Катастрофа теориясы: Динамикалық жүйелердегі кенеттен өзгерістер
Catastrophe theory
Катастрофа теориясы – динамикалық жүйелердегі кенеттен өзгерістерді зерттейтін математика саласы. Бүркену теориясының және геометрияның бөлігі. Рене Томмен құрылған.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математиканың саласы
Area of mathematics
Математикада апат теориясы – динамикалық жүйелерді зерттеудегі бифуркация теориясының бір саласы; сонымен қатар геометриядағы толыққанды сингулярлық теорияның ерекше жағдайы. Бифуркация теориясы жағдайлардың шағын өзгерулерінен туындайтын мінез-құлықтың кенеттен өзгеруін сипаттайтын құбылыстарды зерттейді және жіктейді, сондай-ақ теңдеудегі параметрлерге байланысты теңдеу шешімдерінің сапалық ерекшеліктерін талдайды. Бұл кенеттен және күрт өзгерістерге алып келуі мүмкін, мысалы, жер көшкінінің болжауға келмейтін уақыты мен мөлшері. Апат теориясы француз математигі Рене Томның 1960 жылдардағы жұмысымен қалыптасты, ал 1970 жылдары Кристофер Земанның еңбегі арқасында кең танымал болды. Ол ұзақ мерзімді тұрақты тепе-теңдіктің тегіс, анықталған потенциалдық функцияның (Ляпунов функциясы) ең төменгі нүктесі ретінде сипатталатын ерекше жағдайды қарастырады. Сызықтық емес жүйенің белгілі бір параметрлерінің шағын өзгеруі тепе-теңдіктердің пайда болуына немесе жоғалуына, сондай-ақ тартымдылықтан тебілуге немесе керісінше өзгеруіне себеп болуы мүмкін, бұл жүйенің мінез-құлқындағы үлкен және кенеттен өзгерістерге әкеледі. Дегенмен, кеңірек параметрлік кеңістікте қарастырылғанда, апат теориясы мұндай бифуркация нүктелерінің жақсы анықталған сапалық геометриялық құрылымдардың бір бөлігі ретінде пайда болатынын көрсетеді. 1970 жылдардың соңында апат теориясының қолданылу саласынан тыс, әсіресе биология және әлеуметтік ғылымдар салаларында қолданылуы сынға түсе бастады. Залер мен Суссман 1977 жылы Nature журналында жариялаған мақаласында мұндай қолданыстарды "дұрыс емес ойлау, негізсіз болжамдар, қателікті нәтижелер және артық айтылған талаптармен сипатталатынын" айтты. Осының салдарынан апат теориясы қолдануда бұрынғыдан аз танымал болды.
In mathematics, catastrophe theory is a branch of bifurcation theory in the study of dynamical systems; it is also a particular special case of more general singularity theory in geometry. Bifurcation theory studies and classifies phenomena characterized by sudden shifts in behavior arising from small changes in circumstances, analysing how the qualitative nature of equation solutions depends on the parameters that appear in the equation. This may lead to sudden and dramatic changes, for example the unpredictable timing and magnitude of a landslide. Catastrophe theory originated with the work of the French mathematician René Thom in the 1960s, and became very popular due to the efforts of Christopher Zeeman in the 1970s. It considers the special case where the long run stable equilibrium can be identified as the minimum of a smooth, well defined potential function (Lyapunov function). Small changes in certain parameters of a nonlinear system can cause equilibria to appear or disappear, or to change from attracting to repelling and vice versa, leading to large and sudden changes of the behaviour of the system. However, examined in a larger parameter space, catastrophe theory reveals that such bifurcation points tend to occur as part of well defined qualitative geometrical structures. In the late 1970s, applications of catastrophe theory to areas outside its scope began to be criticized, especially in biology and social sciences. Zahler and Sussmann, in a 1977 article in Nature, referred to such applications as being "characterised by incorrect reasoning, far fetched assumptions, erroneous consequences, and exaggerated claims". As a result, catastrophe theory has become less popular in applications.
Элементар апаттар
Катастрофа теориясы потенциалдық функцияның дегенеративті сындық нүктелерін – тек бірінші туындысы ғана емес, сонымен қатар потенциалдық функцияның бір немесе бірнеше жоғары туындылары да нөлге тең болатын нүктелерді талдайды. Бұлар апат геометриясының бастамалары деп аталады. Бұл сындық нүктелердің дегенерациясын параметрлердің шағын өзгерістері арқылы потенциалдық функцияны Тейлор қатары түрінде кеңейту арқылы ашуға болады. Егер дегенеративті нүктелер тек кездейсоқ емес, құрылымдық тұрақты болса, онда олар төменгі дегенерацияның белгілі бір геометриялық құрылымдарын ұйымдастыру орталықтары ретінде, параметрлік кеңістікте олардың маңындағы ерекше белгілермен бірге табылады. Егер потенциалдық функция екі немесе одан аз белсенді айнымалыға және төрт немесе одан аз белсенді параметрге тәуелді болса, онда осы бұрылыс геометриялары үшін тек жеті жалпы құрылым бар, оларға сәйкес стандартты формалармен, апат бастамаларының маңындағы Тейлор қатарын диффеоморфизм арқылы (тегіс түрлендіру, оның керісі де тегіс) түрлендіруге болады. Осы жеті негізгі тип қазір Том атаған аттарымен бірге ұсынылады.
Catastrophe theory analyzes degenerate critical points of the potential function — points where not just the first derivative, but one or more higher derivatives of the potential function are also zero. These are called the germs of the catastrophe geometries. The degeneracy of these critical points can be unfolded by expanding the potential function as a Taylor series in small perturbations of the parameters. When the degenerate points are not merely accidental, but are structurally stable, the degenerate points exist as organising centres for particular geometric structures of lower degeneracy, with critical features in the parameter space around them. If the potential function depends on two or fewer active variables, and four or fewer active parameters, then there are only seven generic structures for these bifurcation geometries, with corresponding standard forms into which the Taylor series around the catastrophe germs can be transformed by diffeomorphism (a smooth transformation whose inverse is also smooth). These seven fundamental types are now presented, with the names that Thom gave them.
Қиылысқа апат
a < 0 болғанда, потенциал V екі экстремумға ие болады: біреуі тұрақты, екіншісі тұрақсыз. Егер a параметрін баяу арттырса, жүйе тұрақты минимум нүктесін қадағалай алады. Бірақ тұрақты және тұрақсыз экстремумдар кездесіп, жойылады. Бұл – бифуркация нүктесі. a > 0 болғанда тұрақты шешім болмайды. Физикалық жүйе бүктелу бифуркациясы арқылы қарастырылғанда, a 0-ге жеткенде a < 0 шешімінің тұрақтылығы кенеттен жоғалады және жүйе жаңа, өте ерекше мінез-құлыққа кенеттен өтеді. Осы a параметрінің бифуркациялық мәні кейде "бетбұрыс нүктесі" деп аталады.
When a < 0, the potential V has two extrema one stable, and one unstable. If the parameter a is slowly increased, the system can follow the stable minimum point. But at the stable and unstable extrema meet, and annihilate. This is the bifurcation point. At a > 0 there is no longer a stable solution. If a physical system is followed through a fold bifurcation, one therefore finds that as a reaches 0, the stability of the a < 0 solution is suddenly lost, and the system will make a sudden transition to a new, very different behaviour. This bifurcation value of the parameter a is sometimes called the "tipping point".
Қосқыр апаты
Қиыршық геометриясы егер екінші параметр, b, басқару кеңістігіне қосылса, бүктелудің екі бұрылысына не болатынын зерттегенде өте жиі кездеседі. Параметрлерді өзгерту арқылы, (a, b) кеңістігінде тұрақтылық жоғалған нүктелердің қисығы (көк түспен белгіленген) табылады, онда тұрақты шешім кенеттен баламалы нәтижеге секіреді. Бірақ, қиыршық геометриясында бифуркация қисығы өзіне-өзі оралып, екінші тармаққа ие болады, онда бұл баламалы шешім өзінің тұрақтылығын жоғалтады және бастапқы шешімдер жиынтығына қайта оралады. b параметрін қайта-қайта арттырып, содан кейін азайту арқылы гистерезис циклдарын байқауға болады, себебі жүйе бір шешімді кезектесіп ұстанады, екіншісіне секіреді, екіншісінен қайта оралады, содан кейін біріншісіне қайта секіреді. Алайда, мұндай құбылыс параметр кеңістігінің a < 0 аймағында ғана мүмкін. a параметрі артқан сайын гистерезис циклдары кішірейеді, және a мәнінің белгілі бір шегінен жоғары олар мүлдем жоғалып кетеді (қиыршық катастрофасы), сонда тек бір тұрақты шешім қалады. Сондай-ақ, b параметрін тұрақты ұстап, a параметрін өзгерту арқылы не болатынын қарастыруға болады. Симметриялық жағдайда, a параметрін азайту кезінде бифуркация байқалады, онда бір тұрақты шешім кенеттен екі тұрақты шешімге және бір тұрақсыз шешімге бөлінеді, физикалық жүйе (0,0) қиыршық нүктесі арқылы a < 0 аймағына өтетін кезде (симметрияның спонтанды түрде бұзылуының мысалы). Қиыршық нүктеден тыс, физикалық шешімнің кенеттен өзгеруі болмайды: бүктелу қисығынан өткен кезде, тек екінші балама шешім қолжетімді болады. Расқа келгенде, қиыршық катастрофасын стресске ұшыраған иттің мінез-құлқын модельдеу үшін пайдалануға болады, ол қорқып немесе ашуланып жауап беруі мүмкін. Бұл тұжырым бойынша, орташа стресс деңгейінде (a > 0), иттің реакциясы, оның қалай тітіркендірілгеніне байланысты, қорқыныштан ашуға дейін бірте-бірте өзгереді. Бірақ жоғары стресс деңгейі (a < 0) аймағына көшуге сәйкес келеді. Егер ит қорқып жүрсе, ол "бүктелу" нүктесіне жеткенше, қорқыныш күйінде қалады, содан кейін кенеттен ашулы күйге секіреді. "Ашулы" күйге кіргеннен кейін, тікелей тітіркену параметрі айтарлықтай төмендесе де, ол ашулы болып қала береді. "Зиман катастрофа машинасы" деп аталатын қарапайым механикалық жүйе қиыршық катастрофасын жақсы көрсетеді. Бұл құрылғыда пружина ұшының орналасуының тегіс өзгеруі, оған бекітілген дөңгелектің айналу орналасуының кенеттен өзгеруіне әкелуі мүмкін. Параллель резервтік жүйесі бар күрделі жүйенің катастрофалық сәтсіздіктерін жергілікті және сыртқы кернеулер арасындағы қатынас негізінде бағалауға болады. Құрылымдық сынықтардың механикалық моделі қиыршық катастрофасының мінез-құлқына ұқсас. Модель күрделі жүйенің резервтік қабілетін болжайды. Басқа қолданыстарға химиялық және биологиялық жүйелерде жиі кездесетін сыртқы сфералық электрондық трансфер, атмосферадағы бұлт конденсациясы ядроларының динамикасын модельдеу және жылжымайтын мүлік бағаларын модельдеу кіреді. Бүктелу бифуркациялары және қиыршық геометриясы катастрофа теориясының ең маңызды практикалық салдары болып табылады. Олар физика, инженерия және математикалық модельдеуде қайта-қайта кездесетін үлгілер. Олар күшті гравитациялық линзалық құбылыстарды тудырады және астрономдарға алыс квазарлардың бірнеше суреттерін шығаратын гравитациялық линзалық құбылыс арқылы қара тесіктерді және ғаламның қара материясын анықтау үшін қолданылатын әдістердің бірін ұсынады. Қалған қарапайым катастрофа геометриялары салыстырғанда өте ерекшеленеді және тек қызығушылық үшін ұсынылады.
The cusp geometry is very common when one explores what happens to a fold bifurcation if a second parameter, b, is added to the control space. Varying the parameters, one finds that there is now a curve (blue) of points in (a,b) space where stability is lost, where the stable solution will suddenly jump to an alternate outcome. But in a cusp geometry the bifurcation curve loops back on itself, giving a second branch where this alternate solution itself loses stability, and will make a jump back to the original solution set. By repeatedly increasing b and then decreasing it, one can therefore observe hysteresis loops, as the system alternately follows one solution, jumps to the other, follows the other back, and then jumps back to the first. However, this is only possible in the region of parameter space a < 0. As a is increased, the hysteresis loops become smaller and smaller, until above they disappear altogether (the cusp catastrophe), and there is only one stable solution. One can also consider what happens if one holds b constant and varies a. In the symmetrical case , one observes a pitchfork bifurcation as a is reduced, with one stable solution suddenly splitting into two stable solutions and one unstable solution as the physical system passes to a < 0 through the cusp point (0,0) (an example of spontaneous symmetry breaking). Away from the cusp point, there is no sudden change in a physical solution being followed: when passing through the curve of fold bifurcations, all that happens is an alternate second solution becomes available. A famous suggestion is that the cusp catastrophe can be used to model the behaviour of a stressed dog, which may respond by becoming cowed or becoming angry. The suggestion is that at moderate stress (a > 0), the dog will exhibit a smooth transition of response from cowed to angry, depending on how it is provoked. But higher stress levels correspond to moving to the region (a < 0). Then, if the dog starts cowed, it will remain cowed as it is irritated more and more, until it reaches the 'fold' point, when it will suddenly, discontinuously snap through to angry mode. Once in 'angry' mode, it will remain angry, even if the direct irritation parameter is considerably reduced. A simple mechanical system, the "Zeeman Catastrophe Machine", nicely illustrates a cusp catastrophe. In this device, smooth variations in the position of the end of a spring can cause sudden changes in the rotational position of an attached wheel. Catastrophic failure of a complex system with parallel redundancy can be evaluated based on the relationship between local and external stresses. The model of the structural fracture mechanics is similar to the cusp catastrophe behavior. The model predicts reserve ability of a complex system. Other applications include the outer sphere electron transfer frequently encountered in chemical and biological systems, modelling the dynamics of cloud condensation nuclei in the atmosphere, and modelling real estate prices. Fold bifurcations and the cusp geometry are by far the most important practical consequences of catastrophe theory. They are patterns which reoccur again and again in physics, engineering and mathematical modelling. They produce the strong gravitational lensing events and provide astronomers with one of the methods used for detecting black holes and the dark matter of the universe, via the phenomenon of gravitational lensing producing multiple images of distant quasars. The remaining simple catastrophe geometries are very specialised in comparison, and presented here only for curiosity value.
Құйрықты құйрықты апат
Басқару параметрлерінің кеңістігі үш өлшемді. Параметрлік кеңістіктегі екіге бөліну жиыны үш бүктелу бифуркациясының бетінен тұрады, олар екі құйрық бифуркациясының сызығында қиылысады, ал олар өз кезегінде бір сопақша бифуркациясының нүктесінде бірігеді. Параметрлер бүктелу бифуркациясының бетінен өтетін кезде, потенциалды функцияның бір минимумы және бір максимумы жоғалады. Құйрық бифуркацияларында екі минимум және бір максимум бір минимуммен алмастырылады; одан кейін бүктелу бифуркациялары жоғалады. Сопақша нүктесінде екі минимум және екі максимум x-тің бір мәнінде бірігеді. a > 0 мәндері үшін, сопақшадан тыс жерде, b және c мәндеріне байланысты бір минимум-максимум жұбы немесе мүлдем жоқ. Сондықтан, құйрық нүктесінде бүктелу бифуркациясының екі беті және олардың a < 0 үшін қиылысатын екі құйрық бифуркациясының сызығы жоғалады, оларды тек бір бүктелу бифуркациясының бетімен алмастыру керек. Сальвадор Далидің соңғы суреті, "Құйрық", осы катастрофаға негізделген.
The control parameter space is three dimensional. The bifurcation set in parameter space is made up of three surfaces of fold bifurcations, which meet in two lines of cusp bifurcations, which in turn meet at a single swallowtail bifurcation point. As the parameters go through the surface of fold bifurcations, one minimum and one maximum of the potential function disappear. At the cusp bifurcations, two minima and one maximum are replaced by one minimum; beyond them the fold bifurcations disappear. At the swallowtail point, two minima and two maxima all meet at a single value of x. For values of a > 0, beyond the swallowtail, there is either one maximum minimum pair, or none at all, depending on the values of b and c. Two of the surfaces of fold bifurcations, and the two lines of cusp bifurcations where they meet for a < 0, therefore disappear at the swallowtail point, to be replaced with only a single surface of fold bifurcations remaining. Salvador Dalí's last painting, The Swallow's Tail, was based on this catastrophe.
Көппіршік апаты
Параметрлердің мәндеріне байланысты, потенциалдық функцияда үш, екі немесе бір түрлі жергілікті минимумдар болуы мүмкін, олар бүктелу бифуркацияларының локустарымен бөлінеді. Көбелек нүктесінде бүктелу бифуркацияларының үш беті, құйрық бифуркацияларының екі беті және лақ ете қанат бифуркацияларының сызықтары тоғысып, жоғалады, нәтижесінде a > 0 болғанда жалғыз құйрық құрылымы қалады.
Depending on the parameter values, the potential function may have three, two, or one different local minima, separated by the loci of fold bifurcations. At the butterfly point, the different 3 surfaces of fold bifurcations, the 2 surfaces of cusp bifurcations, and the lines of swallowtail bifurcations all meet up and disappear, leaving a single cusp structure remaining when a > 0.
Екі белсенді айнымалының ықтимал функциялары
Құйрық апаттары – коранк 2 апаттарының мысалы болып табылады. Оларды оптикада үш өлшемді кеңістікте бетке шағылысқан жарықтан пайда болатын фокустық беттерде байқауға болады және олар дерлік шар тәрізді беттердің геометриясымен тығыз байланысты: құйрық нүктесі. Том гиперболалық құйрық апаты толқынның жұлынуын, ал эллипстік құйрық шаш тәрізді құрылымдардың пайда болуын модельдеуге болатынын ұсынды.
Umbilic catastrophes are examples of corank 2 catastrophes. They can be observed in optics in the focal surfaces created by light reflecting off a surface in three dimensions and are intimately connected with the geometry of nearly spherical surfaces: umbilical point. Thom proposed that the hyperbolic umbilic catastrophe modeled the breaking of a wave and the elliptical umbilic modeled the creation of hair like structures.
Оптика
Апат теориясы болжағандай, сингулярлықтар кең таралған және бұзылыстарға тұрақты. Бұл жарық сызықтары мен беттерінің бұзылу кезінде де тұрақты болуын түсіндіреді. Мысалы, бассейн түбінде көрінетін каустикалардың ерекше текстурасы бар және су беті үнемі өзгеріп тұрса да, олардың тек бірнеше түрі ғана сингулярлық нүктелері болады. Мысалы, радуганың шетінде қатпарлы апат кездеседі. Жарықтың толқындық табиғатына байланысты, апаттың Аири функциясымен сипатталатын ұсақ дифракциялық егжей-тегжейлері бар. Бұл жалпы нәтиже және су тамшысының нақты пішініне тәуелді емес, сондықтан радуганың шеті әрқашан Аири функциясының пішінін сақтайды. Аири функциясының қатпарлы апаты ядролық шашырауда ("ядролық радуга") да байқалады. Түйірлі апатты байқау одан кейін ең оңайы. Жарықтың толқындық табиғатына байланысты, апаттың Пирси функциясымен сипатталатын ұсақ дифракциялық егжей-тегжейлері бар. Сонымен қатар, құлаққап және көбелек сияқты жоғары ретті апаттар да байқалған.
As predicted by catastrophe theory, singularities are generic, and stable under perturbation. This explains how the bright lines and surfaces are stable under perturbation. The caustics one sees at the bottom of a swimming pool, for example, have a distinctive texture and only has a few types of singular points, even though the surface of the water is ever changing. The edge of the rainbow, for example, has a fold catastrophe. Due to the wave nature of light, the catastrophe has fine diffraction details described by the Airy function. This is a generic result and does not depend on the precise shape of the water droplet, and so the edge of the rainbow always has the shape of an Airy function. The same Airy function fold catastrophe can be seen in nuclear nuclear scattering ("nuclear rainbow"). The cusp catastrophe is the next simplest to observe. Due to the wave nature of light, the catastrophe has fine diffraction details described by the Pearcey function. Higher order catastrophes, such as the swallowtail and the butterfly, have also been observed.