Кіріспе

Белгілі бір кеңістіктің қозғалысы кем дегенде бір нүктені сақтайды. Математикада айналу – бұл кем дегенде бір нүктені сақтайтын белгілі бір кеңістіктің қозғалысы. Ол, мысалы, қатты дененің белгілі бір нүктеде қозғалуын сипаттауы мүмкін. Айналу белгісі болуы мүмкін (бұрыш белгісі сияқты): сағат тілімен айналу теріс шама, ал сағат тіліне қарсы айналу оң шама болып есептеледі. Айналу басқа қозғалыс түрлерінен өзгеше: трансляциялар, оларда бекітілген нүктелер жоқ, және (гипержазықтық) шағылыстар, олардың әрқайсысы n өлшемді кеңістіктегі бекітілген нүктелердің толық (n − 1) өлшемді жазықтығын қамтиды. Математикалық тұрғыдан алғанда, айналу – бұл түрлендіру. Белгілі бір нүктеге қатысты барлық айналулар құрамында айналу тобы (нақты кеңістіктің) деп аталатын топты құрайды. Бірақ механикада және, жалпы алғанда, физикада бұл ұғым көбінесе координаталық түрлендіру ретінде қарастырылады (маңыздысы, ортонормалды базистің түрлендірілуі), себебі дененің кез келген қозғалысы үшін кері түрлендіру бар, оны анықтамалық жүйеге қолданғанда дененің сол координаталарда қалуына әкеледі. Мысалы, екі өлшемде денені осі бекітілген нүктеде сағат тілімен айналдыру, дене бекітілген күйде осі сол нүктеде сағат тіліне қарсы айналдырумен тең. Айналудың осы екі түрі белсенді және пассивті түрлендірулер деп аталады.

Сызықтық және көпсызықтық алгебра формализмі

Евклид кеңістігінің бастауын сақтайтын қозғалыстарын қарастырғанда, таза математикада маңызды нүктелер мен векторлар арасындағы айырмашылық жойылады, себебі нүктелер мен позициялық векторлар арасында канондық бір-бірге сәйкестік бар. Бұл, бастауын сақтайтын қосымша құрылымы бар аффиндік кеңістік болатын, евклидтік емес геометриялар үшін де дұрыс; мысалы төменде қараңыз. Сондай-ақ, айналымдардың векторлық сипаттамасын аудармалармен қосылған геометриялық айналымдардың параметризациясы ретінде түсінуге болады. Басқаша айтқанда, бір векторлық айналым кеңістіктегі барлық нүктелер үшін көптеген эквивалентті айналымдарды білдіреді. Бастауын сақтайтын қозғалыс – бұл векторлардың геометриялық құрылымын сақтайтын, бірақ векторлар түрінде берілген сызықтық оператор. Евклидтік векторлар үшін бұл өрнек олардың ұзындығын (Евклидтік нормасын) білдіреді. Компоненттер бойынша, мұндай оператор бағандық векторларға көбейтілетін n × n ортогональды матрица арқылы көрсетіледі. Бұрын айтылғандай, (тура) айналым векторлық кеңістіктің бағытын сақтау арқылы кез келген бекітілген нүктелік қозғалыстан ерекшеленеді. Осылайша, айналымның ортогональды матрицасының детерминанты 1-ге тең болуы керек. Ортогональды матрицаның детерминантының жалғыз басқа мүмкіндігі – , және бұл нәтиже трансформация гипержазықтың көрінісі, нүктелік көрініс (жұп емес n үшін) немесе басқа дұрыс емес айналым түрі екенін көрсетеді. Барлық тура айналым матрицалары арнайы ортогональды топты құрайды.

Квартерниондар

Бірлік кватерниондар немесе версорлар – үш өлшемді айналымдарды бейнелеудің ең қиын түсінілетін тәсілінің бірі. Олар жалпы тәсілдің үш өлшемді жағдайы емес. Олар матрицалардан гөрі ықшамдау, ал басқа әдістерге қарағанда жұмыс істеуге оңай болғандықтан, нақты қолданыстарда жиі қолданылады. Версор (айналым кватернионы деп те аталады) – төрт нақты сандан тұрады, мұнда кватернионның нормасы 1-ге тең болады. Бұл шектеу кватернионның еркіндік дәрежесін қажетті үшке дейін азайтады. Матрицалар мен кешенді сандардан өзгеше, екі көбейту қажет:

мұнда 'q' – версор, 'q'^(-1) – оның кері шамасы, ал 'x' – кватернионның скалярлық бөлігі нөлге тең вектор ретінде қарастырылады. Кватернионды кватерниондардың экспоненциалдық бейнесі арқылы ось-бұрыш айналу векторымен байланыстыруға болады,

мұнда 'v' – кватернион ретінде қарастырылған айналу векторы. Версорға бір рет оңнан немесе солдан көбейтудің өзі айналу болып табылады, бірақ төртінші өлшемде. Төртінші өлшемдегі кез келген айналуды екі кватернион көбейтуімен бейнелеуге болады: бірін солдан, бірін оңнан, екі түрлі бірлік кватерниондарды қолдана отырып.

Қосымша ескертулер

Жалпы алғанда, кез келген өлшемдегі координаттық айналулар ортогональды матрицалармен бейнеленеді. n өлшемдегі барлық ортогональды матрицалар жиынтығы, егер олар нақты айналуды сипаттайтын болса (детерминант = +1), матрица көбейту операциясымен бірге арнайы ортогональды топ SO(n) құрайды. Матрицалар көбінесе түрлендірулерді орындау үшін қолданылады, әсіресе көптеген нүктелерді түрлендіру қажет болғанда, себебі олар сызықтық оператордың тікелей бейнесі болып табылады. Басқа тәсілдермен көрсетілген айналулар көбінесе қолдану алдында матрицаларға түрлендіріледі. Біртекті координаттарды пайдалана отырып, оларды айналу және түрлендіруді бірдей көрсету үшін кеңейтуге болады. Проективтік түрлендірулер матрицалармен бейнеленеді. Олар айналу матрицалары емес, бірақ егер түрлендіру Евклидтік айналуды көрсететін болса, онда оның жоғарғы сол жақ бұрышында айналу матрицасы болады. Матрицалардың басты кемшілігі – оларды есептеу және олармен есептеулер жасау салыстырмалы түрде қымбат. Сондай-ақ, сандық тұрақсыздық маңызды болатын есептеулерде матрицалар оған көбірек бейім болуы мүмкін, сондықтан ортонормалдылықты қалпына келтіруге арналған есептеулер, матрицалар үшін қымбат болғандықтан, жиірек жасалуы керек.

Матрицалық формализмге қосымша баламалар

Жоғарыда көрсетілгендей, көп сызықты алгебраның үш айналу формализмі бар: бірі U(1), немесе екі өлшем үшін кешенді сандар, ал қалған екеуі үш және төрт өлшем үшін версорлар немесе кватерниондар. Жалпы алғанда (егер векторлар евклидтік емес Минковскийдің квадраттық формасымен жабдықталған болса да) векторлық кеңістіктің айналуын бивектор ретінде көрсетуге болады. Бұл формализм геометриялық алгебрада және, жалпырақ айтқанда, Ли топтарының Клиффорд алгебрасы түрінде бейнеленуінде қолданылады. Оң анықталған евклидтік квадраттық форма жағдайында изометрия тобының екі жақты жабу тобы спин тобы деп аталады, оны Клиффорд алгебрасы арқылы ыңғайлы түрде сипаттауға болады. Бірлік кватерниондар осы топты құрайды.

Евклидтік емес геометрияда

Сфералық геометрияда n сфераның тікелей қозғалысы (эллиптік геометрияның мысалы) (n + 1) өлшемді Евклид кеңістігінің бастапқы нүктесінің (SO(n + 1)) айналуымен бірдей. Тақ n үшін, осы қозғалыстардың көпшілігі n сферада бекітілген нүктелерге ие емес және, әдетте, сфераның айналуы емес; мұндай қозғалыстар кейде Клиффорд трансляциялары деп аталады. Эллиптік және гиперболалық геометриялардағы бекітілген нүктеге қатысты айналулар Евклидтік айналулардан ешқандай айырмашылығы жоқ. Аффиналық және проективтік геометрияларда айналудың жеке ұғымы жоқ.

Салыстырмалылық теориясында

Айналманың жалпылануы арнайы салыстырмалылық теориясында қолданылады, онда ол төрт өлшемді кеңістікте, уақыт-кеңістікте, үш кеңістіктік өлшем мен бір уақыт өлшемімен қамтылған деп қарастырылуы мүмкін. Арнайы салыстырмалылық теориясында бұл кеңістік Минковский кеңістігі деп аталады, ал төрт өлшемді айналулар, Лоренц түрлендірулері деп аталады, физикалық мағынаға ие. Бұл түрлендірулер уақыт-кеңістік аралығы деп аталатын квадраттық форманы сақтайды. Егер Минковский кеңістігінің айналуы жазықтық сияқты кеңістікте болса, онда бұл айналыс Евклид кеңістігіндегі кеңістіктік айналысқа тең. Керісінше, кеңістік сияқты және уақыт сияқты өлшемдермен қамтылған жазықтықтағы айналу гиперболалық айналу болып табылады, ал егер бұл жазықтықта координаттық жүйенің уақыт осі жатса, ол «Лоренц күшеюі» деп аталады. Бұл түрлендірулер Минковский кеңістігінің псевдоевклидтік екенін көрсетеді. Гиперболалық айналулар кейде сығу түрлендірулері ретінде сипатталады және жиі (1+1) өлшемді псевдоевклидтік геометрияны жазық сызбаларда бейнелейтін Минковский диаграммаларында кездеседі. Салыстырмалылықты зерттеу Лоренц тобымен айналысады, ол кеңістіктік және гиперболалық айналулар арқылы туындайды. Физика мен астрономияда SO(3) айналулары Евклидтік 3 кеңістіктегі 2 сфера ретіндегі аспан сферасының айналуына сәйкес келеді, ал SO(3;1)^+ Лоренц түрлендірулері аспан сферасының конформдық түрлендірулерін тудырады. Бұл сфералық түрлендірулердің кең класы, Мёбиус түрлендірулері деп белгілі.

Маңыздылық

Ротация симметрияның маңызды кластарын анықтайды: ротациялық симметрия – нақты бір айналуға қатысты өзгермейтін қасиет. Дөңгелек симметрия – бұл белгілі бір осьтің айналысына қатысты барлық айналымдарға қатысты өзгермейтін қасиет. Жоғарыда айтылғандай, Евклидтік айналулар қатты денелер динамикасында қолданылады. Сонымен қатар, физикадағы математикалық формализмнің көп бөлігі (мысалы, векторлық есептеу) айналуға қатысты өзгермейді; физикалық аспектілер туралы толық ақпарат алу үшін айналу тақырыбына жүгініңіз. Евклидтік айналулар және, жалпы алғанда, жоғарыда сипатталған Лоренц симметриясы – табиғаттың симметрия заңдары деп есептеледі. Ал, керісінше, рефлексиялық симметрия – табиғаттың нақты симметриялық заңы емес.

Жалпылау

Нақты ортогональды матрицаларға ұқсас күрделі мәнді матрицалар – күрделі кеңістікте айналымдарды көрсететін бірлік матрицалар. Белгілі бір n өлшемдегі барлық бірлік матрицалар жиыны n дәрежелі бірлік топты құрайды; ал оның кеңістіктің бағытын сақтайтын нақты айналымдарды көрсететін кіші тобы – n дәрежелі ерекше бірлік топ болып табылады. Бұл күрделі айналымдар спинторлар контекстінде маңызды. -нің элементтері үш өлшемді Евклид айналымдарын параметризациялау үшін қолданылады (жоғарыда қараңыз), сондай-ақ спиннің сәйкес түрлендірулері үшін (SU(2) бейнелеу теориясын қараңыз).