Кіріспе
Математикалық есептеулерде қолданылатын математикалық белгілер. Математикалық есептеулерде Лейбниц белгісі, 17 ғасырдағы неміс философы және математигі Готфрид Вильгельм Лейбництің құрметіне аталған, dx және dy символдары x және y шамаларының шексіз кіші (немесе инфинитезимальды) өсімдерін көрсету үшін қолданылады, дәл сол сияқты Δx және Δy символдары x және y шамаларының шекті өсімдерін көрсетеді. y-ді x айнымалының функциясы ретінде қарастырайық, яғни y = f(x). Егер осылай болса, онда y-дің x-ке қатысты туындысы, кейіннен шек ретінде қарастырылған, Лейбницке сәйкес, y-дің инфинитезимальды өсімінің x-тің инфинитезимальды өсіміне қатынасы, немесе оң жағы – Джозеф Луи Лагранждың f функциясының x нүктесіндегі туындысы үшін қолданылатын белгі. Инфинитезимальды өсімдер дифференциалдар деп аталады. Бұған байланысты интеграл, онда инфинитезимальды өсімдер қосылады (мысалы, ұзындықтарды, аудандарды және көлемдерді кішкентай бөліктердің қосындысы ретінде есептеу үшін), сонымен қатар Лейбниц осы дифференциалдарды қолданатын ұқсас белгіні ұсынды, оның тиімділігі континенттік Еуропа математикасының дамуында шешуші рөл атқарды. Лейбництің инфинитезимальдар туралы түсінігі, калькулустың негізі ретінде қолдануға тым дәл емес деп ұзақ уақыт бойы саналды, ақырында 19 ғасырда Вейерштрасс және басқалар ұсынған қатаң түсініктермен алмастырылды. Осының салдарынан Лейбництің қатынас белгісі заманауи анықтаманың шегін білдіретіндей болып қайта түсіндірілді. Дегенмен, көптеген жағдайларда бұл символ нақты қатынас сияқты әрекет етті және оның пайдалылығы оны бірнеше бәсекелес белгілерге қарамастан танымал етіп сақтады. 20 ғасырда инфинитезимальдар мен инфинитезимальды орын ауыстыруларға қатаң мағына беруге мүмкіндік беретін бірнеше формализмдер әзірленді, олардың ішінде стандартты емес талдау, жанама кеңістік, O белгісі және басқалары бар. Калькулустың туындылары мен интегралдары заманауи дифференциалдық формалар теориясына біріктірілуі мүмкін, онда туынды шын мәнінде екі дифференциалдың қатынасы болып табылады, ал интеграл да Лейбниц белгісіне сәйкес әрекет етеді. Алайда, бұл туынды мен интегралды алдымен басқа тәсілдермен анықтауды талап етеді, сондықтан бұл Лейбниц белгісінің жаңа негізін берудің орнына өзіне сәйкестігін және есептеу тиімділігін көрсетеді.
In calculus, Leibniz's notation, named in honor of the 17th century German philosopher and mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz, uses the symbols dx and dy to represent infinitely small (or infinitesimal) increments of x and y, respectively, just as Δx and Δy represent finite increments of x and y, respectively. Consider y as a function of a variable x, or y = f(x). If this is the case, then the derivative of y with respect to x, which later came to be viewed as the limit
was, according to Leibniz, the quotient of an infinitesimal increment of y by an infinitesimal increment of x, or
where the right hand side is Joseph Louis Lagrange's notation for the derivative of f at x. The infinitesimal increments are called differentials. Related to this is the integral in which the infinitesimal increments are summed (e. g. to compute lengths, areas and volumes as sums of tiny pieces), for which Leibniz also supplied a closely related notation involving the same differentials, a notation whose efficiency proved decisive in the development of continental European mathematics. Leibniz's concept of infinitesimals, long considered to be too imprecise to be used as a foundation of calculus, was eventually replaced by rigorous concepts developed by Weierstrass and others in the 19th century. Consequently, Leibniz's quotient notation was re interpreted to stand for the limit of the modern definition. However, in many instances, the symbol did seem to act as an actual quotient would and its usefulness kept it popular even in the face of several competing notations. Several different formalisms were developed in the 20th century that can give rigorous meaning to notions of infinitesimals and infinitesimal displacements, including nonstandard analysis, tangent space, O notation and others. The derivatives and integrals of calculus can be packaged into the modern theory of differential forms, in which the derivative is genuinely a ratio of two differentials, and the integral likewise behaves in exact accordance with Leibniz notation. However, this requires that derivative and integral first be defined by other means, and as such expresses the self consistency and computational efficacy of the Leibniz notation rather than giving it a new foundation.
Тарих
Ньютон-Лейбництің шексіз шағын есептеулерге қатысты тәсілі 17 ғасырда енгізілді. Ньютон флюкциялар және флюенттермен жұмыс істесе, Лейбниц өзінің тәсілін сомалар мен айырмашылықтарды жалпылауға негіздеді. Лейбниц интеграл символын латын тіліндегі "sum" деген мағына беретін umma сөзінің сол кездегі жазылуындағы созылған "s" әрпінен бейімдеді. Айырмашылықтарды қосудың кері операциясы ретінде қарастырып, ол осы кері операцияны көрсету үшін "differentia" латын сөзінің бірінші әрпі – "d" символын пайдаланды. Ол y-тің дифференциалы үшін қолданған жазулар ω, l-ден бастап, ақыры dy-ге дейін өзгерді. Оның интеграл белгісі алғаш рет 1686 жылғы маусымда "Acta Eruditorum" журналында жарияланған "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" ("Жасырын геометрия және бөлінбейтіндер мен шексіздерге қатысты талдау") атты мақаласында пайда болды, бірақ ол оны кем дегенде 1675 жылдан бері жеке қолжазбаларында қолданған. Лейбниц dx символын алғаш рет 1684 жылы "Acta Eruditorum" журналында жарияланған "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" мақаласында қолданды. Бұл символ 1675 жылғы жеке қолжазбаларда кездеседі, бірақ жоғарыда аталған жарияланған еңбектердің ешқайсысында осы түрінде кездеспейді. Дегенмен Лейбниц dy ad dx және dy : dx сияқты жазуларды баспа түрінде қолданды. Бұл жазудың ұзақ өмір сүруіне себеп, ол есептеудің геометриялық және механикалық қолданыстарының түпкілікті мәніне жететіндей көрінеді.
Лейбництің басқа белгілері
Лейбниц математиканың әртүрлі салаларында көптеген түрлі белгілермен тәжірибе жүргізді. Ол математиканы дамыту үшін жақсы белгілердің маңызды екенін түсінді. 1693 жылы Л’Опитальға жазған хатында ол былай дейді: Ол жақсы белгілерге қойылатын талаптарды уақыт өте келе жетілдірді және "қатардағы әдеттегі әріптер сияқты тізіле алатын символдарды қабылдаудың пайдалы екенін ұқты, символдардың кең бөліктеріне орын беру үшін қатарлар арасын кеңейтудің қажеті болмайды". Мысалы, ол ерте туындыларында символдарды топтастыру үшін жиі vinculum қолданды, бірақ кейіннен осы мақсат үшін жақшалар жұбын пайдалануды ұсынды, соның арқасында баспагерлерге қатарлар арасын кеңейтудің қажеті болмай, беттер көрінеу тартымдырақ болды. Лейбниц енгізген 200-ден астам жаңа белгілердің көптегені бүгінге дейін қолданылып келеді. dx, dy дифференциалдары мен интеграл белгісінен (∫) басқа, ол бөлу үшін қос нүкте (:) белгісін, көбейту үшін орта нүкте (⋅) белгісін, ұқсастық (~) және сәйкестік (≅) үшін геометриялық белгілерді, пропорциялар үшін Рекордтың теңдік белгісін (=) (Оутредтің :: белгісін ығыстырып) және детерминанттар үшін қос индекс белгісін енгізді.
He refined his criteria for good notation over time and came to realize the value of "adopting symbolisms which could be set up in a line like ordinary type, without the need of widening the spaces between lines to make room for symbols with sprawling parts." For instance, in his early works he heavily used a vinculum to indicate grouping of symbols, but later he introduced the idea of using pairs of parentheses for this purpose, thus appeasing the typesetters who no longer had to widen the spaces between lines on a page and making the pages look more attractive. Many of the over 200 new symbols introduced by Leibniz are still in use today. Besides the differentials dx, dy and the integral sign ( ∫ ) already mentioned, he also introduced the colon (:) for division, the middle dot (⋅) for multiplication, the geometric signs for similar (~) and congruence (≅), the use of Recorde's equal sign (=) for proportions (replacing Oughtred's :: notation) and the double suffix notation for determinants.