Введение

Карты, область определения и область значений которых подвергаются действию одной и той же группы, и карта коммутирует это действие. В математике эквивариантность — это форма симметрии для функций из одного симметричного пространства в другое (например, симметричных пространств). Функция называется эквивариантным отображением, когда на ее область определения и область значений действует одна и та же группа симметрий, и когда функция коммутирует с действием этой группы. То есть, применение преобразования симметрии, а затем вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции, а затем применение преобразования. Эквивариантные отображения обобщают понятие инвариантов, функций, значение которых не меняется при симметричном преобразовании их аргумента. Значение эквивариантного отображения часто (неточно) называют инвариантом. В статистическом выводе эквивариантность относительно статистических преобразований данных является важным свойством различных методов оценки; подробности см. в разделе "Инвариантный оценщик". В чистой математике эквивариантность является центральным объектом изучения в эквивариантной топологии и ее разделах — эквивариантной когомологии и эквивариантной теории стабильной гомотопии.

Элементарная геометрия

В геометрии треугольников площадь и периметр треугольника являются инвариантами при евклидовых преобразованиях: сдвиг, вращение или отражение треугольника не изменяют его площадь или периметр. Однако центры треугольников, такие как центроид, описанная окружность, внутренняя окружность и ортоцентр, не являются инвариантами, поскольку перемещение треугольника влечет за собой перемещение и его центров. Вместо этого эти центры эквивариантны: применение любой евклидовой конгруэнтности (комбинации сдвига и вращения) к треугольнику, а затем построение его центра, дает ту же точку, что и построение центра сначала, а затем применение той же конгруэнтности к центру. В более общем случае, все центры треугольника также эквивариантны при преобразованиях подобия (комбинации сдвига, вращения, отражения и масштабирования), а центроид эквивариантен при аффинных преобразованиях. Одна и та же функция может быть инвариантной для одной группы симметрий и эквивариантной для другой. Например, при преобразованиях подобия вместо конгруэнтности площадь и периметр перестают быть инвариантами: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется в s раз, то и периметр масштабируется в s раз, а площадь – в s². Таким образом, функция, отображающая каждый треугольник в его площадь или периметр, может рассматриваться как эквивариантная относительно мультипликативного группового действия преобразований масштабирования на множестве положительных действительных чисел.

Статистика

Другой класс простых примеров происходит из области статистической оценки. Среднее значение выборки (множества вещественных чисел) обычно используется для определения центральной тенденции выборки. Оно эквивариантно относительно линейных преобразований вещественных чисел, поэтому, например, не зависит от выбора единиц измерения для представления чисел. В отличие от этого, среднее значение не является эквивариантным по отношению к нелинейным преобразованиям, таким как экспоненциальные функции. Медиана выборки эквивариантна для гораздо более широкого класса преобразований – (строго) монотонных функций вещественных чисел. Этот анализ указывает на то, что медиана более устойчива к определенным видам изменений в наборе данных и что (в отличие от среднего значения) она имеет смысл для порядковых данных. Понятия инвариантного оценщика и эквивариантного оценщика были использованы для формализации подобного рода анализа.

Теория представления

В теории представлений конечных групп векторное пространство, снабжённое группой, действующей линейными преобразованиями этого пространства, называется линейным представлением группы. Линейное отображение, коммутирующее с этим действием, называется переплетающим отображением. Иначе говоря, переплетающее отображение – это просто эквивариантное линейное отображение между двумя представлениями. Альтернативно, переплетающее отображение для представлений группы G над полем K является тем же самым, что и гомоморфизм модулей K[G]-модулей, где K[G] – групповое кольцо G.

При определенных условиях, если X и Y – оба неприводимые представления, то переплетающее отображение (за исключением нулевого отображения) существует только в том случае, если эти два представления эквивалентны (то есть изоморфны как модули). Это переплетающее отображение тогда единственно с точностью до мультипликативного множителя (ненулевого скаляра из K). Эти свойства выполняются, когда образ K[G] является простой алгеброй с центром K (согласно так называемой лемме Шура: см. простой модуль). Как следствие, в важных случаях построения переплетающего отображения достаточно, чтобы показать, что представления по существу одинаковы.

Обобщение

Эквивариантные отображения могут быть обобщены на произвольные категории простым способом. Каждую группу G можно рассматривать как категорию с единственным объектом (морфизмы в этой категории – это просто элементы G). Для произвольной категории C представление G в категории C является функтором из G в C. Такой функтор выбирает объект в C и подгруппу автоморфизмов этого объекта. Например, G-множество эквивалентно функтору из G в категорию множеств, Set, а линейное представление эквивалентно функтору в категорию векторных пространств над полем, VectK. Для двух представлений ρ и σ группы G в C, эквивариантное отображение между этими представлениями – это просто естественное преобразование из ρ в σ. Используя естественные преобразования в качестве морфизмов, можно сформировать категорию всех представлений G в C. Это просто категория функторов CG. В качестве другого примера рассмотрим C = Top, категорию топологических пространств. Представление G в Top – это топологическое пространство, на котором G действует непрерывно. Эквивариантное отображение – это непрерывное отображение f : X → Y между представлениями, которое коммутирует с действием G.