Введение

Полиномиальное уравнение, как правило, одновариантное

В математике алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение — это уравнение вида , где P — полином с коэффициентами в некотором поле, часто в поле рациональных чисел. Например, является алгебраическим уравнением с целыми коэффициентами, а

— многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами. Для многих авторов термин «алгебраическое уравнение» относится только к одновариантному случаю, то есть к полиномиальным уравнениям, содержащим только одну переменную. С другой стороны, полиномиальное уравнение может содержать несколько переменных (многомерный случай), в этом случае обычно предпочтительнее термин «полиномиальное уравнение». Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, которое является алгебраическим выражением, находящимся с помощью конечного числа операций, включающих только те же типы коэффициентов (то есть могут быть решены алгебраически). Это возможно для всех уравнений степени один, два, три или четыре, но для степени пять и выше — лишь для некоторых, а не для всех. Значительные исследования посвящены эффективному вычислению точных приближений вещественных или комплексных решений одновариантного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корней) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений).

Терминология

Термин "алгебраическое уравнение" возник во времена, когда основной задачей алгебры было решение унивариантных полиномиальных уравнений. Эта проблема была полностью решена в XIX веке; см. фундаментальную теорему алгебры, теорему Абеля — Руффини и теорию Галуа. С тех пор область алгебры значительно расширилась. В частности, она включает изучение уравнений, содержащих корни n-й степени и, в более общем смысле, алгебраические выражения. Это делает термин "алгебраическое уравнение" неоднозначным вне контекста исходной задачи. Поэтому термин "полиномиальное уравнение" обычно предпочтительнее, когда может возникнуть такая неоднозначность, особенно при рассмотрении многомерных уравнений.

История

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, так же старо, как и сама математика: вавилонские математики уже в 2000 году до нашей эры могли решать некоторые виды квадратных уравнений (зафиксированные на древневавилонских глиняных табличках). Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (то есть с рациональными коэффициентами) имеют очень долгую историю. Древние математики стремились находить решения в виде радикальных выражений, например, для положительного решения. Древние египтяне умели решать уравнения второй степени таким образом. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. н.э.) явно описал квадратную формулу в своем трактате «Брахмасфутасиддханта», опубликованном в 628 году н.э., но представленную словами, а не символами. В IX веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики вывели квадратную формулу, общее решение уравнений второй степени, и осознали важность дискриминанта. В эпоху Возрождения, в 1545 году, Джероламо Кардано опубликовал решение уравнений третьей степени, найденное Сципионом дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья, а также решение уравнений четвертой степени, предложенное Лодовико Феррари. Наконец, Нильс Хенрик Абель доказал в 1824 году, что уравнения пятой степени и выше не имеют общих решений, выражающихся через радикалы. Теория Галуа, названная в честь Эвариста Галуа, показала, что некоторые уравнения, по крайней мере пятой степени, даже не имеют частного решения, выражающегося через радикалы, и предоставила критерии для определения, разрешимо ли уравнение с использованием радикалов.

Существование решений действительных и сложных уравнений

Фундаментальная теорема алгебры гласит, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не менее единицы имеют решение. Из этого следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 или более с действительными коэффициентами имеют комплексное решение. С другой стороны, уравнение, такое как, не имеет решения в (решениями являются мнимые единицы i и –i). В то время как действительные решения действительных уравнений интуитивно понятны (они являются x-координатами точек, где кривая y = P(x) пересекает ось x), существование комплексных решений действительных уравнений может быть неожиданным и труднее для визуализации. Однако моничный многочлен нечётной степени обязательно должен иметь действительный корень. Соответствующая многочленная функция от x непрерывна, и она стремится к при x, стремящемся к и к при x, стремящемся к . По теореме о промежуточном значении, она должна, следовательно, принимать значение ноль в некоторой точке x, являющейся действительным числом, которая и будет решением полиномиального уравнения.

Связь с теорией Галуа

Существуют формулы, выражающие решения полиномов вещественной или комплексной переменной степени не выше четырех через их коэффициенты. Абель доказал, что в общем случае невозможно найти такую формулу (с использованием только четырех арифметических операций и извлечения корней) для уравнений степени пять и выше. Теория Галуа предоставляет критерий, позволяющий установить, можно ли решение заданного полиномиального уравнения выразить в радикалах.

Факторинг

Если уравнение P(x) = 0 степени n имеет рациональный корень α, то соответствующий многочлен можно разложить на множители, чтобы получить форму P(X) = (X – α)Q(X) (путем деления P(X) на X – α или путем представления P(X) – P(α) в виде линейной комбинации членов вида X^(k) – α^(k) и вынесения за скобки X – α). Таким образом, решение уравнения P(x) = 0 сводится к решению уравнения Q(x) = 0 степени n – 1. См., например, случай n = 3.

Кубические уравнения

Наиболее известным методом решения кубических уравнений, выражающим корни через радикалы, является формула Кардано.

Уравнения высшей степени

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо друг от друга доказали, что в общем случае многочлен степени 5 или выше не может быть решён с помощью радикалов. Некоторые конкретные уравнения всё же имеют решения, например, те, что связаны с циклотомическими многочленами степеней 5 и 17. Чарльз Эрмит, с другой стороны, показал, что многочлены пятой степени могут быть решены с использованием эллиптических функций. В остальных случаях можно найти численные приближения корней, используя алгоритмы поиска корней, такие как метод Ньютона.