Введение

Движение определенного пространства, сохраняющее по крайней мере одну точку. Вращение в математике — это концепция, возникшая в геометрии. Любое вращение является движением определенного пространства, сохраняющим по крайней мере одну точку. Оно может, например, описывать движение жесткого тела вокруг неподвижной точки. Вращение может иметь знак (как знак угла): вращение по часовой стрелке имеет отрицательную величину, а поворот против часовой стрелки — положительную. Вращение отличается от других типов движений: перемещений, которые не имеют неподвижных точек, и (гиперплоскостных) отражений, каждое из которых имеет целую (n − 1)-мерную плоскую поверхность неподвижных точек в n-мерном пространстве. Математически вращение — это отображение. Все вращения вокруг неподвижной точки образуют группу относительно композиции, называемую группой вращений (для данного пространства). Однако в механике и, в более общем смысле, в физике эта концепция часто понимается как преобразование координат (важно, преобразование ортонормального базиса), поскольку для любого движения тела существует обратное преобразование, которое при применении к системе отсчета приводит к тому, что тело оказывается в тех же координатах. Например, в двух измерениях вращение тела по часовой стрелке вокруг точки, сохраняющее неподвижными оси, эквивалентно вращению осей против часовой стрелки вокруг той же точки, при этом тело остается неподвижным. Эти два типа вращения называются активными и пассивными преобразованиями.

Формализм линейной и многолинейной алгебры

Когда рассматриваются движения евклидова пространства, сохраняющие начало координат, различие между точками и векторами, важное в чистой математике, может быть устранено, поскольку существует каноническое взаимно однозначное соответствие между точками и радиус-векторами. То же справедливо и для геометрий, отличных от евклидовой, но чье пространство является аффинным пространством с дополнительной структурой; пример см. ниже. Альтернативно, векторное описание вращений можно понимать как параметризацию геометрических вращений с точностью до композиции с трансляциями. Иными словами, одно векторное вращение представляет множество эквивалентных вращений относительно всех точек пространства. Движение, сохраняющее начало координат, эквивалентно линейному оператору над векторами, сохраняющему ту же геометрическую структуру, но выраженную в векторной форме. Для евклидовых векторов это выражение представляет собой их длину (евклидову норму). В координатах такой оператор представляется ортогональной матрицей размера n × n, умножаемой на столбец-векторы. Как уже отмечалось, (собственное) вращение отличается от произвольного движения с фиксированной точкой сохранением ориентации векторного пространства. Следовательно, определитель ортогональной матрицы вращения должен быть равен 1. Единственная другая возможность для определителя ортогональной матрицы – -1, и этот результат означает, что преобразование является отражением относительно гиперплоскости, точечным отражением (при нечетном n) или другим видом несобственного вращения. Матрицы всех собственных вращений образуют специальную ортогональную группу.

Кватернионы

Единицы кватернионов, или версоры, в некотором роде являются наименее интуитивным представлением трехмерных вращений. Они не представляют собой трехмерный случай общего подхода. Они более компактны, чем матрицы, и удобнее в использовании, чем все остальные методы, поэтому их часто предпочитают в практических приложениях. Версор (также называемый кватернионом вращения) состоит из четырех вещественных чисел, подчиняющихся условию, что норма кватерниона равна 1. Это условие ограничивает число степеней свободы кватерниона тремя, что и требуется. В отличие от матриц и комплексных чисел, для выполнения операции требуется два умножения:

где 'q' – версор, 'q⁻¹' – его обратный, а 'x' – вектор, рассматриваемый как кватернион с нулевой скалярной частью. Кватернион можно связать с представлением вращения в форме оси-угла с помощью экспоненциального отображения для кватернионов:

где 'v' – вектор вращения, рассматриваемый как кватернион. Одно умножение на версор, слева или справа, само по себе является вращением, но в четырех измерениях. Любое четырехмерное вращение вокруг начала координат можно представить двумя умножениями кватернионов: одним слева и одним справа, с использованием двух различных единичных кватернионов.

Дополнительные замечания

Более общие вращения в любом числе измерений представлены ортогональными матрицами. Множество всех ортогональных матриц в n измерениях, описывающих правильные вращения (детерминант = +1), вместе с операцией умножения матриц образует специальную ортогональную группу SO(n). Матрицы часто используются для выполнения преобразований, особенно когда требуется преобразовать большое количество точек, поскольку они являются прямым представлением линейного оператора. Вращения, представленные иными способами, часто преобразуются в матрицы перед использованием. Их можно расширить для представления вращений и преобразований одновременно, используя однородные координаты. Проективные преобразования также представляются матрицами. Это не матрицы вращения, но преобразование, представляющее собой евклидово вращение, содержит матрицу вращения в верхнем левом углу. Главный недостаток матриц заключается в том, что они требуют больших вычислительных затрат и более сложны в вычислениях. Кроме того, в вычислениях, где важна численная устойчивость, матрицы могут быть более подвержены ошибкам, поэтому вычисления для восстановления ортонормальности, которые сами по себе дороги для матриц, необходимо выполнять чаще.

Больше альтернатив формализму матрицы

Как было показано выше, существует три формализма вращения в многолинейной алгебре: один с U(1), или комплексными числами, для двух измерений, и два других с версорами, или кватернионами, для трех и четырех измерений. В общем случае (даже для векторов, снабженных неевклидовой квадратичной формой Минковского) вращение векторного пространства может быть выражено через бивектор. Этот формализм используется в геометрической алгебре и, в более широком смысле, в представлении групп Ли с помощью алгебры Клиффорда. В случае положительно определенной евклидовой квадратичной формы двойное накрытие группы изометрий известно как спинорная группа, которую удобно описывать в терминах алгебры Клиффорда. Единичные кватернионы задают эту группу.

В неевклидовой геометрии

В сферической геометрии прямое движение n-сферы (пример эллиптической геометрии) эквивалентно вращению (n+1)-мерного евклидова пространства вокруг начала координат (SO(n+1)). Для нечетных n большинство этих движений не имеют неподвижных точек на n-сфере и, строго говоря, не являются вращениями сферы; такие движения иногда называют преобразованиями Клиффорда. В эллиптической и гиперболической геометриях вращения вокруг фиксированной точки не отличаются от евклидовых. Аффинная геометрия и проективная геометрия не имеют собственного понятия вращения.

В теории относительности

Обобщение вращения находит применение в специальной теории относительности, где его можно рассматривать как действующее в четырехмерном пространстве – пространстве-времени, порожденном тремя пространственными измерениями и одним временным. В специальной теории относительности это пространство называется пространством Минковского, а четырехмерные вращения, называемые преобразованиями Лоренца, имеют физическую интерпретацию. Эти преобразования сохраняют квадратичную форму, называемую интервалом пространства-времени. Если вращение пространства Минковского происходит в плоскости, подобной пространству, то оно эквивалентно пространственному вращению в евклидовом пространстве. В отличие от этого, вращение в плоскости, натянутой на пространственно-подобное и временно-подобное измерения, является гиперболическим вращением, а если эта плоскость содержит ось времени системы отсчета, то оно называется "преобразованием Лоренца" (или "бустом Лоренца"). Эти преобразования демонстрируют псевдоевклидову природу пространства Минковского. Гиперболические вращения иногда описывают как сжимающие отображения и они часто встречаются на диаграммах Минковского, визуализирующих (1+1)-мерную псевдоевклидову геометрию на плоскости. Изучение теории относительности связано с группой Лоренца, порожденной пространственными вращениями и гиперболическими вращениями. В то время как вращения SO(3) в физике и астрономии соответствуют вращениям небесной сферы как 2-сферы в евклидовом 3-мерном пространстве, преобразования Лоренца из SO(3,1)^+ индуцируют конформные преобразования небесной сферы. Это более широкий класс преобразований сферы, известный как преобразования Мёбиуса.

Важность

Ротации определяют важные классы симметрии: ротационная симметрия — это инвариантность относительно конкретного вращения. Круговая симметрия — это инвариантность относительно любого вращения вокруг фиксированной оси. Как было сказано выше, евклидовы вращения применяются в динамике твёрдого тела. Более того, большая часть математического аппарата в физике (например, векторное исчисление) инвариантна относительно вращений; подробнее о физических аспектах см. в статье «Вращение». Евклидовы вращения и, в более общем смысле, симметрия Лоренца, описанная выше, считаются фундаментальными законами симметрии природы. В отличие от них, зеркальная симметрия не является точным законом симметрии природы.

Обобщения

Комплексные матрицы, аналогичные вещественным ортогональным матрицам, — это унитарные матрицы, представляющие вращения в комплексном пространстве. Множество всех унитарных матриц заданной размерности n образует унитарную группу степени n, а её подгруппа, представляющая собственные вращения (сохраняющие ориентацию пространства), — специальную унитарную группу степени n. Эти комплексные вращения важны в контексте спиноров. Элементы используются для параметризации трёхмерных евклидовых вращений (см. выше), а также соответствующих преобразований спина (см. теорию представлений SU(2)).