Кіріспе

Домені мен кодомені бір топтың әрекетіне түсетін және карта коммутацияланатын карталар. Математикада эквиварианттық – бір симметриялы кеңістіктен екінші симметриялы кеңістікке (мысалы, симметриялық кеңістіктер) функциялар үшін симметрияның бір түрі. Егер функцияның домені мен кодоменіне бір симметрия тобы әрекет етсе және функция топтың әрекетімен үйлесімді болса, онда ол эквивариантты карта деп аталады. Яғни, симметриялық түрлендіруді қолданып, содан кейін функцияның мәнін есептеу, функцияның мәнін есептеп, содан кейін түрлендіруді қолданумен бірдей нәтиже береді. Эквивариантты карталар инварианттар ұғымын жалпылайды, яғни олардың аргументінің симметриялық түрлендіруінен мәні өзгермейтін функциялар. Эквивариантты картаның мәні көбінесе (дәл емес) инвариант деп аталады. Статистикалық қорытындылауда деректердің статистикалық түрлендірулеріне қатысты эквиварианттылық – әртүрлі бағалау әдістерінің маңызды қасиеті болып табылады; толық мәліметтер үшін инвариантты бағалаушы қараңыз. Таза математикада эквиварианттылық эквивариантты топология және оның ішкі тақырыптары – эквивариантты когомология және эквивариантты тұрақты гомотопия теориясы зерттеудің басты нысаны болып табылады.

Элементар геометрия

Үшбұрыштар геометриясында үшбұрыштың ауданы мен периметрі Евклидтік түрлендірулер кезінде инвариант болып табылады: үшбұрышты жылжыту, бұру немесе кері бейнелеу оның ауданы мен периметрін өзгерте алмайды. Дегенмен, үшбұрыштың центроид, сырттай орталық, іштей орталық және биіктік орталықтары сияқты орталықтары инвариант емес, себебі үшбұрышты жылжыту оның орталықтарының да орнын өзгертеді. Оның орнына, бұл орталықтар эквивариантты: кез келген Евклидтік конгруэнцияны (аударма мен бұрудың комбинациясы) үшбұрышқа қолданғанда, содан кейін оның орталығын анықтағанда, алдымен орталықты анықтап, содан кейін орталыққа сол конгруэнцияны қолданғанда бірдей нүкте шығады. Көбірек айтқанда, барлық үшбұрыш орталықтары ұқсастық түрлендірулерінде де (аударма, бұру, кері бейнелеу және масштабтаудың комбинациялары) эквивариантты болады, ал центроид аффиндік түрлендірулерде эквивариантты. Бір функция симметриялардың бір тобы үшін инвариант, ал басқа симметриялар тобы үшін эквивариант болуы мүмкін. Мысалы, конгруэнциялардың орнына ұқсастық түрлендірулерін қолданғанда, аудан мен периметр енді инвариант болып табылмайды: үшбұрышты масштабтау оның ауданы мен периметрін де өзгертеді. Алайда, бұл өзгерістер болжамды болады: егер үшбұрышты s коэффициентімен масштабтаса, периметр де s-ке пропорционалды өседі, ал аудан s²-ге пропорционалды өседі. Осылайша, әрбір үшбұрышты оның ауданына немесе периметріне бейнелейтін функцияны оң нақты сандардағы масштабтау түрлендірулерінің көбейту топтық әрекеті үшін эквивариантты деп қарастыруға болады.

Статистика

Статистикалық бағалаудан тағы бір қарапайым мысалдар тобы туындайды. Үлгінің орташа мәні (нақты сандар жиынтығы) үлгінің орталық тенденциясын сипаттау үшін жиі қолданылады. Ол нақты сандардың сызықтық түрлендірулеріне қатысты эквивариантты, сондықтан, мысалы, сандарды көрсетуге қолданылатын өлшем бірліктерінің таңдалуы оған әсер етпейді. Ал, керісінше, орташа мән экспоненталар сияқты сызықтық емес түрлендірулерге қатысты эквивариантты емес. Үлгінің медианасы нақты сандардың (қатаң) монотонды функциялары сияқты, әлдеқайда кең түрлендірулер тобына қатысты эквивариантты болады. Бұл талдау медиананың деректер жиынтығының белгілі бір өзгерістеріне қарсы тұрақтырақ екенін, және (орташа мәннен айырмашылығы) ординалдық деректер үшін мағыналы екенін көрсетеді. Осы талдау стилін формалдау үшін инвариантты бағалаушы және эквивариантты бағалаушы тұжырымдары пайдаланылды.

Өкілдік теориясы

Шекті топтардың бейнелеу теориясында, кеңістіктің сызықтық түрлендірулері арқылы әрекет ететін топпен жабдықталған векторлық кеңістік, сол топтың сызықтық бейнелеуі деп аталады. Әрекетпен коммутациялайтын сызықтық түрлендіру, араласқыш деп аталады. Яғни, араласқыш – екі бейнелеу арасындағы эквивариантты сызықтық түрлендіру. Басқаша айтқанда, G тобының K өрісіндегі бейнелеулері үшін араласқыш, K[G] модульдерінің модульдік гомоморфизмімен тең болады, мұнда K[G] – G тобының сақинасы.

Кейбір жағдайларда, егер X және Y екеуі де толымсыз бейнелеулер болса, онда араласқыш (нөлдік түрлендіруден басқа) екі бейнелеу де эквивалентті болған жағдайда ғана болады (яғни модульдер ретінде изоморфты). Мұндай араласқыш, көбейтуші факторға дейін бірегей болады (K өрісінен нөлдік емес скаляр). Бұл қасиеттер K[G] бейнесінің ортасы K болатын қарапайым алгебра болған кезде орындалады (бұл Шур леммасы деп аталады: қарапайым модульді қараңыз). Салдарынан, маңызды жағдайларда араласқыштың құрылысы, бейнелеулердің іс жүзінде бірдей екенін көрсету үшін жеткілікті.

Жалпылау

Эквивариантты бейнелеулерді кез келген санаттарға оңай түрінде жалпылауға болады. Кез келген G тобын бір ғана объектісі бар санат ретінде қарастыруға болады (осы санаттағы морфизмдер – G тобының элементтері). Кез келген C санаты берілгенде, G санатындағы G-нің бейнелеуі – G-ден C-ге дейінгі функтор болып табылады. Мұндай функтор C санатындағы бір объектіні және осы объектінің автоморфизмдерінің кіші тобын анықтайды. Мысалы, G жиыны жиындар санатына, Set-ке дейінгі функторға тең, ал сызықтық бейнелеу векторлық кеңістіктер санатына, VectK-ге дейінгі функторға тең. Егер C санатында G-нің ρ және σ екі бейнелеуі берілген болса, осы бейнелеулер арасындағы эквивариантты бейнелеу – ρ-дан σ-ға дейінгі табиғи түрлендіру. Табиғи түрлендірулерді морфизмдер ретінде пайдаланып, C санатындағы G-нің барлық бейнелеулерінен тұратын санатты құруға болады. Бұл – функтор санаты CG. Тағы бір мысал ретінде, C = Top, топологиялық кеңістіктер санатын қарастырайық. G-нің Top санатындағы бейнелеуі – G үздіксіз әрекет ететін топологиялық кеңістік. Эквивариантты бейнелеу – бұл G әрекетімен үйлесетін f: X → Y үздіксіз бейнелеу.