Введение

Классификация полупростых колец и алгебр
В алгебре теорема Уэддерберна — Артина является теоремой классификации для полупростых колец и полупростых алгебр. Теорема утверждает, что (артиново) полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа матричных колец над кольцами делений для некоторых целых чисел nᵢ и dᵢ, оба из которых однозначно определены с точностью до перестановки индекса i. В частности, любое простое левое или правое артиново кольцо изоморфно матричному кольцу n x n над кольцом делений D, где как n, так и D однозначно определены.

Теорема

Пусть R — полупростое кольцо (артиново). Тогда теорема Уэддерберна — Артина утверждает, что R изоморфна произведению конечного числа матричных колец над кольцами делений для некоторых целых чисел , оба из которых однозначно определены с точностью до перестановки индекса i. Существует также версия теоремы Уэддерберна — Артина для алгебр над полем k. Если R — конечномерная полупростая k-алгебра, то каждое в вышеуказанном утверждении является конечномерной алгеброй делений над k. Центр каждого из них не обязательно должен быть равен k; он может быть конечным расширением k.

Следует отметить, что если R — конечномерная простая алгебра над кольцом делений E, то D не обязательно содержится в E. Например, матричные кольца над комплексными числами являются конечномерными простыми алгебрами над действительными числами.

Последствия

Поскольку конечномерная алгебра над полем является артиновой, теорема Уэддерберна — Артина подразумевает, что каждая конечномерная простая алгебра над полем изоморфна кольцу n × n матриц над некоторой конечномерной алгеброй деления D над , где и n, и D однозначно определены. Это было показано Джозефом Веддерберном. Эмиль Артин позднее обобщил этот результат на случай простых левых или правых артиновых колец. Поскольку единственной конечномерной алгеброй деления над алгебраически замкнутым полем является само поле, теорема Уэддерберна — Артина имеет важные следствия в этом случае. Пусть R — полупростое кольцо, являющееся конечномерной алгеброй над алгебраически замкнутым полем . Тогда R является конечным произведением , где — положительные целые числа, а — алгебра матриц над .

Более того, теорема Уэддерберна — Артина сводит задачу классификации конечномерных центральных простых алгебр над полем к задаче классификации конечномерных центральных алгебр деления над : то есть, алгебр деления над , чей центр равен . Из этого следует, что любая конечномерная центральная простая алгебра над изоморфна матричной алгебре , где — конечномерная центральная алгебра деления над .