Введение

Преобразование Мёбиуса обобщено на кольца, отличные от комплексных чисел.

В математике линейное дробное преобразование, грубо говоря, является обратимым преобразованием вида:

Точное определение зависит от природы чисел a, b, c, d и z. Иными словами, линейное дробное преобразование – это преобразование, которое представляется дробью, числитель и знаменатель которой линейны. В наиболее общем случае a, b, c, d и z являются комплексными числами (в этом случае преобразование также называется преобразованием Мёбиуса), или, в более широком смысле, элементами поля. Условие обратимости тогда ad – bc ≠ 0. Над полем линейное дробное преобразование является ограничением поля проективного преобразования или гомографии проективной прямой. Когда a, b, c, d – целые числа (или, в более общем случае, принадлежат целостному домену), z предполагается рациональным числом (или принадлежит полю частных этого целостного домена). В этом случае условие обратимости состоит в том, что ad – bc должно быть единицей домена (то есть 1 или -1 в случае целых чисел). В наиболее общем случае a, b, c, d и z являются элементами кольца, например, квадратных матриц. Примером такого линейного дробного преобразования является преобразование Кэйли, которое первоначально было определено на кольце 3 × 3 вещественных матриц. Линейные дробные преобразования широко используются в различных областях математики и её приложениях в инженерии, таких как классическая геометрия, теория чисел (они используются, например, в доказательстве Уайлса последней теоремы Ферма), теория групп, теория управления.

Использование в гиперболической геометрии

В комплексной плоскости обобщённый круг является либо прямой, либо окружностью. При добавлении точки в бесконечности, обобщённые круги в плоскости соответствуют окружностям на поверхности сферы Римана, что является выражением комплексной проективной прямой. Линейные дробные преобразования переставляют эти окружности на сфере, а также соответствующие конечные точки обобщённых кругов в комплексной плоскости. Для построения моделей гиперболической плоскости в качестве представления точек используются единичный диск и верхняя полуплоскость. Эти подмножества комплексной плоскости снабжены метрикой Кейли — Клейна. Затем расстояние между двумя точками вычисляется с использованием обобщённого круга, проходящего через эти точки и перпендикулярного границе подмножества, используемого для модели. Этот обобщённый круг пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в двойном отношении, которое определяет метрику Кейли — Клейна. Линейные дробные преобразования инвариантны относительно двойного отношения, поэтому любое линейное дробное преобразование, сохраняющее стабильность единичного диска или верхней полуплоскости, является изометрией гиперболического метрического пространства. Поскольку Анри Пуанкаре подробно описал эти модели, они были названы в его честь: модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре. Каждая модель имеет группу изометрий, являющуюся подгруппой группы Мёбиуса: группой изометрий для модели диска является SU(1, 1), где линейные дробные преобразования являются «специально унитарными», а для верхней полуплоскости группой изометрий является PSL(2, ℝ), проективная линейная группа линейных дробных преобразований с вещественными коэффициентами и определителем, равным единице.

Использование в высшей математике

Трансформации Мёбиуса часто встречаются в теории непрерывных дробей, а также в аналитической теории чисел, связанной с эллиптическими кривыми и модульными формами, поскольку они описывают автоморфизмы верхней полуплоскости при действии модульной группы. Они также предоставляют канонический пример фибрации Хопфа, где геодезический поток, индуцированный линейно-дробным преобразованием, раскладывает комплексное проективное пространство на стабильные и нестабильные многообразия, при этом гороциклы оказываются перпендикулярными геодезическим. Подробный пример фибрации можно найти в статье об аносовском потоке: в этом примере геодезические задаются линейно-дробным преобразованием с вещественными коэффициентами a, b, c и d, удовлетворяющими условию ad − bc = 1. В общих чертах, центральное многообразие генерируется параболическими преобразованиями, нестабильное многообразие – гиперболическими преобразованиями, а стабильное многообразие – эллиптическими преобразованиями.

Использование в теории управления

Линейные дробные преобразования широко используются в теории управления для решения задач, связанных с соотношением между объектом управления и контроллером, в механической и электротехнике. Общая процедура комбинирования линейных дробных преобразований со звездообразным произведением Редхеффера позволяет применять их к теории рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая S-матричный подход в квантовой механике и квантовой теории поля, рассеяние акустических волн в средах (например, термоклины и подводные лодки в океане и т.д.) и общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3 × 3 соответствуют входящим, связанным и выходящим состояниям. Возможно, самый простой пример применения линейных дробных преобразований встречается при анализе затухающего гармонического осциллятора. Другое элементарное применение – получение нормальной формы Фробениуса, то есть сопутствующей матрицы многочлена.

Конформная собственность

Коммутативные кольца расщеплённых комплексных чисел и двойственных чисел присоединяются к обычным комплексным числам как кольца, выражающие угол и "вращение". В каждом случае экспоненциальное отображение, применённое к мнимой оси, порождает изоморфизм между однопараметрическими группами в (A, +) и в группе единиц (U, ×). "Угол" y является гиперболическим углом, наклоном или циклическим углом в зависимости от базового кольца. Показано, что линейные дробные преобразования являются конформными отображениями, рассматривая их образующие: мультипликативную инверсию z → 1/z и аффинные преобразования z → az + b. Конформность может быть подтверждена, показав, что все образующие конформны. Трансляция z → z + b является изменением начала координат и не влияет на угол. Чтобы показать, что z → az конформно, рассмотрим полярное разложение a и z. В каждом случае угол a добавляется к углу z, что приводит к конформному отображению. Наконец, инверсия конформна, поскольку z → 1/z отправляет…