple algebras. The theorem states that an (Artinian) semisimple ring R is isomorphic to a product of finitely many by matrix rings over division rings , for some integers , both of which are uniquely determined up to permutation of the index i. In particular, any simple left or right Artinian ring is isomorphic to an n by n matrix ring over a division ring D, where both n and D are uniquely determined.
Теорема
R (Артиниялық) жартылай қарапайым сақина болсын. Веддерберн-Артин теоремасы бойынша, R сақинасы бөліну сақиналары үстіндегі матрицалық сақиналардың шекті көбейтіндісіне изоморфты, яғни , мұндағы – бүтін сандар және олардың екеуі де i индексінің орналасуына дейін бірегей анықталады. k өрісі үстіндегі алгебралар үшін де Веддерберн-Артин теоремасының нұсқасы бар. Егер R – k өрісі үстіндегі шекті өлшемді жартылай қарапайым алгебра болса, онда жоғарыдағы мәлімдемедегі әрбір – k өрісі үстіндегі шекті өлшемді бөліну алгебрасы болады. Әрбір сақинаның орталығы k болуы міндетті емес, ол k өрісінің шекті кеңейтілуі болуы мүмкін. Егер R – бөліну сақинасы E үстіндегі шекті өлшемді қарапайым алгебра болса, онда D сақинасы E сақинасына кіруі міндетті емес. Мысалы, комплекс сандардағы матрицалық сақиналар нақты сандардағы шекті өлшемді қарапайым алгебралар болып табылады.
Note that if R is a finite dimensional simple algebra over a division ring E, D need not be contained in E. For example, matrix rings over the complex numbers are finite dimensional simple algebras over the real numbers.
Салдарлар
Өрістегі шекті өлшемді алгебра Артиниялық болғандықтан, Веддерберн-Артин теоремасы өрістегі әрбір шекті өлшемді қарапайым алгебраның қандай да бір шекті өлшемді бөлу алгебрасы D үстіндегі n x n матрица сақинасына изоморфты екенін көрсетеді, мұнда n және D екеуі де бірегей анықталады. Бұл жоспарды Джозеф Веддерберн көрсетті. Кейін Эмиль Артин бұл нәтижені қарапайым сол жақ немесе оң жақ Артиниялық сақиналарға жалпылады. Алгебралық жабық өріс үстіндегі жалғыз шекті өлшемді бөлу алгебрасы – өзінің өзі болғандықтан, Веддерберн-Артин теоремасы осы жағдайда маңызды салдарларға ие. R болсын, алгебралық жабық өріс үстіндегі шекті өлшемді алгебра болып табылатын жартылай қарапайым сақина. Онда R – оң бүтін сандар болатын шекті көбейтінді, мұнда – өріс үстіндегі матрицалардың алгебрасы.
Сонымен қатар, Веддерберн-Артин теоремасы өріс үстіндегі шекті өлшемді орталық қарапайым алгебраларды жіктеу мәселесін өріс үстіндегі шекті өлшемді орталық бөлу алгебраларын жіктеу мәселесіне дейін азайтады: яғни, ортасы – өріс болатын бөлу алгебраларын. Бұл кез келген шекті өлшемді орталық қарапайым алгебраның матрица алгебрасына изоморфты екенін білдіреді, мұнда – өріс үстіндегі шекті өлшемді орталық бөлу алгебрасы.
where is a finite dimensional central division algebra over .