Кіріспе
Көпшелік теңдеу, әдетте бір өзгермелі
In mathematics, an algebraic equation or polynomial equation is an equation of the form , where P is a polynomial with coefficients in some field, often the field of the rational numbers. For example, is an algebraic equation with integer coefficients and
is a multivariate polynomial equation over the rationals. For many authors, the term algebraic equation refers only to the univariate case, that is polynomial equations that involve only one variable. On the other hand, a polynomial equation may involve several variables (the multivariate case), in which case the term polynomial equation is usually preferred. Some but not all polynomial equations with rational coefficients have a solution that is an algebraic expression that can be found using a finite number of operations that involve only those same types of coefficients (that is, can be solved algebraically). This can be done for all such equations of degree one, two, three, or four; but for degree five or more it can only be done for some equations, not all. A large amount of research has been devoted to compute efficiently accurate approximations of the real or complex solutions of a univariate algebraic equation (see Root finding algorithm) and of the common solutions of several multivariate polynomial equations (see System of polynomial equations).
Математикада алгебралық теңдеу немесе көпшелік теңдеу – P көпшелігінің белгілі бір өрістегі коэффициенттері бар, көбінесе рационал сандар өрісі. Мысалы, бүтін коэффициенттері бар алгебралық теңдеу, ал рационалдардағы көп өзгермелі көпшелік теңдеу. Көп авторлар үшін алгебралық теңдеу термині тек бір өзгермелі жағдайын білдіреді, яғни тек бір өзгермеліні қамтитын көпшелік теңдеулер. Екінші жағынан, көпшелік теңдеу бірнеше өзгермеліні (көп өзгермелі жағдай) қамтуы мүмкін, мұндай жағдайда көпшелік теңдеу термині көбірек қолданылады. Рационал коэффициенттері бар кейбір, бірақ барлық емес көпшелік теңдеулердің шешімі бар, ол тек сол коэффициенттердің түрлерін ғана қолданатын шекті сандағы амалдар арқылы табылған алгебралық өрнек болып табылады (яғни алгебралық түрде шешіледі). Мұны бірінші, екінші, үшінші немесе төртінші дәрежелі барлық теңдеулер үшін жасауға болады, бірақ бесінші немесе одан жоғары дәрежелі теңдеулер үшін тек кейбір теңдеулер үшін ғана мүмкін, барлығы үшін емес. Бір өзгермелі алгебралық теңдеудің нақты немесе кешенді шешімдерін (Тамыр табу алгоритміне қараңыз) және бірнеше көп өзгермелі көпшелік теңдеулердің ортақ шешімдерін (Көпшелік теңдеулер жүйесіне қараңыз) тиімді және дәл есептеуге көп зерттеулер арналды.
In mathematics, an algebraic equation or polynomial equation is an equation of the form , where P is a polynomial with coefficients in some field, often the field of the rational numbers. For example, is an algebraic equation with integer coefficients and
is a multivariate polynomial equation over the rationals. For many authors, the term algebraic equation refers only to the univariate case, that is polynomial equations that involve only one variable. On the other hand, a polynomial equation may involve several variables (the multivariate case), in which case the term polynomial equation is usually preferred. Some but not all polynomial equations with rational coefficients have a solution that is an algebraic expression that can be found using a finite number of operations that involve only those same types of coefficients (that is, can be solved algebraically). This can be done for all such equations of degree one, two, three, or four; but for degree five or more it can only be done for some equations, not all. A large amount of research has been devoted to compute efficiently accurate approximations of the real or complex solutions of a univariate algebraic equation (see Root finding algorithm) and of the common solutions of several multivariate polynomial equations (see System of polynomial equations).
Терминология
"Алгебралық теңдеу" термині алгебраның негізгі міндеті біржалқы көпмүшелік теңдеулерді шешу болған кезден бастау алады. Бұл мәселе 19 ғасырда толыққанды шешілді; Алгебраның негізгі теоремасы, Абель-Руффини теоремасы және Галуа теориясы қараңыз. Содан бері алгебраның көлемі едәуір кеңейді. Атап айтқанда, ол n-ші дәрежелі түбірлерді және жалпы алғанда алгебралық өрнектерді қамтитын теңдеулерді зерттейді. Бұл "алгебралық теңдеу" терминін ескі мәселенің контексінен тыс екіұшты етеді. Сондықтан, осы екіұштылық туындаған жағдайда, әсіресе көп айнымалы теңдеулерді қарастырғанда, "көпмүшелік теңдеу" термині көбінесе артықшылыққа ие.
Тарих
Алгебралық теңдеулерді зерттеу математика сияқты көне: Вавилондық математиктер б.з.д. 2000 жылы кейбір квадраттық теңдеулерді шеше білді (Ескі Вавилонның саз тақталарында көрсетілген). Рационалдардағы (яғни, рационалды коэффициенттері бар) бір айнымалы алгебралық теңдеулердің өте ұзақ тарихы бар. Ежелгі математиктер шешімдерді радикалдық өрнектер түрінде, мысалы, оң шешім үшін іздеді. Ежелгі египеттіктер 2-дәрежелі теңдеулерді осылайша шешуді білген. Үнді математигі Брахмагупта (597–668 ж.ж.) 628 жылы жарық көрген «Брахмасфутасиддханта» трактатында квадраттық формуланы нақты сипаттады, бірақ оны символдардың орнына сөздермен жазды. 9-ғасырда Мұхаммед ибн Мұса әл-Хорезми және басқа ислам математиктері 2-дәрежелі теңдеулердің жалпы шешімі болып табылатын квадраттық формуланы туынды етті және дискриминанттың маңыздылығын мойындады. Ренессанс кезінде 1545 жылы Героламо Кардано Сципионе дель Ферро мен Николо Фонтана Тартальяның 3-дәрежелі теңдеулерге, ал Лодовико Ферраридің 4-дәрежелі теңдеулерге берген шешімдерін жариялады. Соңында Нильс Хенрик Абель 1824 жылы 5-дәрежелі және одан жоғары дәрежелі теңдеулердің радикалдарды қолдану арқылы жалпы шешімі жоқ екенін дәлелдеді. Эварист Галуаның атымен аталған Галуа теориясы, кем дегенде 5-дәрежелі кейбір теңдеулердің радикалдарда ерекше шешімі жоқ екенін көрсетті және теңдеудің радикалдарды қолдану арқылы шешілетінін анықтау критерийлерін ұсынды.
Нақты және күрделі теңдеулердің шешімдерінің болуы
Алгебраның негізгі теоремасы күрделі сандар өрісі алгебралық жабық екенін, яғни күрделі коэффициенттері және бірінші дәрежеден жоғары дәрежесі бар барлық полиномиалдық теңдеулердің шешімі бар екенін мәлімдейді. Осыдан, нақты коэффициенттері бар бірінші дәрежеден жоғары дәрежелі барлық полиномиалдық теңдеулердің күрделі шешімі бар екендігі шығады. Алайда, мысалы, теңдеудің ішінде шешімі жоқ (шешімдері қиял бірліктері i және –i). Нақты теңдеулердің нақты шешімдері түсінікті (олар 1=y = P(x қисығы x осьін кесетін нүктелердің x координаталары), бірақ нақты теңдеулердің күрделі шешімдерінің болуы таңқаларлық және көру қиын болуы мүмкін. Дегенмен, біртұтас коэффициенті бар тақ дәрежелі полином міндетті түрде нақты түбірге ие болуы керек. Х-ке байланысты полиномиалдық функция үздіксіз болып табылады, және x плюс шегінсіздікке жақындағанда ол -ге, ал x минус шегінсіздікке жақындағанда -ге ұмтылады. Аралық мән теоремасы бойынша, ол кейбір нақты x үшін нөлге тең болуы керек, ол полиномиалдық теңдеудің шешімі болып табылады.
Галуа теориясымен байланысы
Нақты немесе кешенді, төртінші дәрежеден кем немесе оған тең дәрежедегі көпмүшелердің шешімдерін олардың коэффициенттері арқылы табуға мүмкіндік беретін формулалар бар. Абель бес немесе одан жоғары дәрежелі теңдеулер үшін мұндай формуланы жалпы жағдайда (төрт арифметикалық амал мен түбірлерді ғана қолдана отырып) табу мүмкін емес екенін дәлелдеді. Галуа теориясы берілген көпмүше теңдеуінің шешімін радикалдар арқылы өрнектеуге болатынын анықтауға қажетті критерийді ұсынады.
Факторинг
Егер n дәрежелі P(x) = 0 теңдеуінің рационалдық түбірі α болса, онда оған сәйкес келетін көпмүшені P(X) = (X – α)Q(X) түрінде жіктеуге болады (P(X)-ты X – α-ға бөлу арқылы немесе P(X) – P(α)-ны X^(k) – α^(k) түріндегі мүшелердің сызықтық комбинациясы ретінде жазып, X – α-ны жақшадан шығару арқылы). Осылайша, P(x) = 0 теңдеуін шешу, P(x) = 0 теңдеуін шешуге дейін Q(x) = 0, n-1 дәрежелі теңдеуін шешуге келтіріледі. Мысалы, n = 3 жағдайын қарастырыңыз.
Кубтық теңдеулер
Кубтық теңдеулерді радикалдар арқылы шешудің ең белгілі әдісі – Кардано формуласы.
Жоғары дәрежелі теңдеулер
Эварист Галуа мен Нильс Хенрик Абель тәуелсіз түрде 5 немесе одан жоғары дәрежелі көпмүшелердің радикалдар арқылы жалпы жағдайда шешілмейтінін көрсетті. Дегенмен, кейбір нақты теңдеулердің шешімі бар, мысалы, 5 және 17 дәрежелі циклотомдық көпмүшелерге қатысты теңдеулер. Чарльз Гермит болса, 5-ші дәрежелі көпмүшелерді эллипстік функциялар қолданып шешуге болатынын көрсетті. Басқа жағдайларда, Ньютон әдісі сияқты түбір табу алгоритмдерін пайдаланып, түбірлерге жуық мән табуға болады.