Кіріспе
Шеттерінің ұзындығы, беттерінің ауданы және көлемі бүтін сандар болатын тетраэдр Герон тетраэдрі (немесе кемелді пирамида) деп аталады – бұл шеттерінің ұзындығы, беттерінің ауданы және көлемі бүтін сандар болатын тетраэдр. Оның барлық беттері Герон үшбұрыштары болуы керек (Александриялық Геронның атымен аталған). Кез келген Герон тетраэдрін Евклид кеңістігінде оның төбелерінің координаттары да бүтін сандар болатындай етіп орналастыруға болады.
A Heronian tetrahedron (also called a Heron tetrahedron or perfect pyramid) is a tetrahedron whose edge lengths, face areas and volume are all integers. The faces must therefore all be Heronian triangles (named for Hero of Alexandria). Every Heronian tetrahedron can be arranged in Euclidean space so that its vertex coordinates are also integers.
Мысалдар
Леонард Эйлерге белгілі бір мысал – Геронның тікбұрышты екі жақты тетраэдрі, үш координаталық оське параллель үш қабырғасы бар және барлық жақтары тікбұрышты үшбұрыштардан тұратын тетраэдр. Оське параллель қабырғалардың ұзындығы 153, 104 және 672, ал қалған үш қабырғаның ұзындығы 185, 680 және 697 болып, (153,104,185), (104,672,680), (153,680,697) және (185,672,697) пифагорлық үштіктерімен сипатталатын төрт тікбұрышты үшбұрыш жақтарын құрайды. 1877 жылы Рейнхольд Хоппе Герон тетраэдрінің сегіз мысалын тапты. 117 – бүтін қабырға ұзындығы бар кемел тетраэдрдің ең ұзын қабырғасының болуы мүмкін ең кіші ұзындығы. Оның басқа қабырға ұзындықтары 51, 52, 53, 80 және 84-ке тең. 8064 – кемел тетраэдрдің ең кішкентай көлемі (ал 6384 – ең кішкентай бетінің ауданы). Осы көлемге және бетінің ауданына ие Герон тетраэдрінің бүтін қабырға ұзындықтары 25, 39, 56, 120, 153 және 160-қа тең. 1943 жылы Э. П. Старк тағы бір мысал жариялады, онда екі жағы 896 табаны және 1073 қабырғалары бар теңқабырғалы үшбұрыштар, ал қалған екі жағы да 990 табаны және сол қабырғалары бар теңқабырғалы үшбұрыштар. Алайда, Старк оның көлемін хабарлауда қателік жасады, ол кеңінен тарады. Дұрыс көлем – 124185600, бұл Старк көрсеткен саннан екі есе көп. Саша Курц компьютерлік іздеу алгоритмдерін пайдаланып, ең ұзын қабырғасы 600000-ға дейін болатын барлық Герон тетраэдрлерін тапты.
Қарым-қатынас формалары
Герон үшбұрыштарының тағы бір анықтамасы – оларды екі бүтін санды тікбұрышты үшбұрышты ортақ қабырғасы бойынша біріктіру арқылы құруға болады. Бұл анықтама үш өлшемге дейін жалпыланды, нәтижесінде басқа бір тетраэдр класы пайда болды, олар да Герон тетраэдрлері деп аталады.