Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Стивен Смейл (Stephen Smale; родился 15 июля 1930 года) — американский математик, известный своими исследованиями в области топологии, динамических систем и математической экономики. В 1966 году он был удостоен медали Филдса и более трех десятилетий преподавал на математическом факультете Калифорнийского университета в Беркли (1960–1961 и 1964–1995), где в настоящее время является профессором-эмеритом, занимаясь исследованиями в области алгоритмов, численного анализа и глобального анализа.
American mathematician (born 1930)
Stephen Smale (born July 15, 1930) is an American mathematician, known for his research in topology, dynamical systems and mathematical economics. He was awarded the Fields Medal in 1966 and spent more than three decades on the mathematics faculty of the University of California, Berkeley (1960–1961 and 1964–1995), where he currently is Professor Emeritus, with research interests in algorithms, numerical analysis and global analysis.
Исследования
Смел доказал, что группа ориентированных диффеоморфизмов двумерной сферы имеет тот же тип гомотопии, что и специальная ортогональная группа матриц 3 × 3. Теорема Смаля была несколько раз передоказана и расширена, в частности, в более высоких измерениях в форме гипотезы Смаля, а также для других топологических типов. В другой ранней работе он изучал погружения двумерной сферы в евклидово пространство. Установив связь между теорией погружений и алгебраической топологией многообразий Стифеля, он полностью уточнил условия, при которых два погружения могут быть деформированы друг в друга посредством семейства погружений. Непосредственно из его результатов следовало, что стандартное погружение сферы в трехмерное пространство может быть деформировано (через погружения) в свое отражение, которое теперь известно как эверсия сферы. Он также распространил свои результаты на сферы более высоких размерностей, а его аспирант Моррис Хирш расширил его работу на погружения общих гладких многообразий. Наряду с работами Джона Нэша по изометрическим погружениям, теория погружений Хирша — Смаля оказала значительное влияние на ранние работы Михаила Громова по развитию h-принципа, который абстрагировал и применил их идеи к областям, отличным от теории погружений. В изучении динамических систем Смел ввёл то, что теперь известно как система Морзе — Смаля. Для этих динамических систем Смел доказал неравенства Морзе, связывающие когомологии базового пространства с размерностями (не)устойчивых многообразий. Важность этих результатов заключается также в теореме Смаля, утверждающей, что градиентное поле любой функции Морзе может быть сколь угодно точно аппроксимировано системой Морзе — Смаля без замкнутых орбит. Используя эти инструменты, Смел построил самоиндексирующие функции Морзе, в которых значение функции в любой критической точке равно её индексу Морзе. Используя эти самоиндексирующие функции Морзе в качестве ключевого инструмента, Смел решил обобщённую гипотезу Пуанкаре во всех размерностях, больших четырёх. На основе этих работ он также установил более сильную теорему о h-кобордизмах в следующем году, вместе с полной классификацией односвязных гладких пятимерных многообразий. Смел также ввёл карту подковы, которая послужила источником вдохновения для многих последующих исследований. Он также сформулировал исследовательскую программу, которую реализовали многие другие учёные. Смел также известен тем, что применил теорию Морзе к математической экономике, а также проводит современные исследования в области различных теорий вычислений. В 1998 году он составил список из 18 задач в математике, которые должны быть решены в XXI веке, известный как задачи Смаля. Этот список был составлен в духе знаменитого списка задач Гильберта, опубликованного в 1900 году. Фактически, список Смаля включает некоторые из оригинальных задач Гильберта, в том числе гипотезу Римана и вторую половину шестнадцатой задачи Гильберта, обе из которых до сих пор не решены. Другие известные задачи в его списке включают гипотезу Пуанкаре (теперь теорему, доказанную Григорием Перельманом), проблему P = NP и уравнения Навье — Стокса, все из которых были объявлены задачами тысячелетия Институтом математики Клэя.
Smale proved that the oriented diffeomorphism group of the two dimensional sphere has the same homotopy type as the special orthogonal group of 3 × 3 matrices. Smale's theorem has been reproved and extended a few times, notably to higher dimensions in the form of the Smale conjecture, as well as to other topological types. In another early work, he studied the immersions of the two dimensional sphere into Euclidean space. By relating immersion theory to the algebraic topology of Stiefel manifolds, he was able to fully clarify when two immersions can be deformed into one another through a family of immersions. Directly from his results it followed that the standard immersion of the sphere into three dimensional space can be deformed (through immersions) into its negation, which is now known as sphere eversion. He also extended his results to higher dimensional spheres, and his doctoral student Morris Hirsch extended his work to immersions of general smooth manifolds. Along with John Nash's work on isometric immersions, the Hirsch–Smale immersion theory was highly influential in Mikhael Gromov's early work on development of the h principle, which abstracted and applied their ideas to contexts other than that of immersions. In the study of dynamical systems, Smale introduced what is now known as a Morse–Smale system. For these dynamical systems, Smale was able to prove Morse inequalities relating the cohomology of the underlying space to the dimensions of the (un)stable manifolds. Part of the significance of these results is from Smale's theorem asserting that the gradient flow of any Morse function can be arbitrarily well approximated by a Morse–Smale system without closed orbits. Using these tools, Smale was able to construct self indexing Morse functions, where the value of the function equals its Morse index at any critical point. Using these self indexing Morse functions as a key tool, Smale resolved the generalized Poincaré conjecture in every dimension greater than four. Building on these works, he also established the more powerful h cobordism theorem the following year, together with the full classification of simply connected smooth five dimensional manifolds. Smale also introduced the horseshoe map, inspiring much subsequent research. He also outlined a research program carried out by many others. Smale is also known for injecting Morse theory into mathematical economics, as well as recent explorations of various theories of computation. In 1998 he compiled a list of 18 problems in mathematics to be solved in the 21st century, known as Smale's problems. This list was compiled in the spirit of Hilbert's famous list of problems produced in 1900. In fact, Smale's list contains some of the original Hilbert problems, including the Riemann hypothesis and the second half of Hilbert's sixteenth problem, both of which are still unsolved. Other famous problems on his list include the Poincaré conjecture (now a theorem, proved by Grigori Perelman), the P = NP problem, and the Navier–Stokes equations, all of which have been designated Millennium Prize Problems by the Clay Mathematics Institute.