Кіріспе

Комплексті сандардан басқа сақиналарға жалпыланған Мёбиус түрлендіруі

Математикада сызықтық бөлшектік түрлендіру – бұл, шамамен айтқанда, кері түрлендіру, мысалы,

түрінде беріледі. Нақты анықтама a, b, c, d және z шамаларының мәніне байланысты. Басқаша айтқанда, сызықтық бөлшектік түрлендіру – бұл сызықтық есептелген алымы мен бөлімі бар бөлшек түрінде көрсетілген түрлендіру. Ең қарапайым жағдайда a, b, c, d және z – комплекс сандар (мұндай жағдайда түрлендіру Мёбиус түрлендіруі деп те аталады) немесе жалпы алғанда, өріс элементтері. Кері айналу шарты ad – bc ≠ 0 теңсіздігімен сипатталады. Өрісте сызықтық бөлшектік түрлендіру – проективті түрлендірудің өріске немесе проективті түзудің гомографиясына шектелуі. Егер a, b, c, d бүтін сандар болса (немесе жалпы алғанда, бүтін доменге жатса), z – рационал сан болуы керек (немесе бүтін доменнің бөлшектер өрісіне жатуы керек). Мұндай жағдайда, кері айналу шарты ad – bc доменнің бірлігі болуы тиіс (яғни, бүтін сандар жағдайында 1 немесе -1). Ең жалпы жағдайда a, b, c, d және z – сақина элементтері, мысалы, шаршы матрицалар. Мұндай сызықтық бөлшектік түрлендірудің мысалы – Кейли түрлендіруі, ол бастапқыда 3 × 3 нақты матрица сақинасында анықталған. Сызықтық бөлшектік түрлендірулер математиканың түрлі салаларында және инженерлік салаларда, мысалы, классикалық геометрияда, сандар теориясында (олар, мысалы, Вайлстың Ферманың соңғы теоремасын дәлелдеуінде қолданылады), топтар теориясында, басқару теориясында кеңінен қолданылады.

Гиперболалық геометрияда қолдану

Күрделі жазықтықта жалпыланған шеңбер тура сызық немесе шеңбер болып табылады. Шексіздіктегі нүктемен толықталғанда, жазықтықтағы жалпыланған шеңберлер Риман сферасының бетіндегі шеңберлерге сәйкес келеді, бұл күрделі проективтік түзудің бір көрінісі. Сызықтық бөлшектік түрлендірулер сферадағы осы шеңберлерді және күрделі жазықтықтағы жалпыланған шеңберлердің сәйкес шекті нүктелерін өзгертеді. Гиперболалық жазықтықтың модельдерін құру үшін нүктелерді бейнелеу үшін бірлік дискі және жоғарғы жарты жазықтық қолданылады. Бұл күрделі жазықтықтың ішкі жиынтықтарына Кейли-Клейн метрикасы беріледі. Содан кейін екі нүкте арасындағы қашықтық осы нүктелер арқылы өтетін жалпыланған шеңберді және модель үшін қолданылатын жиынның шекарасына перпендикуляр түзуді пайдалана отырып есептеледі. Бұл жалпыланған шеңбер шекараны тағы екі нүктеде қиып өтеді. Барлық төрт нүкте Кейли-Клейн метрикасын анықтайтын қиылыс қатынасында қолданылады. Сызықтық бөлшектік түрлендірулер қиылыс қатынасын өзгермей сақтайды, сондықтан бірлік дискіні немесе жоғарғы жарты жазықтықты өзгеріссіз қалдыратын кез келген сызықтық бөлшектік түрлендіру гиперболалық жазықтық метрикалық кеңістігінің изометриясы болып табылады. Генри Пуанкаре осы модельдерді түсіндіргеннен бері олар оның атымен аталады: Пуанкаре дискісінің моделі және Пуанкаре жарты жазықтық моделі. Әрбір модельде Мобиус тобының ішкі тобы болып табылатын изометриялар тобы бар: дискі моделі үшін изометрия тобы SU(1, 1) болып табылады, онда сызықтық бөлшектік түрлендірулер «арнайы унитарлы», ал жоғарғы жарты жазықтық үшін изометрия тобы PSL(2, ℝ) – нақты коэффициенттері бар және детерминанты бірге тең сызықтық бөлшектік түрлендірулердің проективтік сызықтық тобы.

Жоғары математикада қолдану

Мёбиус түрлендірулері жалғастыра түсетін бөлшектер теориясында және эллиптік қисықтар мен модульдік формалардың аналитикалық сандар теориясында кеңінен қолданылады, себебі ол модульдік топтың әрекеті аясында жоғарғы жарты жазықтығының автоморфизмдерін сипаттайды. Ол сондай-ақ Хопф фибрациясының канондық мысалы болып табылады, онда сызықтық бөлшектік түрлендіруден туындаған геодезиялық ағын кешенді проекциялық кеңістікті тұрақты және тұрақсыз көптүрліліктерге жіктейді, ал хороциклдер геодезиялықтарға перпендикуляр болып көрінеді. Фибрацияның жұмыс істеп тұрған мысалы үшін Аносов ағынына жүгініңіз: бұл мысалда геодезиялар a, b, c және d нақты сандары бар бөлшектік сызықтық түрлендіру арқылы беріледі, мұнда 1=ad − bc = 1. Шамамен айтқанда, орталық көптүрлілік параболалық түрлендірулермен, тұрақсыз көптүрлілік гиперболалық түрлендірулермен, ал тұрақты көптүрлілік эллипстік түрлендірулермен жасалады.

Басқару теориясында қолдану

Линейлік фракциялық түрлендірулер механикалық және электрлік инженериядағы объект-басқарушы байланыс мәселелерін шешу үшін басқару теориясында кеңінен қолданылады. Сызықтық фракциялық түрлендірулерді Редхеффер жұлдыздық көбейтіндісімен біріктірудің жалпы процедурасы, оларды жалпы дифференциалдық теңдеулердің шашырау теориясына қолдануға мүмкіндік береді, соның ішінде кванттық механикадағы S-матрица тәсіліне және кванттық өріс теориясына, ортадағы акустикалық толқындардың шашырауына (мысалы, термаклиндер және мұхиттардағы суасты кемелері сияқты) және дифференциалдық теңдеулердегі шашырау мен байланысқан күйлерді жалпы талдауға. Мұнда 3 × 3 матрица компоненттері кіріс, байланысқан және шығыс күйлерін көрсетеді. Сызықтық фракциялық түрлендірулерді қолданудың ең қарапайым мысалы, демпферленген гармоникалық осцилляторды талдау болып табылады. Тағы бір элементарлық қолданба – Фробеньдің канондық түрін, яғни полиномның серік матрицасын алу.

Қалыпты қасиет

Кешенді сандар мен дуалды сандардың коммутативтік сақиналары, бұрыш пен "айналуды" көрсететін сақиналар ретінде, қалыпты кешенді сандарға қосылады. Әрбір жағдайда, ойдағы оське қолданылатын экспоненциалдық бейнелеу (A, +) және бірліктер тобындағы (U, ×) бір параметрлік топтар арасында изоморфизм тудырады: "бұрыш" y – хост сақинасына сәйкес гиперболалық бұрыш, еңіс немесе шеңберлік бұрыш. Сызықтық бөлшек түрлендірулер олардың туындыларын қарастыру арқылы конформды бейнелеулер екені көрсетіледі: көбейтуге кері түрлендіру z → 1/z және сызықтық түрлендірулер z → az + b. Конформдылықты туындыларының барлығы конформды екенін көрсету арқылы растауға болады. z → z + b түрлендіруі – бастау нүктесінің өзгеруі және бұрышқа әсер етпейді. z → az конформды екенін көрсету үшін a және z-дің полярлық жіктелуін қарастырайық. Әр жағдайда a-ның бұрышы z-дің бұрышына қосылады, нәтижесінде конформды бейнелеу пайда болады. Соңында, кері түрлендіру конформды, өйткені z → 1/z түрлендіруі…