Введение
Математическая нотация, используемая в анализе
In calculus, Leibniz's notation, named in honor of the 17th century German philosopher and mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz, uses the symbols dx and dy to represent infinitely small (or infinitesimal) increments of x and y, respectively, just as Δx and Δy represent finite increments of x and y, respectively. Consider y as a function of a variable x, or y = f(x). If this is the case, then the derivative of y with respect to x, which later came to be viewed as the limit
was, according to Leibniz, the quotient of an infinitesimal increment of y by an infinitesimal increment of x, or
where the right hand side is Joseph Louis Lagrange's notation for the derivative of f at x. The infinitesimal increments are called differentials. Related to this is the integral in which the infinitesimal increments are summed (e. g. to compute lengths, areas and volumes as sums of tiny pieces), for which Leibniz also supplied a closely related notation involving the same differentials, a notation whose efficiency proved decisive in the development of continental European mathematics. Leibniz's concept of infinitesimals, long considered to be too imprecise to be used as a foundation of calculus, was eventually replaced by rigorous concepts developed by Weierstrass and others in the 19th century. Consequently, Leibniz's quotient notation was re interpreted to stand for the limit of the modern definition. However, in many instances, the symbol did seem to act as an actual quotient would and its usefulness kept it popular even in the face of several competing notations. Several different formalisms were developed in the 20th century that can give rigorous meaning to notions of infinitesimals and infinitesimal displacements, including nonstandard analysis, tangent space, O notation and others. The derivatives and integrals of calculus can be packaged into the modern theory of differential forms, in which the derivative is genuinely a ratio of two differentials, and the integral likewise behaves in exact accordance with Leibniz notation. However, this requires that derivative and integral first be defined by other means, and as such expresses the self consistency and computational efficacy of the Leibniz notation rather than giving it a new foundation.
В анализе нотация Лейбница, названная в честь немецкого философа и математика XVII века Готфрида Вильгельма Лейбница, использует символы dx и dy для представления бесконечно малых (или инфинитезимальных) приращений x и y соответственно, так же как Δx и Δy представляют конечные приращения x и y соответственно. Рассмотрим y как функцию переменной x, то есть y = f(x). Если это так, то производная y по x, которая впоследствии стала рассматриваться как предел, согласно Лейбницу, являлась частным от деления бесконечно малого приращения y на бесконечно малое приращение x, или
In calculus, Leibniz's notation, named in honor of the 17th century German philosopher and mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz, uses the symbols dx and dy to represent infinitely small (or infinitesimal) increments of x and y, respectively, just as Δx and Δy represent finite increments of x and y, respectively. Consider y as a function of a variable x, or y = f(x). If this is the case, then the derivative of y with respect to x, which later came to be viewed as the limit
was, according to Leibniz, the quotient of an infinitesimal increment of y by an infinitesimal increment of x, or
where the right hand side is Joseph Louis Lagrange's notation for the derivative of f at x. The infinitesimal increments are called differentials. Related to this is the integral in which the infinitesimal increments are summed (e. g. to compute lengths, areas and volumes as sums of tiny pieces), for which Leibniz also supplied a closely related notation involving the same differentials, a notation whose efficiency proved decisive in the development of continental European mathematics. Leibniz's concept of infinitesimals, long considered to be too imprecise to be used as a foundation of calculus, was eventually replaced by rigorous concepts developed by Weierstrass and others in the 19th century. Consequently, Leibniz's quotient notation was re interpreted to stand for the limit of the modern definition. However, in many instances, the symbol did seem to act as an actual quotient would and its usefulness kept it popular even in the face of several competing notations. Several different formalisms were developed in the 20th century that can give rigorous meaning to notions of infinitesimals and infinitesimal displacements, including nonstandard analysis, tangent space, O notation and others. The derivatives and integrals of calculus can be packaged into the modern theory of differential forms, in which the derivative is genuinely a ratio of two differentials, and the integral likewise behaves in exact accordance with Leibniz notation. However, this requires that derivative and integral first be defined by other means, and as such expresses the self consistency and computational efficacy of the Leibniz notation rather than giving it a new foundation.
где правая часть — это обозначение Джозефа Луи Лагранжа для производной f в точке x. Инфинитезимальные приращения называются дифференциалами. Связанным с этим является интеграл, в котором инфинитезимальные приращения суммируются (например, для вычисления длин, площадей и объемов как сумм бесконечно малых частей), для которого Лейбниц также предложил тесно связанную нотацию, включающую те же дифференциалы, нотация, эффективность которой оказалась решающей в развитии континентальной европейской математики. Концепция Лейбница об инфинитезималях, долгое время считавшаяся слишком неточной для использования в качестве основы анализа, в конечном итоге была заменена строгими концепциями, разработанными Вейерштрассом и другими в XIX веке. Следовательно, частное Лейбница было переинтерпретировано как предел современного определения. Однако во многих случаях символ действительно действовал как частное, и его полезность поддерживала его популярность, несмотря на наличие нескольких конкурирующих нотаций. В XX веке было разработано несколько различных формализмов, которые могут придать строгое значение понятиям инфинитезималей и инфинитезимальных перемещений, включая нестандартный анализ, тангенциальное пространство, O-нотацию и другие. Производные и интегралы анализа могут быть объединены в современную теорию дифференциальных форм, в которой производная действительно является отношением двух дифференциалов, а интеграл также ведет себя в точном соответствии с нотацией Лейбница. Однако это требует, чтобы производная и интеграл сначала были определены другими способами, и таким образом выражает самосогласованность и вычислительную эффективность нотации Лейбница, а не предоставляет ей новый фундамент.
In calculus, Leibniz's notation, named in honor of the 17th century German philosopher and mathematician Gottfried Wilhelm Leibniz, uses the symbols dx and dy to represent infinitely small (or infinitesimal) increments of x and y, respectively, just as Δx and Δy represent finite increments of x and y, respectively. Consider y as a function of a variable x, or y = f(x). If this is the case, then the derivative of y with respect to x, which later came to be viewed as the limit
was, according to Leibniz, the quotient of an infinitesimal increment of y by an infinitesimal increment of x, or
where the right hand side is Joseph Louis Lagrange's notation for the derivative of f at x. The infinitesimal increments are called differentials. Related to this is the integral in which the infinitesimal increments are summed (e. g. to compute lengths, areas and volumes as sums of tiny pieces), for which Leibniz also supplied a closely related notation involving the same differentials, a notation whose efficiency proved decisive in the development of continental European mathematics. Leibniz's concept of infinitesimals, long considered to be too imprecise to be used as a foundation of calculus, was eventually replaced by rigorous concepts developed by Weierstrass and others in the 19th century. Consequently, Leibniz's quotient notation was re interpreted to stand for the limit of the modern definition. However, in many instances, the symbol did seem to act as an actual quotient would and its usefulness kept it popular even in the face of several competing notations. Several different formalisms were developed in the 20th century that can give rigorous meaning to notions of infinitesimals and infinitesimal displacements, including nonstandard analysis, tangent space, O notation and others. The derivatives and integrals of calculus can be packaged into the modern theory of differential forms, in which the derivative is genuinely a ratio of two differentials, and the integral likewise behaves in exact accordance with Leibniz notation. However, this requires that derivative and integral first be defined by other means, and as such expresses the self consistency and computational efficacy of the Leibniz notation rather than giving it a new foundation.
История
Подход Ньютона-Лейбница к дифференциальному и интегральному исчислению был предложен в XVII веке. В то время как Ньютон работал с флюксиями и флюентами, Лейбниц основывал свой подход на обобщениях сумм и разностей. Лейбниц заимствовал символ интеграла из удлинённой латинской буквы "s", использовавшейся для написания слова *umma* ("сумма") в то время. Рассматривая разности как операцию, обратную суммированию, он использовал символ *d*, первую букву латинского слова *differentia*, для обозначения этой обратной операции. Обозначения, которые он использовал для дифференциала *y*, последовательно менялись от ω, l и до dy, на котором он в итоге остановился. Его символ интеграла впервые был опубликован в статье "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" ("О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечно малых"), опубликованной в *Acta Eruditorum* в июне 1686 года, однако он использовал его в частных рукописях как минимум с 1675 года. Лейбниц впервые использовал dx в статье "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", также опубликованной в *Acta Eruditorum* в 1684 году. Хотя символ ∫ встречается в частных рукописях 1675 года, в указанных опубликованных работах он не представлен в такой форме. Тем не менее, Лейбниц использовал в печати формы, такие как dy ad dx и dy : dx. Эта нотация обязана своей живучестью тому, что она, кажется, затрагивает самую суть геометрических и механических приложений исчисления.
Другие обозначения Лейбница
Лейбниц экспериментировал со многими различными обозначениями в различных областях математики. Он считал, что хорошая нотация является фундаментальной в развитии математики. В письме к l'Hôpital в 1693 году он писал:
Со временем он уточнил свои критерии хорошей нотации и пришел к пониманию ценности "использования символики, которую можно располагать в строку как обычный текст, без необходимости увеличивать межстрочный интервал для размещения символов с выступающими элементами". Например, в ранних работах он активно использовал винкулум для обозначения группировки символов, но позже предложил использовать для этой цели пары скобок, тем самым упростив работу типографов, которым больше не требовалось увеличивать межстрочный интервал на странице и делая страницы более эстетичными. Многие из более чем 200 новых символов, введенных Лейбницем, используются до сих пор. Помимо уже упомянутых дифференциалов dx, dy и знака интеграла (∫), он также ввел двоеточие (:) для обозначения деления, точку (⋅) для умножения, геометрические знаки для обозначения подобия (~) и конгруэнтности (≅), знак равенства Рекорда (=) для пропорций (вместо обозначения :: Оутреда) и двойной индекс для обозначения определителей.
He refined his criteria for good notation over time and came to realize the value of "adopting symbolisms which could be set up in a line like ordinary type, without the need of widening the spaces between lines to make room for symbols with sprawling parts." For instance, in his early works he heavily used a vinculum to indicate grouping of symbols, but later he introduced the idea of using pairs of parentheses for this purpose, thus appeasing the typesetters who no longer had to widen the spaces between lines on a page and making the pages look more attractive. Many of the over 200 new symbols introduced by Leibniz are still in use today. Besides the differentials dx, dy and the integral sign ( ∫ ) already mentioned, he also introduced the colon (:) for division, the middle dot (⋅) for multiplication, the geometric signs for similar (~) and congruence (≅), the use of Recorde's equal sign (=) for proportions (replacing Oughtred's :: notation) and the double suffix notation for determinants.