Инвариантная мера на локально компактных топологических группах

Введение

Левая инвариантная (или правая инвариантная) мера на локально компактной топологической группе. В математическом анализе мера Хаара присваивает "инвариантный объём" подмножествам локально компактных топологических групп, тем самым определяя интеграл для функций на этих группах. Эта мера была введена Альфредом Хааром в 1933 году, хотя частный случай для групп Ли был введен Адольфом Хурвицем в 1897 году под названием "инвариантный интеграл". Меры Хаара используются во многих разделах анализа, теории чисел, теории групп, теории представлений, статистики, теории вероятностей и эргодической теории.

Конструкция с использованием компактных подмножеств

Следующий метод построения меры Хаара по существу является методом, используемым Хааром и Вейлем. Для любого подмножества с непустым определим как наименьшее число левых сдвигов , покрывающих (то есть это неотрицательное целое число или бесконечность). Это свойство не является аддитивным для компактных множеств , однако оно обладает свойством , что для непересекающихся компактных множеств , при условии, что – достаточно малая открытая окрестность единицы (зависящая от и ). Идея меры Хаара состоит в том, чтобы взять своего рода предел при стремлении к нулю, чтобы сделать его аддитивным для всех пар непересекающихся компактных множеств, хотя сначала необходимо его нормализовать, чтобы предел не был просто бесконечностью. Итак, зафиксируем компактное множество с непустым внутренним множеством (которое существует, поскольку группа локально компактна) и для компактного множества определим, где предел берется по подходящему направленному множеству открытых окрестностей единицы, в конечном итоге содержащихся в любой заданной окрестности; существование направленного множества, для которого существует предел, следует из теоремы Тихонова. Функция является аддитивной на непересекающихся компактных подмножествах , что подразумевает, что она является регулярным содержанием. Из регулярного содержания можно построить меру, сначала расширив на открытые множества по внутренней регулярности, затем на все множества по внешней регулярности, и затем ограничив ее множествами Бореля. (Даже для открытых множеств , соответствующая мера не обязательно задается формулой верхнего предела (lim sup) выше. Проблема в том, что функция, заданная формулой верхнего предела, в общем случае не является счетно субаддитивной и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания, поэтому не является внешней мерой.)

Конструкция, использующая средние значения функций

Фон Нейман предложил метод построения меры Гаара с использованием средних значений функций, однако он применим только к компактным группам. Суть метода заключается в том, что для заданной функции на компактной группе можно найти выпуклую комбинацию (где ) ее левых сдвигов, которая отличается от постоянной функции не более чем на некоторое малое число. Затем доказывается, что при стремлении этого малого числа к нулю значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции. Для групп, локально компактных, но не компактных, эта конструкция не дает меру Гаара, поскольку среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако подобный подход работает для почти периодических функций на группе, которые обладают средним значением, хотя это среднее не определяется относительно меры Гаара.

Конструкция на группах Ли

На n-мерной группе Ли меру Хаара можно легко построить как меру, индуцированную левоинвариантной n-формой. Это было известно и до теоремы Хаара.

Модульная функция

Левый трансформант правой меры Хаара является правой мерой Хаара. Более точно, если μ — правая мера Хаара, то для любого фиксированного элемента группы g,

также является правой инвариантной. Таким образом, в силу единственности с точностью до постоянного множителя меры Хаара, существует функция δ с группы на положительные действительные числа, называемая модулем Хаара, модулярной функцией или модульным характером, такая что для любого множества Бореля E,

Поскольку правая мера Хаара определена с точностью до положительного множителя, это уравнение показывает, что модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в указанном выше выражении. Модулярная функция является непрерывным групповым гомоморфизмом из G в мультипликативную группу положительных действительных чисел. Группа называется унимодулярной, если модулярная функция тождественно равна 1, или, эквивалентно, если мера Хаара является как левой, так и правой инвариантной. Примерами унимодулярных групп являются абелевы группы, компактные группы, дискретные группы (например, конечные группы), полупростые группы Ли и связные нильпотентные группы Ли. Примером не унимодулярной группы является группа аффинных преобразований

на действительной прямой. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли не обязана быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара задается формулой dxl, а правая мера Хаара — формулой dxr.

Меры по однородности пространств

Если локально компактная группа действует транзитивно на однородном пространстве, то можно задаться вопросом, имеет ли это пространство инвариантную меру, или, в более общем случае, полуинвариантную меру со свойством, что для некоторого характера . Необходимым и достаточным условием существования такой меры является равенство ограничения , где и – модулярные функции и соответственно. В частности, инвариантная мера на существует тогда и только тогда, когда модулярная функция ограниченная на совпадает с модулярной функцией .

Пример

Если G – группа, а B – подгруппа верхнетреугольных матриц, то модулярная функция для G нетривиальна, но модулярная функция для B тривиальна. Частное этих функций нельзя расширить до какого-либо характера G, поэтому частное пространство (которое можно рассматривать как одномерное вещественное проективное пространство) не имеет даже полуинвариантной меры.

Применение

В том же выпуске "Анналов математики", сразу после статьи Хаара, Джон фон Нейман использовал теорему Хаара для решения пятой проблемы Гильберта, ограниченного компактными группами. Если G не является дискретной группой, то, предполагая аксиому выбора и опираясь на теорию неизмеримых множеств, невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на всех подмножествах G.

Абстрактный гармонический анализ

Меры Гаара используются в гармоническом анализе на локально компактных группах, в особенности в теории двойственности Понтрягина. Для доказательства существования меры Гаара на локально компактной группе достаточно указать левоинвариантную меру Радона на ней.

Математическая статистика

В математической статистике меры Гаара используются для априорных мер, которые представляют собой априорные вероятности для компактных групп преобразований. Эти априорные меры используются для построения допустимых процедур, опираясь на характеристику допустимых процедур как байесовских процедур (или пределов байесовских процедур), данную Вальдом. Например, правая мера Гаара для семейства распределений с параметром сдвига приводит к оценке Питмана, являющейся наилучшей эквивариантной оценкой. Когда левая и правая меры Гаара различаются, правая мера обычно предпочтительнее в качестве априорного распределения. Для группы аффинных преобразований на пространстве параметров нормального распределения правая мера Гаара является априорной мерой Джеффриса. К сожалению, даже правые меры Гаара иногда приводят к бесполезным априорным распределениям, которые не могут быть рекомендованы для практического применения, как и другие методы построения априорных мер, избегающие субъективной информации. Другое применение меры Гаара в статистике – условный вывод, в котором выборочное распределение статистики обуславливается другой статистикой, основанной на данных. В инвариантно-теоретическом условном выводе выборочное распределение обуславливается инвариантом группы преобразований (относительно которой определена мера Гаара). Результат обуславливания иногда зависит от порядка использования инвариантов и от выбора максимального инварианта, так что один лишь статистический принцип инвариантности не позволяет выбрать какую-либо уникальную наилучшую условную статистику (если таковая существует); требуется, по крайней мере, еще один принцип. Для некомпактных групп статистики расширили результаты, связанные с мерой Гаара, используя допускаемые группы.

Теорема Вейла

В 1936 году Андре Вейль доказал своего рода обратную теорему к теореме Гаара, показав, что если группа обладает левоинвариантной мерой с определенным свойством разделения, то на группе можно определить топологию, а завершение группы является локально компактным, и данная мера по существу совпадает с мерой Гаара на этом завершении.