Введение

Тетраэдр, у которого длины рёбер, площади граней и объём являются целыми числами. Геронский тетраэдр (также называемый тетраэдром Герона или совершенной пирамидой) — это тетраэдр, у которого длины рёбер, площади граней и объём являются целыми числами. Следовательно, все грани должны быть геронскими треугольниками (названными в честь Герона Александрийского). Любой геронский тетраэдр можно расположить в евклидовом пространстве таким образом, чтобы координаты его вершин также были целыми числами.

Примеры

Примером, известным Леонарду Эйлеру, является геронский бипрямоугольный тетраэдр – тетраэдр с цепочкой из трех ребер, параллельных трем координатным осям, и со всеми гранями, являющимися прямоугольными треугольниками. Длины ребер в цепочке, параллельных осям, равны 153, 104 и 672, а длины остальных трех ребер – 185, 680 и 697, образуя четыре прямоугольные треугольные грани, описываемые пифагоровыми тройками (153, 104, 185), (104, 672, 680), (153, 680, 697) и (185, 672, 697). Восемь примеров геронских тетраэдров были обнаружены в 1877 году Рейнхольдом Хоппе. 117 – наименьшая возможная длина самого длинного ребра совершенного тетраэдра с целочисленными длинами ребер. Его другие длины ребер – 51, 52, 53, 80 и 84. 8064 – наименьший возможный объем (а 6384 – наименьшая возможная площадь поверхности) совершенного тетраэдра. Целочисленные длины ребер геронского тетраэдра с таким объемом и площадью поверхности равны 25, 39, 56, 120, 153 и 160. В 1943 году Э. П. Старк опубликовал другой пример, в котором две грани – равнобедренные треугольники с основанием 896 и сторонами 1073, а две другие грани также равнобедренные с основанием 990 и теми же сторонами. Однако Старк допустил ошибку в указании его объема, которая широко распространилась. Правильный объем равен 124185600, что вдвое больше, чем указал Старк. Саша Курц использовал алгоритмы компьютерного поиска для нахождения всех геронских тетраэдров с длиной самого длинного ребра не более 600000.

Сходные формы

Альтернативное определение героновых треугольников состоит в том, что они могут быть образованы склеиванием двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами вдоль общей стороны. Это определение также было обобщено на трехмерный случай, что привело к другому классу тетраэдров, которые также называют тетраэдрами Герона.