Кіріспе
Математиканың топтардың қасиеттерін зерттейтін саласы. Әлеуметтік ғылымдардағы топтық теория. Абстракт алгебрада топтық теория топтар деп аталатын алгебралық құрылымдарды зерттейді. Топ ұғымы абстракт алгебраның орталық ұғымы болып табылады: сақиналар, өрістер және векторлық кеңістіктер сияқты басқа да белгілі алгебралық құрылымдардың барлығын қосымша операциялар мен аксиомалармен жабдықталған топтар ретінде қарастыруға болады. Топтар математиканың көптеген салаларында кездеседі, ал топтық теорияның әдістері алгебраның көп бөлігіне әсер етті. Сызықтық алгебралық топтар және Ли топтары – топтық теорияның екі саласы, олар үлкен жетістіктерге жетіп, өзділері жеке тақырыптарға айналды. Кристалдар және сутек атомы сияқты әртүрлі физикалық жүйелер, сондай-ақ ғаламдағы төрт негізгі күштің үшеуі симметрия топтары арқылы модельделуі мүмкін. Осылайша, топтық теория және оған тығыз байланысты бейнелеу теориясы физика, химия және материалдар ғылымында маңызды қолданыстарға ие. Топтық теория сонымен қатар ашық кілттің криптографиясының да маңызды бөлігі болып табылады. Топтық теорияның бастапқы тарихы 19 ғасырға дейін жетеді. 20 ғасырдың ең маңызды математикалық жетістіктерінің бірі – 1960 мен 2004 жылдар аралығында жарияланған, 10 000-нан астам журнал бетін қамтиған және шекті жай топтардың толық жіктелуімен аяқталған бірлескен еңбек болды.
group theory in social sciences
In abstract algebra, group theory studies the algebraic structures known as groups. The concept of a group is central to abstract algebra: other well known algebraic structures, such as rings, fields, and vector spaces, can all be seen as groups endowed with additional operations and axioms. Groups recur throughout mathematics, and the methods of group theory have influenced many parts of algebra. Linear algebraic groups and Lie groups are two branches of group theory that have experienced advances and have become subject areas in their own right. Various physical systems, such as crystals and the hydrogen atom, and three of the four known fundamental forces in the universe, may be modelled by symmetry groups. Thus group theory and the closely related representation theory have many important applications in physics, chemistry, and materials science. Group theory is also central to public key cryptography. The early history of group theory dates from the 19th century. One of the most important mathematical achievements of the 20th century was the collaborative effort, taking up more than 10,000 journal pages and mostly published between 1960 and 2004, that culminated in a complete classification of finite simple groups.
Тарих
Топтар теориясының үш негізгі тарихи көзі бар: сандар теориясы, алгебралық теңдеулер теориясы және геометрия. Сандар теориясы бойынша бастаманы Леонхард Эйлер берді, ал Гаусс модульдік арифметика және квадраттық өрістерге қатысты қосымша және көбейтімдік топтар бойынша жұмыстарын жалғастырды. Лагранж, Руффини және Абель жоғары дәрежелі полиномдық теңдеулердің жалпы шешімдерін табуға тырысқанда пермутациялық топтар туралы алғашқы нәтижелерді алды. Эварист Галуа «топ» терминін енгізіп, топтар теориясы мен өріс теориясы арасындағы байланысты, қазір Галуа теориясы деп белгілі, орнатты. Геометрияда топтар алдымен проективтік геометрияда, содан кейін Эвклидтік емес геометрияда маңызды рөл атқарды. Феликс Клейннің Эрланген бағдарламасы геометрияның ұйымдастырушы қағидасы ретінде топтар теориясын жариялады. Галуа 1830 жылдары полиномдық теңдеулердің шешілу мүмкіндігін анықтау үшін топтарды алғаш рет қолданды. Артур Кейли және Огюстен Луи Коши пермутациялық топтар теориясын құру арқылы осы зерттеулерді одан әрі дамытты. Топтарға қатысты екінші тарихи көз геометриялық жағдайлардан туындайды. Феликс Клейн топтар теориясын қолдана отырып, мүмкін болатын геометрияларды (мысалы, Эвклидтік, гиперболалық немесе проекциялық геометрияны) түсінуге тырысып, Эрланген бағдарламасын бастады. Софус Ли 1884 жылы аналитикалық мәселелерге байланысты топтарды (қазір Ли топтары деп аталады) қолдана бастады. Үшіншіден, топтар алдымен жасырын, кейіннен ашық түрде алгебралық сандар теориясында қолданылды. Осы ерте көздердің әртүрлі ауқымы топтардың әртүрлі түсініктеріне әкелді. Топтар теориясы шамамен 1880 жылдан бастап біріктірілді. Содан бері топтар теориясының ықпалы үнемі артып келеді, бұл 20 ғасырдың басында абстрактіл алгебраның, өкілдік теориясының және көптеген басқа да ықпалды салалардың пайда болуына себеп болды. Шекті қарапайым топтарды жіктеу – 20 ғасырдың ортасынан бастап барлық шекті қарапайым топтарды жіктеуге арналған ауқымды жұмыс.
Топтардың негізгі түрлері
Қарастырылып жатқан топтардың ауқымы біртіндеп шекті ауыстыру топтарынан және матрицалық топтардың ерекше мысалдарынан генераторлар мен қатынастар арқылы берілген абстракт топтарға дейін кеңейді.
Пермутация топтары
Жүйелі зерттеуге түскен топтардың алғашқысы – пермутациялық топтар. Кез келген X жиыны және X-тің өзіне биекциялардың G жиыны (пермутациялар деп аталады), егер ол композициялар және кері операциялар бойынша жабық болса, X-ке әрекет ететін топ болып табылады. Егер X жиыны n элементтен тұрса және G жиыны барлық пермутациялардан құралса, онда G – симметриялық топ Sn; жалпы жағдайда, кез келген пермутация тобы G – X жиынының симметриялық тобының кіші тобы болып табылады. Кейлидің ертедегі құрастыруы кез келген топты сол жақты тұрақты өрнектеу арқылы өзіне (1=X = G) әрекет ететін пермутация тобы ретінде көрсетті. Көп жағдайда пермутация тобының құрылымын оның сәйкес жиынға әсер ету қасиеттерін пайдалану арқылы зерттеуге болады. Мысалы, осылайша n ≥ 5 үшін алмастыру тобы An қарапайым екені дәлелденеді, яғни ол ешқандай нақты қалыпты кіші топтарға ие емес. Бұл факт n ≥ 5 дәрежелі жалпы алгебралық теңдеуді радикалдар арқылы шешу мүмкін болмауында маңызды рөл атқарады.
Матрицалық топтар
Топтардың келесі маңызды класы матрицалық топтар немесе сызықтық топтар болып табылады. Мұнда G – K өрісіндегі белгілі бір n реттік инвертирленетін матрицалардан тұратын, көбейту және кері амалдарға қатысты жабық жиын. Мұндай топ n өлшемді векторлық кеңістік Kn-де сызықтық түрлендірулер арқылы әрекет етеді. Бұл әрекет матрицалық топтарды пермутациялық топтармен ұғымдық тұрғыдан ұқсас етеді, ал әрекеттің геометриясын G тобының қасиеттерін анықтау үшін тиімді пайдалануға болады.
Трансформациялау топтары
Пермутациялық топтар мен матрицалық топтар – трансформациялық топтардың ерекше жағдайлары: белгілі бір X кеңістігінде әрекет ететін және оның ішкі құрылымын сақтайтын топтар. Пермутациялық топтар үшін X – жиын, ал матрицалық топтар үшін X – векторлық кеңістік. Трансформациялық топтардың ұғымы симметриялық топтардың ұғымымен тығыз байланысты: трансформациялық топтар көбінесе белгілі бір құрылымды сақтайтын барлық түрлендірулерден тұрады. Трансформациялық топтар теориясы топтар теориясын дифференциалдық геометриямен байланыстыратын көпір құрайды. Ли және Клейн еңбектерінен бастау алған, ұзаққа созылған зерттеулер гомеоморфизмдер немесе диффеоморфизмдер арқылы көптүрліліктердегі топтардың әрекеттерін қарастырады. Өзінде топтар дискретті немесе үздіксіз болуы мүмкін.
Абстрактілік топтар
Топтық теорияның дамуының бірінші кезеңінде қарастырылған көптеген топтар "конкретті" болды, сандар, орналастырулар немесе матрицалар арқылы іске асырылған. Тек XIX ғасырдың соңында ғана абстракт топ идеясы қалыптаса бастады, мұнда "абстракт" дегеніміз элементтердің мәні екі изоморфты топты бір топ ретінде қарастыруға мүмкіндік беретіндей етіп елеусіз қалдырылады. Абстракт топты анықтаудың әдеттегі жолы – генераторлар мен қатынастар арқылы берілуі.
Абстракт топтардың маңызды көзі – G тобының нормальды топшасы H арқылы G/H факторлық тобын (немесе бөлу тобын) құру болып табылады. Алгебралық сан денелерінің сыныптық топтары – факторлық топтардың ең ерте мысалдарының бірі және сандар теориясында үлкен қызығушылық тудырады. Егер G тобы X жиынындағы орналастыру тобы болса, G/H факторлық тобы енді X-ке әсер етпейді; бірақ абстракт топ идеясы осы қарама-қайшылық туралы алаңдамауға мүмкіндік береді. Конкретті топтардан абстракт топтарға көзқарастың өзгеруі, белгілі бір іске асыруға тәуелсіз топтардың қасиеттерін қарастыруды немесе, қазіргі тілмен айтқанда, изоморфизм бойынша өзгермейтін қасиеттерін, сондай-ақ осындай қасиеттері бар топтардың сыныптарын қарастыруды табиғи етеді: шекті топтар, периодтық топтар, қарапайым топтар, шешілетін топтар және т.б. Жеке топтың қасиеттерін зерттеудің орнына, топтардың бүкіл класына қатысты нәтижелерді орнатуға тырысады. Жаңа парадигма математиканың дамуы үшін өте маңызды болды: ол Гильберт, Эмиль Артин, Эмми Нетер және олардың мектебінің математиктерінің еңбектерінде абстракт алгебраның құрылуын болжады.
Қосымша құрылымды топтар
Топ ұғымының маңызды дамуы G қосымша құрылыммен, атап айтқанда, топологиялық кеңістікпен, дифференциалданатын көптікпен немесе алгебралық санмен жабдықталғанда болады. Егер топтық амалдар m (көбейту) және i (кері амал) осы құрылыммен үйлесімді болса, яғни олар үздіксіз, тегіс немесе реттелген (алгебралық геометрия мағынасында) бейнелеулер болса, онда G – топологиялық топ, Ли тобы немесе алгебралық топ болады. Қосымша құрылымның болуы осы топтардың түрлерін басқа математикалық салалармен байланыстырады және оларды зерттеуде көбірек құралдар қолжетімді етеді. Топологиялық топтар абстрактілі гармоникалық талдау үшін табиғи сала құрайды, ал Ли топтары (көбінесе трансформациялық топтар ретінде іске асырылады) дифференциалдық геометрия мен унитарлық өкілдік теориясының негізгі құралы болып табылады. Жалпы шешілмейтін кейбір жіктеу мәселелеріне топтардың белгілі бір кіші топтары үшін жақындап, шешім табуға болады. Мысалы, ықшам байланысқан Ли топтары толыққанды жіктелді. Шегі шексіз абстрактілі топтар мен топологиялық топтар арасында жемісті байланыс бар: егер Γ тобы G топологиялық тобындағы тор ретінде жүзеге асырылса, онда G-ге қатысты геометрия мен талдау Γ туралы маңызды нәтижелер береді. Жақында ғана шекті топтар теориясындағы бағыт олардың ықшам топологиялық топтармен (профиниттік топтармен) байланысын пайдаланады: мысалы, бір p-адилік аналитикалық топ G әр түрлі реттік шекті p-топтарынан тұратын үлестер жиынтығына ие, ал G-нің қасиеттері оның шекті үлестерінің қасиеттеріне көшеді.
are compatible with this structure, that is, they are continuous, smooth or regular (in the sense of algebraic geometry) maps, then G is a topological group, a Lie group, or an algebraic group. The presence of extra structure relates these types of groups with other mathematical disciplines and means that more tools are available in their study. Topological groups form a natural domain for abstract harmonic analysis, whereas Lie groups (frequently realized as transformation groups) are the mainstays of differential geometry and unitary representation theory. Certain classification questions that cannot be solved in general can be approached and resolved for special subclasses of groups. Thus, compact connected Lie groups have been completely classified. There is a fruitful relation between infinite abstract groups and topological groups: whenever a group Γ can be realized as a lattice in a topological group G, the geometry and analysis pertaining to G yield important results about Γ. A comparatively recent trend in the theory of finite groups exploits their connections with compact topological groups (profinite groups): for example, a single p adic analytic group G has a family of quotients which are finite p groups of various orders, and properties of G translate into the properties of its finite quotients.
Топтардың өкілдері
G тобы X жиынтығында әрекет етеді деу, G-нің әрбір элементі X жиынтығында топ құрылымымен сәйкес келетін биективті бейнелеуді анықтайды дегенді білдіреді. Егер X-тің құрылымы күрделірек болса, бұл ұғымды тағы да шектеуге болады: G-нің V векторлық кеңістігіндегі бейнелеуі – V-нің топтық гомоморфизмі: мұнда GL(V) V-нің инверттік сызықтық түрлендірулерінен тұрады. Басқаша айтқанда, әрбір топ элементі g үшін, 1=ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh) шарты орындалатындай, ρ(g) автоматты бейнелеуі беріледі, мұндағы h – G тобының кез келген элементі. Бұл анықтаманы екі тұрғыдан қарастыруға болады, және екеуі де математиканың жаңа салаларын тудырады. Біріншіден, ол G тобы туралы жаңа мәліметтер бере алады: көбінесе G тобындағы топтық операция абстрактілі түрде беріледі, бірақ ρ арқылы ол матрицалардың көбейтуіне сәйкес келеді, бұл өте нақты. Екіншіден, егер күрделі объектіге жақсы түсінікті топ әсер етсе, онда бұл объектіні зерттеуді жеңілдетеді. Мысалы, егер G шекті болса, онда жоғарыда аталған V кеңістігі өзгермейтін бөліктерге жіктеледі (Машке теоремасын қараңыз). Бұл бөліктерді V-ге қарағанда басқару оңайырақ (Шур леммасы бойынша). G тобы берілген жағдайда, бейнелеу теориясы G-нің қандай бейнелеулері бар екенін сұрайды. Бірнеше жағдай бар, және қолданылатын әдістер мен алынатын нәтижелер әр жағдайда өзгеше: шекті топтардың бейнелеу теориясы және Ли топтарының бейнелеулері – теорияның екі негізгі саласы. Бейнелеулердің жиынтығы топтың кейіпкерлерімен анықталады. Мысалы, Фурье көпмүшелерін U(1) тобының, яғни абсолюттік шамасы 1-ге тең кешенді сандар тобының, периодтық функциялардың L2 кеңістігіндегі әрекетінің кейіпкерлері ретінде қарастыруға болады.
where GL(V) consists of the invertible linear transformations of V. In other words, to every group element g is assigned an automorphism ρ(g) such that 1=ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh) for any h in G.
This definition can be understood in two directions, both of which give rise to whole new domains of mathematics. On the one hand, it may yield new information about the group G: often, the group operation in G is abstractly given, but via ρ, it corresponds to the multiplication of matrices, which is very explicit. On the other hand, given a well understood group acting on a complicated object, this simplifies the study of the object in question. For example, if G is finite, it is known that V above decomposes into irreducible parts (see Maschke's theorem). These parts, in turn, are much more easily manageable than the whole V (via Schur's lemma). Given a group G, representation theory then asks what representations of G exist. There are several settings, and the employed methods and obtained results are rather different in every case: representation theory of finite groups and representations of Lie groups are two main subdomains of the theory. The totality of representations is governed by the group's characters. For example, Fourier polynomials can be interpreted as the characters of U(1), the group of complex numbers of absolute value 1, acting on the L2 space of periodic functions.
Жалғандық теориясы
Ли тобы — топ операциялары тегіс құрылыммен үйлесімді болатын, сонымен қатар дифференциалданатын көптегі болып табылатын топ. Ли топтары үздіксіз түрлендіру топтары теориясының негізін салған Софус Ли есімімен аталады. «Groupes de Lie» термині алғаш рет 1893 жылы Лидің шәкірті Артур Тресстің диссертациясында француз тілінде, 3-бетте пайда болды. Ли топтары математикалық объектілер мен құрылымдардың үздіксіз симметриясы теориясының ең жақсы дамыған түрін көрсетеді, бұл оларды қазіргі заманғы математиканың көптеген салаларында, сондай-ақ қазіргі теориялық физикадағы маңызды құралға айналдырады. Олар дифференциалдық теңдеулердің үздіксіз симметрияларын талдау үшін табиғи аязда ұсынады (дифференциалдық Галуа теориясы), дәл сияқты, Галуа теориясында алгебралық теңдеулердің дискретті симметрияларын талдау үшін ауыстыру топтары қолданылады. Лидің басты мақсатының бірі Галуа теориясын үздіксіз симметрия топтарына кеңейту болды.
Комбинаторлық және геометриялық топтар теориясы
Топтарды әртүрлі сипаттауға болады. Шектеулі топтарды барлық мүмкін g • h көбейтулерінен тұратын топтық кесте жазу арқылы сипаттауға болады. Топты анықтаудың тағы бір ықшамдатылған жолы – генераторлар мен қатынастар арқылы, сондай-ақ топтың ұсынылуы деп аталады. Кез келген F генераторлар жиыны берілгенде, F арқылы құрылған еркін топ G тобына проекцияланады. Бұл бейнелеудің ядросы кейбір D ішкі жиынтығымен анықталатын қатынастардың кіші тобы деп аталады. Комбинаторлық топтар теориясы топтарды генераторлар мен қатынастар тұрғысынан зерттейді. Бұл әсіресе шектілік шарттары орындалған жағдайларда тиімді, мысалы, шекті түрде құрылған топтар немесе шекті түрде ұсынылған топтар (яғни, қатынастар да шекті). Бұл сала графиктердің түбірлік топтары арқылы байланысын пайдаланады. Мысалы, еркін топтың кез келген кіші тобы еркін екенін көрсетуге болады. Топты оның ұсынылысы арқылы беруден туындайтын бірнеше табиғи сұрақтар бар. Сөз мәселесі екі сөздің бірдей топ элементі болып табысатынын анықтауға қатысты. Бұл мәселені Тьюринг машиналарын пайдаланып қарастыра отырып, оны шешуге арналған алгоритмнің жоқтығын көрсетуге болады. Тағы бір, көбінесе қиын, алгоритмдік тұрғыдан шешілмейтін мәселе – топтық изоморфизм мәселесі, ол әртүрлі ұсыныстармен берілген екі топтың шын мәнінде изоморфты екенін сұрайды. Мысалы, ұсынылысы берілген топ бүтін сандардың Z тобына изоморфты, бірақ бұл бірден көрінбеуі мүмкін. Геометриялық топтар теориясы осы мәселелерге геометриялық тұрғыдан, яғни топтарды геометриялық нысандар ретінде қарастыру арқылы немесе топтың әрекет ететін геометриялық нысандарды табу арқылы шабуыл жасайды. Бірінші идея Кейли графигі арқылы нақтыланады, оның төбелері топ элементтеріне сәйкес келеді, ал қабырғалары топтағы оң жақ көбейтуге сәйкес келеді. Екі элемент берілгенде, элементтер арасындағы ең қысқа жолдың ұзындығымен анықталатын сөз метрикасы құрастырылады. Милнор мен Сварц теоремасы, егер G тобы X метрикалық кеңістігінде ақылға қонымды әрекет етсе, мысалы, компактты көпқырлы, онда G кеңістік X-ке квазиизометриялық (яғни, алыстан қарағанда ұқсас) екенін айтады.
Geometric group theory attacks these problems from a geometric viewpoint, either by viewing groups as geometric objects, or by finding suitable geometric objects a group acts on. The first idea is made precise by means of the Cayley graph, whose vertices correspond to group elements and edges correspond to right multiplication in the group. Given two elements, one constructs the word metric given by the length of the minimal path between the elements. A theorem of Milnor and Svarc then says that given a group G acting in a reasonable manner on a metric space X, for example a compact manifold, then G is quasi isometric (i. e. looks similar from a distance) to the space X.
Топтардың байланысы және симметрия
Кез келген X құрылымды объектіні қарастыра отырып, симметрия – объектінің құрылымын сақтайтын, өзіне айналдыру. Бұл көптеген жағдайларда кездеседі, мысалы, егер X қосымша құрылымы жоқ жиын болса, симметрия – жиынның өзіне биективті бейнелеуі болып табылады, бұл пермутациялық топтарды тудырады. Егер X объектісі – өзінің метрикалық құрылымымен немесе кез келген басқа метрикалық кеңістіктегі жазықтықтағы нүктелер жиыны болса, симметрия – бұл әрбір екі нүкте арасындағы қашықтықты сақтайтын жиынның өзіне биекциясы (изометрия). Сәйкес келетін топ – X-тің изометриялық тобы деп аталады. Егер бұрыштар сақталса, онда конформдық бейнелеулер туралы айтылады. Конформдық бейнелеулер, мысалы, Клейн тоptарын тудырады. Симметриялар геометриялық объектілермен ғана шектелмейді, сонымен қатар алгебралық объектілерді де қамтиды. Мысалы, теңдеудің екі түбірі бар және осы жағдайда екі түбірді ауыстыратын топ – теңдеуге тиесілі Галуа тобы болып табылады. Бір айнымалыдағы кез келген полиномдық теңдеуде Галуа тобы болады, яғни оның түбірлерінде белгілі бір пермутациялық топ болады. Топ аксиомалары симметрияның маңызды аспектілерін формалдайды. Симметриялар топты құрайды: олар жабық, себебі егер сіз бір объектінің симметриясын алып, содан кейін тағы бір симметрияны қолдансаңыз, нәтижесі де симметрия болады. Объектіні өзгеріссіз қалдыратын сәйкестік – әрқашан объектінің симметриясы болып табылады. Симметрияны кері қайтару арқылы кері шамалардың болуы кепілдендіріледі, ал ассоциативтілік симметриялар кеңістіктегі функциялар екендігінен және функциялар композициясы ассоциативті екендігінен туындайды. Фрухт теоремасы бойынша, әрбір топ – қандай да бір графтың симметрия тобы болып табылады. Сондықтан, әрбір абстракт тоptа нақты бір объектінің симметриясы болып табылады. Объектінің "құрылымын сақтау" деген ұғымды санатта жұмыс істеу арқылы дәлдеуге болады. Құрылымды сақтайтын бейнелеулер – морфизмдер, ал симметрия тобы – қарастырылып отырған объектінің автоморфизм тобы болып табылады.
If X is a set with no additional structure, a symmetry is a bijective map from the set to itself, giving rise to permutation groups. If the object X is a set of points in the plane with its metric structure or any other metric space, a symmetry is a bijection of the set to itself which preserves the distance between each pair of points (an isometry). The corresponding group is called isometry group of X. If instead angles are preserved, one speaks of conformal maps. Conformal maps give rise to Kleinian groups, for example. Symmetries are not restricted to geometrical objects, but include algebraic objects as well. For instance, the equation has the two solutions and In this case, the group that exchanges the two roots is the Galois group belonging to the equation. Every polynomial equation in one variable has a Galois group, that is a certain permutation group on its roots. The axioms of a group formalize the essential aspects of symmetry. Symmetries form a group: they are closed because if you take a symmetry of an object, and then apply another symmetry, the result will still be a symmetry. The identity keeping the object fixed is always a symmetry of an object. Existence of inverses is guaranteed by undoing the symmetry and the associativity comes from the fact that symmetries are functions on a space, and composition of functions is associative. Frucht's theorem says that every group is the symmetry group of some graph. So every abstract group is actually the symmetries of some explicit object. The saying of "preserving the structure" of an object can be made precise by working in a category. Maps preserving the structure are then the morphisms, and the symmetry group is the automorphism group of the object in question.
Топтар теориясының қолданылуы
Топ теориясының қолданылу аясы кең. Абстракті алгебрадағы дерлік барлық құрылымдар топтардың ерекше жағдайлары болып табылады. Мысалы, сақиналарды қосуға сәйкес абельдік топтар және көбейтуге сәйкес екінші операция ретінде қарастыруға болады. Сондықтан, топтық теориялық дәлелдер осы нысандар теориясының үлкен бөлігіне негіз болады.
Галуа теориясы
Галуа теориясы полиномиал түбірлерінің симметриясын (немесе дәлірек айтқанда, осы түбірлер жасаған алгебралардың автоморфизмдерін) сипаттау үшін топтарды қолданады. Галуа теориясының негізгі теоремасы алгебралық кеңейтімдер мен топтар теориясы арасындағы байланысты қамтамасыз етеді. Ол тиісті Галуа тобының шешілуі арқылы полиномиал теңдеулерінің шешілуі үшін тиімді критерий ұсынады. Мысалы, 5 элементтен тұратын S5 симметриялық тобы шешілмейді, бұл жалпы бесінші дәрежелі теңдеуді төменгі дәрежелі теңдеулер сияқты радикалдар арқылы шешуге болмайтынын көрсетеді. Топтар теориясының тарихи бастауларының бірі бола отырып, бұл теория сыныптық денелер теориясы сияқты салаларда жаңа нәтижелер алу үшін әлі де жемісті қолданылуда.
Алгебралық топология
Алгебралық топология – теория қызығушылық танытатын объектілерге топтарды ерекше байланыстыратын тағы бір сала. Мұнда топтар топологиялық кеңістіктердің белгілі бір инварианттарын сипаттау үшін қолданылады. Олар "инварианттар" деп аталады, себебі олар кеңістікке қандай да бір деформация қолданылса, өзгермейді. Мысалы, фундаментал топ кеңістіктегі неғұрлым маңызды түрде әртүрлі жолдардың санын "санайды". Григорий Перельман 2002/2003 жылдары дәлелдеген Пуанкаре болжамы осы идеяның маңызды қолданылуы болып табылады. Дегенмен, бұл ықпал бір жақты ғана емес. Мысалы, алгебралық топология белгілі гомотопиялық топтары бар Эйленберг-Маклейн кеңістіктерін пайдаланады. Сол сияқты, алгебралық K-теория топтардың жіктеу кеңістіктеріне белгілі бір дәрежеде сүйенеді. Соңында, шексіз топтың торсиялық кіші тобының атауы топтар теориясындағы топологияның қалдырған мұрасын көрсетеді.
Алгебралық геометрия
Алгебралық геометрия да топ теориясын көптеген жолдармен қолданады. Абельдік сорттар жоғарыда таныстырылды. Топтық операцияның болуы қосымша мәліметтер береді, бұл осы сорттарды ерекше зерттеуге ыңғайлы етеді. Олар жиі жаңа болжамдарды сынау үшін де пайдаланылады. (Мысалы, Ходж болжамы (кейбір жағдайларда).) Бір өлшемді жағдай, яғни эллиптік қисықтар, ерекше мұқият зерттеледі. Олар теориялық және қолданбалық тұрғыдан да қызығушылық тудырады. Басқа бір бағытта, торикалық сорттар – торус әрекет ететін алгебралық сорттар. Тороидтық енгізулер соңғы кезде алгебралық геометрияда, әсіресе сингулярлықтарды шешуде үлкен жетістіктерге алып келді.
Алгебралық сандар теориясы
Алгебралық сандар теориясы кейбір маңызды қолданбалар үшін топтарды қолданады. Мысалы, Эйлердің көбейтінді формуласы,
әрбір бүтін санның жай сандарға бірегей түрде жіктелуін көрсетеді. Бұл тұжырымның көбірек жалпы сақиналар үшін орындалмауы класс топтары мен реттелген жай сандарға әкеледі, олар Кумердің Ферманың соңғы теоремасын зерттеуінде маңызды рөл атқарады.
Гармониялық талдау
Ли тобы және басқа да кейбір топтарды талдау гармониялық талдау деп аталады. Хаар өлшемдері, яғни Ли тобындағы жылжуға қатысты өзгермейтін интегралдар, үлгіні тану және басқа да кескіндерді өңдеу техникаларында қолданылады.
Комбинаторлық
Комбинаторикада пермутациялық топтар және топтық әрекеттер ұғымдары жиын құрамындағы объектілерді санауды жеңілдету үшін жиі қолданылады; әсіресе Бернсайд леммасына назар аударыңыз.
Музыка
Бесіншілік шеңберіндегі 12-ші периодтың болуы музыкалық жиын теориясында элементарлық топтар теориясының қолданылуына мүмкіндік береді. Трансформациялық теория музыкалық өзгерістерді математикалық топтың элементтері арқылы модельдейді.
Физика
Физикада топтар маңызды, себебі олар физика заңдары бағынатын симметрияларды сипаттайды. Ноэтер теоремасына сәйкес, физикалық жүйенің кез келген үздіксіз симметриясы жүйенің сақталу заңымен байланысты. Физиктер топтық өрнектемелерге, әсіресе Ли топтарына ерекше қызығушылық танытады, өйткені осы өрнектемелер көбінесе "мүмкін" физикалық теорияларға бағыт көрсетеді. Физикада топтарды қолданудың мысалдарына Стандартты модель, өріс теориясы, Лоренц тобы және Пуанкаре тобы жатады. Топтар теориясы Уилард Гиббс жасаған механиканың статистикалық түсіндірмелерінің толық еместігін шешуге қолданылуы мүмкін, бұл мағыналы шешім алу үшін шексіз көп мүмкіндіктерді қосумен байланысты.
Химия және материалдар ғылымдары
Химия және материалтануда нүктелік топтар тұрақты көпжақтарды жіктеу үшін, ал молекулалардың симметриясын және кристалдық құрылымдарды жіктеу үшін кеңістіктік топтар қолданылады. Белгіленген топтар физикалық қасиеттерді (мысалы, химиялық полярлық және хиральдылық), спектроскопиялық қасиеттерді (әсіресе Раман спектроскопиясы, инфрақызыл спектроскопиясы, айналмалы дихроизм спектроскопиясы, магниттік айналмалы дихроизм спектроскопиясы, УФ/Вис спектроскопиясы және флуоресценция спектроскопиясы үшін пайдалы) анықтау және молекулалық орбитальдарды құру үшін пайдаланылуы мүмкін. Молекулалық симметрия қосылыстардың көптеген физикалық және спектроскопиялық қасиеттеріне жауап береді және химиялық реакциялардың қалай жүзеге асырылатыны туралы маңызды ақпарат береді. Кез келген молекулаға нүктелік топты тағайындау үшін, оған тән симметриялық операциялар жиынтығын анықтау қажет. Симметриялық операция – бұл оське айналу немесе айна жазықтығы арқылы шағылысу сияқты әрекет. Басқаша айтқанда, бұл молекуланы бастапқы конфигурациядан ажыратуға болмайтын етіп өзгертетін операция. Топтар теориясында айналу осьтері мен айна жазықтықтары «симметрия элементтері» деп аталады. Бұл элементтер симметриялық операция жүргізілетін нүкте, түзу немесе жазықтық болуы мүмкін. Молекуланың симметриялық операциялары осы молекуланың нақты нүктелік тобын анықтайды. Химияда симметрияның бес маңызды операциясы бар: сәйкестік операциясы (E), айналу операциясы немесе толық айналу (Cn), шағылысу операциясы (σ), инверсия (i) және айналу-шағылысу операциясы немесе бұрылмалы айналу (Sn). Сәйкестік операциясы (E) молекуланы өзгеріссіз қалдырудан тұрады. Бұл кез келген осьтің айналымындағы толық айналудың кез келген санымен тең. Бұл барлық молекулалардың симметриясы, ал хиральды молекуланың симметрия тобы тек сәйкестік операциясынан тұрады. Сәйкестік операциясы – симметриясы болмаса да, әрбір молекуланың ерекшелігі. Айналу (Cn) молекуланың белгілі бір осьтің бойында белгілі бір бұрышқа айналуын білдіреді. Бұл 360°/n бұрышына айналу, мұнда n – бүтін сан. Мысалы, егер су молекуласы оттек атомы мен сутек атомдарының арасынан өтетін осьтің бойында 180° айналса, ол бастапқы конфигурациясында болады. Бұл жағдайда 1=n=2, себебі оны екі рет қолдану сәйкестік операциясын тудырады. Бірнеше айналу осьтері бар молекулаларда n-нің ең үлкен мәніне ие Cn осі – жоғары реттік айналу осі немесе басты ось. Мысалы, бор трифторидінде (BF3) айналу осьінің ең жоғары реті C3 болып табылады, сондықтан басты ось C3 болып табылады. Шағылысу операциясында (σ) көптеген молекулалардың айна жазықтықтары болады, бірақ олар көзге көрінбеуі мүмкін. Шағылысу операциясы оң және сол жақтарды алмастырады, әрбір нүкте жазықтыққа перпендикуляр қозғалғандай және бастапқы орнынан дәл сол қашықтықтағы жаңа позицияға жеткендей. Егер жазықтық басты айналу осіне перпендикуляр болса, онда ол σh (көлденең) деп аталады. Басты айналу осін қамтитын басқа жазықтықтар тік (σv) немесе диэдрлі (σd) деп белгіленеді. Инверсия (i) – күрделірек операция. Әрбір нүкте молекуланың ортасынан өтіп, бастапқы орнына қарама-қарсы және орталық нүктеден бастапқы орнына дейінгідей алыс жаңа позицияға жетеді. Бірінші көріністе инверсиялық ортасы бар сияқты көрінетін көптеген молекулалардың инверсиялық симметриясы жоқ; мысалы, метан және басқа тетраэдрлі молекулалар. Мұны көру үшін, оң жақта тік жазықтықта екі сутек атомы және сол жақта көлденең жазықтықта екі сутек атомы бар метан моделін ұстаңыз. Инверсия нәтижесінде оң жақта көлденең жазықтықта екі сутек атомы және сол жақта тік жазықтықта екі сутек атомы пайда болады. Сондықтан инверсия метан үшін симметриялық операция емес, өйткені инверсия операциясынан кейін молекуланың бағдары бастапқы бағдарынан өзгеше. Соңғы операция – бұрылмалы айналу немесе айналу-шағылысу операциясы (Sn) – 360°/n айналудан және содан кейін айналу осіне перпендикуляр жазықтық арқылы шағылысудан тұрады.
Криптография
Эллиптік қисық криптографиясында құрылған үлкен бірінші реттік топтар ашық кілт криптографиясында қолданылады. Мұндай криптографиялық әдістер геометриялық нысандардың икемділігінен, демек олардың топтық құрылымдарынан, сондай-ақ осы топтардың күрделі құрылымынан пайда көреді, бұл дискретті логарифмді есептеуді өте қиын жасайды. Цезарь шифры сияқты ең алғашқы шифрлау протоколдары да (өте қарапайым) топтық операция ретінде қарастырылуы мүмкін. Көптеген криптографиялық схемалар қандай да бір жолмен топтарды қолданады. Атап айтқанда, Diffie–Hellman кілт алмасуында шекті циклдік топтар пайдаланылады. Сондықтан, топқа негізделген криптография термині көбінесе шексіз абельдік емес топтарды, мысалы, өрім топтарын пайдаланатын криптографиялық протоколдарды білдіреді.