Теория катастроф в математике

Введение

Область математики

В математике теория катастроф является отраслью теории бифуркаций при изучении динамических систем; это также частный случай более общей теории особенностей в геометрии. Теория бифуркаций изучает и классифицирует явления, характеризующиеся резкими изменениями поведения, возникающими из-за малых изменений в условиях, анализируя, как качественный характер решений уравнений зависит от параметров, входящих в уравнение. Это может приводить к внезапным и драматическим изменениям, например, к непредсказуемому времени и масштабу оползня. Теория катастроф берет начало в работах французского математика Рене Тома в 1960-х годах и приобрела широкую популярность благодаря усилиям Кристофера Земана в 1970-х годах. Она рассматривает особый случай, когда долгосрочное устойчивое равновесие можно идентифицировать как минимум гладкой, чётко определённой потенциальной функции (функции Ляпунова). Небольшие изменения определённых параметров нелинейной системы могут приводить к появлению или исчезновению равновесий, либо к изменению их характера с притягивающего на отталкивающий и наоборот, что влечёт за собой большие и внезапные изменения в поведении системы. Однако, при рассмотрении в более широком пространстве параметров, теория катастроф показывает, что такие точки бифуркации, как правило, возникают как часть чётко определённых качественных геометрических структур. В конце 1970-х годов применение теории катастроф к областям, выходящим за рамки её применимости, стало подвергаться критике, особенно в биологии и социальных науках. Залер и Суссманн в статье 1977 года в журнале Nature отметили, что такие применения характеризуются неверными рассуждениями, натянутыми предположениями, ошибочными выводами и преувеличенными заявлениями. В результате теория катастроф стала менее востребована в практических приложениях.

Элементарные катастрофы

Теория катастроф анализирует вырожденные критические точки потенциальной функции — точки, в которых обращаются в нуль не только первая производная, но и одна или несколько высших производных потенциальной функции. Эти точки называются зародышами геометрий катастроф. Вырождение этих критических точек можно развернуть, раскладывая потенциальную функцию в ряд Тейлора в окрестности малых возмущений параметров. Если вырожденные точки не являются случайными, а структурно устойчивыми, то они выступают в качестве организующих центров для определенных геометрических структур с меньшей степенью вырождения, с критическими особенностями в пространстве параметров вокруг них. Если потенциальная функция зависит от двух или менее активных переменных и четырех или менее активных параметров, то существует всего семь общих структур для этих геометрий бифуркации, с соответствующими стандартными формами, в которые ряд Тейлора в окрестности зародышей катастрофы можно преобразовать посредством диффеоморфизма (гладкого преобразования, обратное к которому также гладкое). Эти семь фундаментальных типов представлены далее под названиями, данными им Томом.

Катастрофа сгиба

Когда a < 0, потенциал V имеет два экстремума – один стабильный и один нестабильный. Если параметр a медленно увеличивается, система может следовать за стабильной точкой минимума. Но при некотором значении a стабильный и нестабильный экстремумы сталкиваются и исчезают. Это точка бифуркации. При a > 0 стабильного решения больше не существует. Если физическую систему проследить через бифуркацию сгибания, то можно обнаружить, что по мере приближения a к 0 стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система совершает резкий переход к новому, совершенно иному поведению. Это значение параметра a, при котором происходит бифуркация, иногда называют "точкой невозврата".

Катастрофа в Кюспе

Геометрия куспов широко распространена при исследовании того, что происходит с бифуркацией складки при добавлении второго параметра, b, в пространство управления. Варьируя параметры, можно обнаружить, что теперь существует кривая (синяя) точек в пространстве (a, b), где теряется стабильность, и стабильное решение внезапно переходит к альтернативному исходу. Однако в геометрии куспов кривая бифуркации возвращается сама на себя, создавая вторую ветвь, где это альтернативное решение само по себе теряет стабильность и совершает переход обратно к исходному множеству решений. Таким образом, последовательно увеличивая и затем уменьшая b, можно наблюдать петли гистерезиса, поскольку система поочередно следует одному решению, переходит к другому, затем следует за другим обратно и возвращается к первому. Однако это возможно только в области параметрического пространства a < 0. С увеличением a петли гистерезиса становятся все меньше и меньше, пока выше определенного значения они полностью не исчезнут (катастрофа куспов), и остается только одно стабильное решение. Можно также рассмотреть, что происходит, если b поддерживать постоянным и изменять a. В симметричном случае при уменьшении a наблюдается бифуркация вилки, когда одно стабильное решение внезапно расщепляется на два стабильных и одно нестабильное решение, когда физическая система переходит к a < 0 через точку куспов (0,0) (пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки куспов резких изменений в отслеживаемом физическом решении не происходит: при пересечении кривой бифуркации складки становится доступным лишь альтернативное второе решение. Существует известное предположение, что катастрофа куспов может быть использована для моделирования поведения собаки, находящейся в состоянии стресса, которая может реагировать, становясь покорной или злой. Предполагается, что при умеренном стрессе (a > 0) собака демонстрирует плавный переход от покорного поведения к злому, в зависимости от того, как она провоцируется. Однако более высокие уровни стресса соответствуют переходу в область (a < 0). Затем, если собака изначально покорна, она останется покорной по мере усиления раздражения, пока не достигнет точки «складки», когда она внезапно и скачкообразно перейдет в злобный режим. Оказавшись в «злом» режиме, она останется злой, даже если параметр прямого раздражения значительно уменьшится. Простая механическая система, «Машина катастроф Зимана», наглядно иллюстрирует катастрофу куспов. В этом устройстве плавные изменения положения конца пружины могут вызывать внезапные изменения в угловом положении прикрепленного колеса. О катастрофическом разрушении сложной системы с параллежным резервированием можно судить на основе взаимосвязи между локальными и внешними напряжениями. Модель структурной механики разрушения аналогична поведению при катастрофе куспов. Модель предсказывает резервные возможности сложной системы. Другие области применения включают перенос электронов во внешней сфере, часто встречающийся в химических и биологических системах, моделирование динамики ядер конденсации облаков в атмосфере и моделирование цен на недвижимость. Бифуркации складки и геометрия куспов являются, безусловно, наиболее важными практическими следствиями теории катастроф. Это закономерности, которые снова и снова возникают в физике, инженерии и математическом моделировании. Они порождают сильные события гравитационного линзирования и предоставляют астрономам один из методов обнаружения черных дыр и темной материи Вселенной посредством явления гравитационного линзирования, создающего множественные изображения далеких квазаров. Остальные простые геометрии катастроф в сравнении весьма специфичны и представлены здесь лишь из любопытства.

The cusp geometry is very common when one explores what happens to a fold bifurcation if a second parameter, b, is added to the control space. Varying the parameters, one finds that there is now a curve (blue) of points in (a,b) space where stability is lost, where the stable solution will suddenly jump to an alternate outcome. But in a cusp geometry the bifurcation curve loops back on itself, giving a second branch where this alternate solution itself loses stability, and will make a jump back to the original solution set. By repeatedly increasing b and then decreasing it, one can therefore observe hysteresis loops, as the system alternately follows one solution, jumps to the other, follows the other back, and then jumps back to the first. However, this is only possible in the region of parameter space a < 0. As a is increased, the hysteresis loops become smaller and smaller, until above they disappear altogether (the cusp catastrophe), and there is only one stable solution. One can also consider what happens if one holds b constant and varies a. In the symmetrical case , one observes a pitchfork bifurcation as a is reduced, with one stable solution suddenly splitting into two stable solutions and one unstable solution as the physical system passes to a < 0 through the cusp point (0,0) (an example of spontaneous symmetry breaking). Away from the cusp point, there is no sudden change in a physical solution being followed: when passing through the curve of fold bifurcations, all that happens is an alternate second solution becomes available. A famous suggestion is that the cusp catastrophe can be used to model the behaviour of a stressed dog, which may respond by becoming cowed or becoming angry. The suggestion is that at moderate stress (a > 0), the dog will exhibit a smooth transition of response from cowed to angry, depending on how it is provoked. But higher stress levels correspond to moving to the region (a < 0). Then, if the dog starts cowed, it will remain cowed as it is irritated more and more, until it reaches the 'fold' point, when it will suddenly, discontinuously snap through to angry mode. Once in 'angry' mode, it will remain angry, even if the direct irritation parameter is considerably reduced. A simple mechanical system, the "Zeeman Catastrophe Machine", nicely illustrates a cusp catastrophe. In this device, smooth variations in the position of the end of a spring can cause sudden changes in the rotational position of an attached wheel. Catastrophic failure of a complex system with parallel redundancy can be evaluated based on the relationship between local and external stresses. The model of the structural fracture mechanics is similar to the cusp catastrophe behavior. The model predicts reserve ability of a complex system. Other applications include the outer sphere electron transfer frequently encountered in chemical and biological systems, modelling the dynamics of cloud condensation nuclei in the atmosphere, and modelling real estate prices. Fold bifurcations and the cusp geometry are by far the most important practical consequences of catastrophe theory. They are patterns which reoccur again and again in physics, engineering and mathematical modelling. They produce the strong gravitational lensing events and provide astronomers with one of the methods used for detecting black holes and the dark matter of the universe, via the phenomenon of gravitational lensing producing multiple images of distant quasars. The remaining simple catastrophe geometries are very specialised in comparison, and presented here only for curiosity value.

Катастрофа "хвоста летучей мыши"

Пространство параметров управления трехмерно. Множество бифуркаций в пространстве параметров состоит из трех поверхностей бифуркаций сгиба, которые пересекаются в двух линиях бифуркаций куспида, которые, в свою очередь, сходятся в одной точке бифуркации "ласточкин хвост". При прохождении параметров через поверхность бифуркации сгиба исчезает один минимум и один максимум потенциальной функции. На бифуркациях куспида два минимума и один максимум заменяются одним минимумом; после них бифуркации сгиба исчезают. В точке "ласточкин хвост" два минимума и два максимума сливаются в одно значение x. При a > 0, после точки "ласточкин хвост", существует либо одна пара максимум-минимум, либо ни одной, в зависимости от значений b и c. Две поверхности бифуркаций сгиба и две линии бифуркаций куспида, где они пересекаются при a < 0, поэтому исчезают в точке "ласточкин хвост", оставляя только одну поверхность бифуркаций сгиба. Последняя картина Сальвадора Дали, "Ласточкин хвост", была основана на этой катастрофе.

Бабочка катастрофа

В зависимости от значений параметров, потенциальная функция может иметь три, два или один различных локальных минимума, разделенных местами геометрическими бифуркаций складки. В точке бабочки три различные поверхности бифуркаций складки, две поверхности бифуркаций куспоида и линии бифуркаций ласточки сходятся и исчезают, оставляя лишь одну куспоидальную структуру при a > 0.

Потенциальные функции двух активных переменных

Накольные катастрофы являются примерами катастроф коранга 2. Их можно наблюдать в оптике на фокальных поверхностях, создаваемых отражением света от поверхности в трех измерениях, и они тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей: пупочная точка. Том предположил, что гиперболическая накольная катастрофа моделирует разрушение волны, а эллиптическая накольная катастрофа – формирование волосовидных структур.

Оптическая

Как предсказывает теория катастроф, сингулярности являются общими и устойчивы к возмущениям. Это объясняет, почему яркие линии и поверхности устойчивы при возмущении. Например, каустики, которые можно увидеть на дне бассейна, имеют характерную текстуру и лишь несколько типов сингулярных точек, несмотря на то, что поверхность воды постоянно меняется. Край радуги, например, демонстрирует катастрофу с фолдом (сгибом). Благодаря волновой природе света, эта катастрофа имеет мелкие дифракционные детали, описываемые функцией Эйри. Это универсальный результат, не зависящий от точной формы капли воды, поэтому край радуги всегда имеет форму, определяемую функцией Эйри. Ту же катастрофу с фолдом функции Эйри можно наблюдать в ядерном рассеянии ("ядерная радуга"). Следующая по простоте для наблюдения – катастрофа с куспидом (острым углом). Благодаря волновой природе света, эта катастрофа также имеет мелкие дифракционные детали, описываемые функцией Пирси. Катастрофы более высокого порядка, такие как «ласточкин хвост» и «бабочка», также были обнаружены.