Кіріспе
Кохомология теорияларын біріктіру құрылымы
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
Алгебралық геометрияда мотивтер (немесе кейде француз тіліндегідей мотивтер) — 1960 жылдары Александр Гротендик ұсынған теория. Ол синглярлы кохомология, де Рам кохомологиясы, эталь кохомологиясы және кристалдық кохомология сияқты ұқсас мінез-құлқы бар кохомология теорияларының кең ауқымын біріктіру мақсатымен жасалған. Философиялық тұрғыдан алғанда, "мотив" — бұл әртүрліліктің "кохомологиялық мәні". Гротендиктің тегіс проективті әртүрліліктері үшін жасаған формулировкасында мотив — үштік , мұнда — тегіс проективті әртүрлілік, — идемпотентті сәйкестік, ал m — бүтін сан. Алайда, мұндай үштік Гротендиктің таза мотивтер санатының контексінен тыс ешқандай ақпаратты қамтымайды, онда -тен -ге морфизм дәрежесінің сәйкестігімен беріледі. Пьер Делинье "Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points" еңбегінде объектіге бағытталған тәсілді қолданады. Сол мақалада мотив — "реализациялар жүйесі", яғни, модульдерден тұратын түпкі,
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
сақиналар арқылы
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
, осы модульдердің айқын негізді өзгерістері арасындағы әр түрлі салыстыру изоморфизмдері, сүзгілер, әрекет және "Фробен" автоморфизмі. Бұл деректер тегіс проективті әртүрліліктің кохомологиясы мен олардың қабылдаған құрылымдары мен үйлесімділіктеріне сәйкес келеді және мотивте қандай ақпарат бар екені туралы түсінік береді.
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
Кіріспе
Мотивтер теориясы бастапқыда жылдам көбейіп келе жатқан кохомология теорияларының жиынтығын біріктіру әрекеті ретінде туындады, оның ішінде Бетти кохомологиясы, де Рам кохомологиясы, l-адық кохомология және кристалдық кохомология. Басты үміт – [проективті түзу] = [сызық] + [нүкте] және [проективті жазықтық] = [жазықтық] + [сызық] + [нүкте] сияқты теңдеулерді терең мағынасы бар, берік математикалық негізде орнату. Әрине, бұл теңдеулердің көптеген жағдайларда дұрыс екені белгілі, мысалы, CW кешендерінде "+" операциясы жаңа ұяшықтарды қосуға сәйкес келеді, ал түрлі кохомология теорияларында "+" тікелей қосындыны білдіреді. Тағы бір қырынан қарасақ, мотивтер рационалды функциялардан бастап, сорттардағы бөлгіштерге, содан кейін сорттардың Чоу топтарына дейінгі жалпылаулар тізбегін жалғастырады. Жалпылау бір бағытта ғана емес, бірнеше бағытта жүзеге асады, себебі мотивтерді рационалды теңдестікке қарағанда, теңдестіктің түрлі шарттары бойынша қарастыруға болады. Рұхсат етілген теңдестік қатынастар тиісті теңдестік қатынастың анықтамасымен беріледі.
[projective line] = [line] + [point]
[projective plane] = [plane] + [line] + [point]
can be put on increasingly solid mathematical footing with a deep meaning. Of course, the above equations are already known to be true in many senses, such as in the sense of CW complex where "+" corresponds to attaching cells, and in the sense of various cohomology theories, where "+" corresponds to the direct sum. From another viewpoint, motives continue the sequence of generalizations from rational functions on varieties to divisors on varieties to Chow groups of varieties. The generalization happens in more than one direction, since motives can be considered with respect to more types of equivalence than rational equivalence. The admissible equivalences are given by the definition of an adequate equivalence relation.
Таза ниеттің анықтамасы
Таза ниеттер санаты көбінесе үш қадамнан тұрады. Төменде Chow мотивтерінің жағдайын сипаттаймыз, онда k кез келген салада.
Нөмірлік
Бұл жерде біз 0 сипаттамалы k өрісін бекітеміз және оны коэффициент сақинамыз деп аламыз. k-ден астам квазипроективті сорттардың санаты – бұл бөлінген, шекті типтегі схемалар. Сондай-ақ, біз тегіс сорттардың ішкі санатын да қарастырамыз.
Сәйкес келетін тегіс сорттар
Берілген тегіс X және Y түрлері үшін, X-тен шекті және Y-тің бір компонентіне сюръективті болатын интегралды жабық қосалқы схеманы X-тен Y-ге негізгі сәйкестік деп атаймыз. Содан кейін, X-тен Y-ге негізгі сәйкестіктер жиынтығын алып, еркін А модулін құрастырамыз. Оның элементтері шекті сәйкестіктер деп аталады. Содан кейін нысандары тегіс түрлер болып табылатын және морфизмдері тегіс сәйкестіктер арқылы берілген аддитивті категорияны құруға болады. Осы "анықтаманың" бірден-бір маңызды бөлігі – композицияларды сипаттау қажеттігі. Олар Чоу сақиналары теориясынан алынған итеру-тарту формуласымен беріледі.
Сәйкес келу үлгілері
Түрлер морфизмінің графигінен бастапқы сәйкестіктердің классикалық мысалдары келіп шығады.
Тейттің мотивтері
Мотивтердің бірнеше қарапайым мысалдары бар, олар оңай қол жетімді. Олардың бірі – Тейт мотивтері, Мотивтер санатын құруда қолданылатын коэффициенттерге байланысты , , немесе деп белгіленеді. Бұл мотивтер санатындағы негізгі құрылыс блоктары болып табылады, себебі олар абелийлік сорттармен қатар "екінші бөлігін" құрайды.
Иілгіштің мотивтері
Иілгіштің мотивін салыстырмалы түрде оңай түсінуге болады: кез келген тегіс проекциялық иілгіш үшін олардың Чоу сақинасы бар, сондықтан Якобиандар мотивтер санатына енгізіледі.
Мамандар еместер үшін түсіндірме
Математикада жиі қолданылатын тәсіл – белгілі бір құрылымды алып жүретін объектілерді, осы құрылымды сақтайтын морфизмдері бар категорияны енгізу арқылы зерттеу. Содан кейін екі берілген объектінің изоморфты екенін сұрауға болады және әрбір изоморфизм класындағы «өте жақсы» өкілді табуға болады. Алгебралық сорттарды жіктеу, яғни осы идеяны алгебралық сорттарға қатысты қолдану, объектілердің жоғары дәрежеде сызықтық емес құрылымына байланысты өте қиын. Бирационалдық изоморфизмге дейін сорттарды зерттеудің жеңілдетілген мәселесі бирационалдық геометрия саласына алып келді. Мәселені шешудің тағы бір жолы – берілген X сортына көбірек сызықтық сипаттағы объектіні, яғни сызықтық алгебра әдістеріне бейім объектіні, мысалы векторлық кеңістікті қосу. Бұл «сызықтықтану» көбінесе кохомология деп аталады. Сорттардың әртүрлі құрылымдық аспектілерін көрсететін бірнеше маңызды кохомология теориялары бар. Мотивтер теориясы (ішінара болжамдық) – алгебралық сорттарды сызықтық жолмен анықтаудың әмбебап тәсілін табуға бағытталған, яғни мотивтер осы барлық ерекше кохомологияларды қамтитын кохомология теориясын ұсынуы керек. Мысалы, қисықтың маңызды инварианты болып табылатын тегіс проекциялық қисық C-тің туысы – бүтін сан, оны C-тің бірінші Бетти кохомология тобының өлшемінен табуға болады. Демек, қисықтың мотиві туыс туралы ақпаратты қамтуы керек. Әрине, туыс өте қарапайым инвариант, сондықтан C-тің мотиві осы саннан гөрі көбірек.
Мотивтік кохомология
Мотивтік кохомология алгебралық K-теория арқылы аралас мотивтер құрылмас бұрын-ақ ойлап табылды. Жоғарыдағы категория оны (қайта) анықтауға ыңғайлы тәсіл ұсынады:
мұнда n және m – бүтін сандар, ал – Тейт объектісінің m-шы тензорлық дәрежесі, Воеводскийдің жағдайында бұл –2-ге ығыстырылған кешен, ал [n] – үшбұрышты категориядағы стандартты ығыстыруды білдіреді.
Мотивтерге байланысты болжамдар
Стандартты болжамдар алғаш рет алгебралық циклдер мен Вейль кохомологиясы теорияларының өзара байланысы тұрғысынан формулировкаланды. Таза мотивтер санаты осы болжамдарға категориялық аяқ береді. Стандартты болжамдар көбінесе өте қиын деп есептеледі және жалпы жағдайда шешілмеген. Гротендик, Бомбиеримен бірге, стандартты болжамдарды қабылдап, Вейль болжамдарының шартты (өте қысқа және әдемі) дәлелін көрсетті (Делинье оларды басқа тәсілдермен дәлелдеген), осылай мотивациялық тәсілдің тереңдігін танытты. Мысалы, Кюннеттің стандартты болжамы, канондық проекцияларды тудыратын X × X алгебралық циклдері πi бар екенін күйейді H(X) → Hi(X) ↣ H(X) (әрбір Вейль кохомологиясы H үшін), бұл кез келген таза мотив M салмақты n бөліктеріне жіктеледі: M = ⨁GrnM. «Салмақтар» терминологиясы, мысалы, тегіс проективті сорттардың де Рам кохомологиясының ұқсас жіктелуінен туындайды, Ходж теориясын қараңыз. Сандық және гомологиялық эквиваленттіліктің сәйкестігін күйейтін D болжамы, гомологиялық және сандық эквиваленттілік бойынша таза мотивтердің эквиваленттілігін білдіреді. (Атап айтқанда, мотивтер санаты Вейль кохомологиясы теориясын таңдауға тәуелді болмайды). Яннсен (1992) келесі шартсыз нәтижені дәлелдеді: өрістегі (таза) мотивтер санаты абельдік және жартылай қарапайым болады, егер және тек қана таңдалған эквиваленттілік қатынасы сандық эквиваленттілік болса. Ходж болжамын мотивтерді пайдаланып нақтырақ формулировкалауға болады: ол орындалады, егер және тек қана Ходж жүзеге асыруы кез келген таза мотивті рационалды коэффициенттерімен (ішкі өрісте) Ходж құрылымына толық функтор ретінде бейнелейтін болса (рационалды Ходж құрылымдары). Мұндағы «таза мотив» гомологиялық эквиваленттілікке қатысты таза мотивті білдіреді. Сол сияқты, Тейт болжамы келесіге эквивалентті: «Тейт жүзеге асыруы», яғни ℓ-адикалық кохомология, толық функтор болады (гомологиялық эквиваленттілікке дейінгі таза мотивтер, базалық өріс k-нің абсолютті Галуа тобының үздіксіз өкілдіктері), ол жартылай қарапайым өкілдіктерде мәндерді қабылдайды. (Соңғы бөлігі Ходж аналогының жағдайында автоматты түрде орындалады).
Анықтамалық әдебиет
(циклдардағы эквиваленттілік қатынастары). Милн, Джеймс С. Мотивтер — Гротендиктің арманы (Воеводскийдің аралас мотивтердің анықтамасы. Өте күрделі).
(Voevodsky's definition of mixed motives. Highly technical).