Введение
Структура для объединения теорий кохомологии
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
В алгебраической геометрии мотивы (или иногда мотивы, следуя французскому употреблению) — это теория, предложенная Александром Гротендиком в 1960-х годах для объединения огромного множества кохомологических теорий, обладающих схожим поведением, таких как сингулярная кохомология, кохомология де Рама, этальная кохомология и кристаллическая кохомология. Философски, "мотив" — это "кохомологическая суть" многообразия. В формулировке Гротендика для гладких проективных многообразий мотив — это тройка , где — гладкое проективное многообразие, — идемпотентное соответствие, а m — целое число. Однако такая тройка почти не содержит информации вне контекста категории чистых мотивов Гротендика, где морфизм из в дается соответствием степени. Более объектно-ориентированный подход предпринят Пьером Делинем в работе Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. В этой статье мотив представляет собой "систему реализаций", то есть кортеж
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
состоящий из модулей
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
над кольцами
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
соответственно, различных изоморфизмов сравнения между очевидными изменениями базы этих модулей, фильтраций, действия на и автоморфизма "Фробенюса" . Эти данные моделируются на основе кохомологий гладкого проективного многообразия и структур и совместимостей, которые они допускают, и дают представление о том, какая информация содержится в мотиве.
In algebraic geometry, motives (or sometimes motifs, following French usage) is a theory proposed by Alexander Grothendieck in the 1960s to unify the vast array of similarly behaved cohomology theories such as singular cohomology, de Rham cohomology, etale cohomology, and crystalline cohomology. Philosophically, a "motif" is the "cohomology essence" of a variety. In the formulation of Grothendieck for smooth projective varieties, a motive is a triple , where is a smooth projective variety, is an idempotent correspondence, and m an integer, however, such a triple contains almost no information outside the context of Grothendieck's category of pure motives, where a morphism from to is given by a correspondence of degree A more object focused approach is taken by Pierre Deligne in Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. In that article, a motive is a "system of realisations" – that is, a tuple
consisting of modules
over the rings
respectively, various comparison isomorphisms
between the obvious base changes of these modules, filtrations , a action on and a "Frobenius" automorphism of This data is modeled on the cohomologies of a smooth projective variety and the structures and compatibilities they admit, and gives an idea about what kind of information is contained in a motive.
Введение
Теория мотивов была первоначально предложена как попытка объединить быстро растущий спектр теорий когомологий, включая когомологии Бетти, де Рама, l-адические когомологии и кристаллическую когомологию. Общая надежда состоит в том, что уравнения вида
[проективная прямая] = [прямая] + [точка]
[проективная плоскость] = [плоскость] + [прямая] + [точка]
могут быть обоснованы на все более прочной математической базе и обрести глубокий смысл. Разумеется, вышеуказанные уравнения уже известны как верные во многих смыслах, например, в смысле CW-комплекса, где "+" соответствует присоединению ячеек, и в смысле различных теорий когомологий, где "+" соответствует прямой сумме. С другой стороны, мотивы продолжают последовательность обобщений: от рациональных функций на многообразиях к делителям на многообразиях и, наконец, к группам Чоу многообразий. Обобщение происходит не в одном направлении, поскольку мотивы можно рассматривать относительно большего числа типов эквивалентности, чем рациональной эквивалентности. Допустимые эквивалентности задаются определением адекватного отношения эквивалентности.
[projective line] = [line] + [point]
[projective plane] = [plane] + [line] + [point]
can be put on increasingly solid mathematical footing with a deep meaning. Of course, the above equations are already known to be true in many senses, such as in the sense of CW complex where "+" corresponds to attaching cells, and in the sense of various cohomology theories, where "+" corresponds to the direct sum. From another viewpoint, motives continue the sequence of generalizations from rational functions on varieties to divisors on varieties to Chow groups of varieties. The generalization happens in more than one direction, since motives can be considered with respect to more types of equivalence than rational equivalence. The admissible equivalences are given by the definition of an adequate equivalence relation.
Определение чистых мотивов
Категория чистых мотивов часто строится в три этапа. Ниже мы опишем случай мотивов Чоу, где k – любое поле.
Обозначение
Здесь мы фиксируем поле k характеристики 0 и принимаем его кольцом коэффициентов. Пусть – категория квазипроективных многообразий над k, то есть разделенные схемы конечного типа. Также обозначим подкатегорией гладких многообразий.
Гладкие сорта с соответствиями
При заданной гладкой разновидностью X и разновидностью Y, интегральную замкнутую подсхему, которая является конечной над X и сюръективной на компоненту Y, называют простым соответствием из X в Y. Затем можно взять множество простых соответствий из X в Y и построить свободный A-модуль. Его элементы называются конечными соответствиями. Далее можно сформировать аддитивную категорию, объекты которой — гладкие разновидности, а морфизмы задаются гладкими соответствиями. Единственная нетривиальная часть этого "определения" заключается в необходимости описать композиции. Они задаются формулой "сдвиг-стяжение" из теории колец Чоу.
Примеры переписки
Типичные примеры главных соответствий возникают из графика морфизма многообразий.
Мотивы Тейт
Есть несколько элементарных примеров мотивов, которые легко доступны. Одним из них являются мотивы Тейта, обозначаемые , , или , в зависимости от коэффициентов, используемых при построении категории мотивов. Они являются фундаментальными строительными блоками в категории мотивов, поскольку образуют "другую часть" наряду с абелевыми многообразиями.
Мотивы кривых
Мотив кривой можно относительно легко понять: кольцо Чоу для любой гладкой проективной кривой является просто, следовательно, якобианы встраиваются в категорию мотивов.
Пояснение для неспециалистов
Обычно применяемый в математике метод заключается в изучении объектов, несущих определенную структуру, посредством введения категории, морфизмы которой сохраняют эту структуру. Затем можно задаться вопросом, когда два заданных объекта изоморфны, и потребовать "особенно удобного" представителя в каждом классе изоморфизма. Классификация алгебраических многообразий, то есть применение этой идеи к алгебраическим многообразиям, очень сложна из-за высоко нелинейной структуры этих объектов. Ослабленная задача изучения многообразий с точностью до бирационального изоморфизма привела к возникновению бирациональной геометрии. Другой подход к решению этой задачи состоит в том, чтобы сопоставить данному многообразию X объект более линейного характера, то есть объект, доступный для методов линейной алгебры, например, векторное пространство. Эта "линеаризация" обычно называется кокогомологией. Существует несколько важных теорий когомологий, отражающих различные структурные аспекты многообразий. (частично гипотетическая) теория мотивов – это попытка найти универсальный способ линеаризации алгебраических многообразий, то есть мотивы должны предоставить теорию когомологий, объединяющую все эти частные когомологии. Например, род гладкой проективной кривой C, являющийся интересным инвариантом кривой, – это целое число, которое можно определить по размерности первой когомологической группы Бетти C. Следовательно, мотив кривой должен содержать информацию о роде. Разумеется, род – довольно грубый инвариант, поэтому мотив C содержит больше, чем просто это число.
Мотивическая кохомология
Сама мотивная когомология была изобретена до создания смешанных мотивов посредством алгебраической K-теории. Приведенная выше категория предоставляет элегантный способ (пере)определить её, где n и m – целые числа, а – m-я тензорная степень объекта Тейт, который в постановке Воеводского является комплексом, сдвинутым на –2, а [n] обозначает стандартный сдвиг в триангулированной категории.
where n and m are integers and is the m th tensor power of the Tate object which in Voevodsky's setting is the complex shifted by –2, and [n] means the usual shift in the triangulated category.
Предположения, связанные с мотивами
Стандартные гипотезы были впервые сформулированы в терминах взаимодействия алгебраических циклов и теорий когомологии Вейля. Категория чистых мотивов предоставляет категориальную основу для этих гипотез. Стандартные гипотезы обычно считаются очень сложными и остаются недоказанными в общем случае. Гротендик совместно с Бомбиери продемонстрировал глубину мотивного подхода, представив условное (очень короткое и элегантное) доказательство гипотез Вейля (которые доказаны Делинем другими методами), при условии справедливости стандартных гипотез. Например, стандартная гипотеза Кюннета, утверждающая существование алгебраических циклов πi ⊂ X × X, индуцирующих канонические проекторы H(X) → Hⁱ(X) ↣ H(X) (для любой когомологии Вейля H), влечет за собой, что каждый чистый мотив M раскладывается на градуированные части веса n: M = ⨁GrⁿM. Терминология «веса» происходит из аналогичного разложения, например, когомологии де Рама гладких проективных многообразий, см. теорию Ходжа. Гипотеза D, утверждающая согласование численной и гомологической эквивалентности, влечет за собой эквивалентность чистых мотивов относительно гомологической и численной эквивалентности. (В частности, категория мотивов не будет зависеть от выбора теории когомологии Вейля). Яннсен (1992) доказал следующий безусловный результат: категория (чистых) мотивов над полем является абелевой и полупростой тогда и только тогда, когда выбранное отношение эквивалентности является численной эквивалентностью. Гипотезу Ходжа можно аккуратно переформулировать, используя мотивы: она верна тогда и только тогда, когда реализация Ходжа, отображающая любой чистый мотив с рациональными коэффициентами (над подполем ℚ) в его структуру Ходжа, является полным функтором (рациональные структуры Ходжа). Здесь «чистый мотив» означает чистый мотив относительно гомологической эквивалентности. Аналогично, гипотеза Тейта эквивалентна следующему: так называемая реализация Тейта, то есть ℓ-адическая когомология, является полным функтором (чистые мотивы с точностью до гомологической эквивалентности, непрерывные представления абсолютной группы Галуа базового поля k), принимающим значения в полупростых представлениях. (Последняя часть автоматически выполняется в случае аналога Ходжа).
Справочная литература
(адекватные отношения эквивалентности на циклах). Мильн, Джеймс С. Мотивы — мечта Гротендика (определение Воеводским смешанных мотивов. Очень техническое).
(Voevodsky's definition of mixed motives. Highly technical).