Введение

Отрасль математики, изучающая свойства групп.

Теория групп в социальных науках.

В абстрактной алгебре теория групп изучает алгебраические структуры, известные как группы. Понятие группы является центральным в абстрактной алгебре: другие известные алгебраические структуры, такие как кольца, поля и векторные пространства, можно рассматривать как группы, снабженные дополнительными операциями и аксиомами. Группы встречаются повсеместно в математике, а методы теории групп оказали влияние на многие разделы алгебры. Линейные алгебраические группы и группы Ли – две ветви теории групп, которые получили значительное развитие и стали самостоятельными областями исследований. Различные физические системы, такие как кристаллы и атом водорода, а также три из четырех известных фундаментальных сил во Вселенной, могут быть смоделированы группами симметрий. Таким образом, теория групп и тесно связанная с ней теория представлений имеют множество важных применений в физике, химии и материаловедении. Теория групп также играет центральную роль в криптографии с открытым ключом. Ранняя история теории групп восходит к XIX веку. Одним из важнейших математических достижений XX века стала совместная работа, занимающая более 10 000 страниц журналов и опубликованная преимущественно в период с 1960 по 2004 год, которая завершилась полной классификацией конечных простых групп.

История

Теория групп имеет три основных исторических источника: теория чисел, теория алгебраических уравнений и геометрия. Начало теории чисел, связанное с группами, положил Леонард Эйлер, а развитие она получила в работах Гаусса по модульной арифметике и аддитивным и мультипликативным группам, связанным с квадратичными полями. Первые результаты о группах перестановок были получены Лагранжем, Руффини и Абелем в их стремлении найти общие решения полиномиальных уравнений высокой степени. Эварист Галуа ввёл термин "группа" и установил связь, ныне известную как теория Галуа, между зарождающейся теорией групп и теорией полей. В геометрии группы впервые приобрели значение в проективной геометрии, а затем и в неевклидовой геометрии. Эрлангенская программа Феликса Клейна провозгласила теорию групп организующим принципом геометрии. Галуа в 1830-х годах первым применил группы для определения разрешимости полиномиальных уравнений. Артур Кейли и Огюстен Луи Коши углубили эти исследования, создав теорию групп перестановок. Второй исторический источник теории групп связан с геометрическими задачами. В попытке исследовать возможные геометрии (такие как евклидова, гиперболическая или проективная геометрия) с использованием теории групп, Феликс Клейн инициировал эрлангенскую программу. Софус Ли в 1884 году начал использовать группы (теперь известные как группы Ли), связанные с аналитическими задачами. Наконец, группы использовались сначала неявно, а затем и явно в алгебраической теории чисел. Различный охват этих ранних источников привёл к различным представлениям о группах. Унификация теории групп началась примерно в 1880 году. С тех пор влияние теории групп неуклонно росло, что привело к возникновению абстрактной алгебры в начале XX века, теории представлений и многих других влиятельных смежных областей. Классификация конечных простых групп – это масштабный труд середины XX века, классифицирующий все конечные простые группы.

Основные категории групп

Диапазон рассматриваемых групп постепенно расширился от конечных групп перестановок и отдельных примеров матричных групп до абстрактных групп, которые могут быть заданы посредством представления генераторами и соотношениями.

Пермутационные группы

Первым классом групп, подвергшихся систематическому изучению, были группы перестановок. Для любого множества X и коллекции G биекций X на себя (известных как перестановки), замкнутой относительно композиции и взятия обратных, G является группой, действующей на X. Если X состоит из n элементов, а G состоит из всех перестановок, то G является симметрической группой Sn; в общем случае, любая группа перестановок G является подгруппой симметрической группы над X. Ранняя конструкция, предложенная Кэли, показала, что любую группу можно представить как группу перестановок, действующую на себя (1=X = G) посредством левого регулярного представления. Во многих случаях структуру группы перестановок можно изучать, используя свойства её действия на соответствующем множестве. Например, таким образом доказывается, что для n ≥ 5, чередующаяся группа An является простой, то есть не имеет собственных нормальных подгрупп. Этот факт играет ключевую роль в невозможности решения общего алгебраического уравнения степени n ≥ 5 в радикалах.

Матричные группы

Следующий важный класс групп задается матричными группами, или линейными группами. Здесь G – это множество, состоящее из невырожденных (обратимых) матриц заданного порядка n над полем K, которое замкнуто относительно умножения и взятия обратных матриц. Такая группа действует на n-мерное векторное пространство Kⁿ линейными преобразованиями. Это действие делает матричные группы концептуально схожими с группами перестановок, и геометрия этого действия может быть эффективно использована для установления свойств группы G.

Группы преобразования

Пермутационные группы и матричные группы являются частными случаями групп преобразований: групп, действующих на некоторое пространство X, сохраняя его внутреннюю структуру. В случае групп перестановок X является множеством, а для матричных групп – векторным пространством. Понятие группы преобразований тесно связано с понятием группы симметрий: группы преобразований часто состоят из всех преобразований, сохраняющих некоторую структуру. Теория групп преобразований служит связующим звеном между теорией групп и дифференциальной геометрией. Длительная линия исследований, начатая Ли и Клейном, посвящена изучению групповых действий на многообразиях посредством гомеоморфизмов или диффеоморфизмов. Сами группы могут быть дискретными или непрерывными.

Абстрактные группы

Большинство групп, рассматриваемых на первом этапе развития теории групп, были «конкретными», поскольку были реализованы посредством чисел, перестановок или матриц. Идея абстрактной группы начала укореняться лишь в конце девятнадцатого века, где «абстрактный» означает, что природа элементов игнорируется таким образом, что две изоморфные группы считаются одной и той же группой. Типичный способ задания абстрактной группы – представление с помощью образующих и соотношений.

Важным источником абстрактных групп является построение факторгруппы, или частного от деления, G/H группы G по нормальной подгруппе H. Классовые группы алгебраических числовых полей были одними из первых примеров факторгрупп, представляющих большой интерес в теории чисел. Если группа G является группой перестановок на множестве X, то факторгруппа G/H перестаёт действовать на X; однако идея абстрактной группы позволяет не учитывать это расхождение. Переход от рассмотрения конкретных групп к абстрактным делает естественным изучение свойств групп, не зависящих от конкретной реализации, или, современным языком, инвариантных относительно изоморфизма, а также классов групп, обладающих данным свойством: конечных групп, периодических групп, простых групп, разрешимых групп и так далее. Вместо исследования свойств отдельной группы, стремятся установить результаты, применимые ко всему классу групп. Эта новая парадигма имела первостепенное значение для развития математики, предвосхитив создание абстрактной алгебры в трудах Гильберта, Эмиля Артина, Эмми Нётер и математиков их школы.

Группы с дополнительной структурой

Важная разработка концепции группы происходит, если G наделена дополнительной структурой, в частности, топологическим пространством, дифференцируемым многообразием или алгебраическим многообразием. Если групповые операции m (умножение) и i (инверсия) согласованы с этой структурой, то есть они являются непрерывными, гладкими или регулярными (в смысле алгебраической геометрии) отображениями, то G является топологической группой, группой Ли или алгебраической группой. Наличие дополнительной структуры связывает эти типы групп с другими математическими дисциплинами и означает, что для их изучения доступно больше средств. Топологические группы образуют естественную область для абстрактного гармонического анализа, в то время как группы Ли (часто реализуемые как группы преобразований) являются основой дифференциальной геометрии и теории унитарных представлений. Определенные вопросы классификации, которые не могут быть решены в общем случае, могут быть рассмотрены и решены для специальных подклассов групп. Так, компактные связные группы Ли были полностью классифицированы. Существует плодотворная связь между бесконечными абстрактными группами и топологическими группами: всякий раз, когда группа Γ может быть реализована как решетка в топологической группе G, геометрия и анализ, относящиеся к G, дают важные результаты о Γ. Относительно недавнее направление в теории конечных групп использует их связи с компактными топологическими группами (проконечными группами): например, одна p-адическая аналитическая группа G имеет семейство факторгрупп, которые являются конечными p-группами различных порядков, и свойства G переносятся на свойства ее конечных факторгрупп.

Представление групп

Говоря, что группа G действует на множестве X, означает, что каждый элемент G определяет биективное отображение на множестве X, согласованное со структурой группы. Когда X обладает дополнительной структурой, полезно сузить это понятие: представление G на векторном пространстве V – это групповой гомоморфизм:

где GL(V) состоит из обратимых линейных преобразований V. Иными словами, каждому элементу группы g сопоставляется автоморфизм ρ(g) такой, что ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh) для любого h из G.

Это определение можно рассматривать в двух направлениях, каждое из которых порождает новые области математики. С одной стороны, оно может дать новую информацию о группе G: часто групповая операция в G задается абстрактно, но посредством ρ она соответствует умножению матриц, что является вполне конкретным. С другой стороны, если известна группа, действующая на сложный объект, это упрощает изучение самого объекта. Например, если G конечна, то известно, что V выше разлагается на неприводимые составляющие (см. теорему Машке). Эти составляющие, в свою очередь, гораздо легче поддаются анализу, чем все V целиком (благодаря лемме Шура). Таким образом, теория представлений, при заданной группе G, изучает, какие представления G существуют. Существуют различные варианты, и используемые методы и полученные результаты существенно различаются в каждом случае: теория представлений конечных групп и представления групп Ли – две основные подраздела теории. Совокупность представлений определяется характерами группы. Например, полиномы Фурье можно интерпретировать как характеры U(1), группы комплексных чисел с абсолютной величиной 1, действующих на пространство L2 периодических функций.

Теория лжи

Группа Ли — это группа, которая также является дифференцируемым многообразием, обладающая свойством согласованности операций группы с гладкой структурой. Группы Ли названы в честь Софуса Ли, который заложил основы теории непрерывных групп преобразований. Термин «groupes de Lie» впервые появился на французском языке в 1893 году в диссертации Артура Тресса, ученика Ли, на странице 3. Группы Ли представляют собой наиболее разработанную теорию непрерывной симметрии математических объектов и структур, что делает их незаменимым инструментом во многих областях современной математики, а также в современной теоретической физике. Они предоставляют естественную основу для анализа непрерывных симметрий дифференциальных уравнений (дифференциальная теория Галуа), подобно тому, как группы перестановок используются в теории Галуа для анализа дискретных симметрий алгебраических уравнений. Расширение теории Галуа на случай непрерывных групп симметрии было одной из главных целей, которые ставил перед собой Ли.

Комбинаторная и геометрическая теория групп

Группы можно описать разными способами. Конечные группы можно описать, записав таблицу группы, состоящую из всех возможных умножений g • h. Более компактный способ определения группы – генераторы и отношения, также называемые представлением группы. Для любого множества генераторов F свободная группа, порожденная F, сюръективно отображается на группу G. Ядро этого отображения называется подгруппой отношений, порожденной некоторым подмножеством D. Представление обычно обозначается как . Например, представление группы описывает группу, изоморфную . Строка, состоящая из символов генераторов и их обратных, называется словом. Комбинаторная теория групп изучает группы с точки зрения генераторов и отношений. Это особенно полезно, когда выполняются предположения о конечности, например, конечно порожденные группы или конечно представленные группы (то есть, кроме того, число отношений конечно). В этой области используется связь графов через их фундаментальные группы. Например, можно показать, что каждая подгруппа свободной группы свободна. При задании группы ее представлением возникает несколько естественных вопросов. Задача о слове спрашивает, являются ли два слова фактически одним и тем же элементом группы. Установив связь между этой задачей и машинами Тьюринга, можно показать, что в общем случае не существует алгоритма для ее решения. Другая, как правило, более сложная и алгоритмически неразрешимая задача – это задача об изоморфизме групп, которая спрашивает, являются ли две группы, заданные разными представлениями, на самом деле изоморфными. Например, группа с представлением изоморфна аддитивной группе Z целых чисел, хотя это может быть не сразу очевидно. (Записывая , получаем ).

Геометрическая теория групп рассматривает эти проблемы с геометрической точки зрения, либо рассматривая группы как геометрические объекты, либо находя подходящие геометрические объекты, на которых группа действует. Первая идея уточняется с помощью графа Кейли, вершины которого соответствуют элементам группы, а ребра – правому умножению в группе. Для двух заданных элементов можно построить метрику слова, определяемую как длина минимального пути между этими элементами. Теорема Милнора и Сварца утверждает, что если группа G действует разумным образом на метрическом пространстве X, например, на компактном многообразии, то G квазиизометрична (то есть, выглядит схожей при большом расстоянии) пространству X.

Связь групп и симметрия

При наличии структурированного объекта X любого рода, симметрия представляет собой отображение объекта на себя, сохраняющее структуру. Это встречается во многих случаях, например, если X – множество без дополнительной структуры, то симметрией является биективное отображение множества на себя, порождающее группы перестановок. Если объект X представляет собой множество точек на плоскости с его метрической структурой или любым другим метрическим пространством, то симметрией является биекция множества на себя, сохраняющая расстояние между каждой парой точек (изометрия). Соответствующая группа называется группой изометрий X. Если же сохраняются углы, то говорят о конформных отображениях. Конформные отображения порождают, например, группы Клейна. Симметрии не ограничиваются геометрическими объектами, но включают в себя и алгебраические объекты. Например, уравнение имеет два решения: и . В этом случае группа, переставляющая эти два корня, является группой Галуа, соответствующей данному уравнению. Каждое полиномиальное уравнение с одной переменной имеет группу Галуа, то есть некоторую группу перестановок на своих корнях. Аксиомы группы формализуют существенные аспекты симметрии. Симметрии образуют группу: они замкнуты, поскольку если взять симметрию объекта и затем применить другую симметрию, то результат также будет симметрией. Тождественное отображение, оставляющее объект неизменным, всегда является симметрией объекта. Существование обратных элементов гарантируется обратимостью симметрии, а ассоциативность следует из того, что симметрии являются функциями на пространстве, а композиция функций ассоциативна. Теорема Фрухта утверждает, что любая группа является группой симметрии некоторого графа. Таким образом, любая абстрактная группа на самом деле является симметриями некоторого конкретного объекта. Утверждение о "сохранении структуры" объекта можно сделать более точным, работая в рамках теории категорий. Отображения, сохраняющие структуру, являются морфизмами, а группа симметрии – группой автоморфизмов рассматриваемого объекта.

Применение теории групп

Применений теории групп множество. Почти все структуры в абстрактной алгебре являются частными случаями групп. Например, кольца можно рассматривать как абелевы группы, соответствующие операции сложения, вместе со второй операцией, соответствующей умножению. Следовательно, аргументы теории групп составляют основу значительной части теории этих объектов.

Теория Галуа

Теория Галуа использует группы для описания симметрий корней полинома (или, точнее, автоморфизмов алгебр, порожденных этими корнями). Фундаментальная теорема теории Галуа устанавливает связь между алгебраическими расширениями поля и теорией групп. Она предоставляет эффективный критерий разрешимости полиномиальных уравнений в терминах разрешимости соответствующей группы Галуа. Например, S5, симметрическая группа из 5 элементов, не является разрешимой, что означает, что общее уравнение пятой степени не может быть решено в радикалах, как уравнения меньшей степени. Эта теория, являясь одним из исторических источников теории групп, до сих пор успешно применяется для получения новых результатов в таких областях, как теория полей классов.

Алгебраическая топология

Алгебраическая топология – ещё одна область, которая тесно связывает группы с объектами, представляющими для неё интерес. В ней группы используются для описания определенных инвариантов топологических пространств. Они называются "инвариантами", поскольку определены таким образом, что не меняются при деформации пространства. Например, фундаментальная группа "подсчитывает", сколько по существу различных путей существует в пространстве. Гипотеза Пуанкаре, доказанная в 2002/2003 годах Григорием Перельманом, является ярким примером применения этой идеи. Однако влияние не является односторонним. Например, алгебраическая топология использует пространства Эйленберга — Маклейна, которые представляют собой пространства с заданными гомотопическими группами. Аналогично, алгебраическая K-теория в определенной степени опирается на классифицирующие пространства групп. Наконец, само название торсионной подгруппы бесконечной группы свидетельствует о наследии топологии в теории групп.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия также широко использует теорию групп. Абелевы многообразия были введены выше. Наличие групповой операции предоставляет дополнительную информацию, которая делает эти многообразия особенно удобными для изучения. Они также часто используются в качестве проверки для новых гипотез (например, гипотеза Ходжа в определенных случаях). Случай размерности один, то есть эллиптические кривые, изучается с особой тщательностью. Они представляют интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения. В другом направлении, торические многообразия — это алгебраические многообразия, на которых действует тор. Тороидальные вложения в последнее время привели к прогрессу в алгебраической геометрии, в частности, к разрешению особенностей.

Алгебраическая теория чисел

Алгебраическая теория чисел использует группы для ряда важных приложений. Например, формула произведения Эйлера

отражает тот факт, что любое целое число раскладывается единственным образом на простые множители. Нарушение этого утверждения для более общих колец приводит к возникновению классовых групп и регулярных простых чисел, которые играют важную роль в подходе Куммера к последней теореме Ферма.

Гармонический анализ

Анализ групп Ли и некоторых других групп называется гармоническим анализом. Меры Хаара, то есть интегралы, инвариантные относительно сдвигов в группе Ли, используются в задачах распознавания образов и других методах обработки изображений.

Комбинаторная теория

В комбинаторике понятие группы перестановок и концепция группового действия часто используются для упрощения подсчёта количества объектов; см., в частности, лемму Бернсайда.

Музыка

Наличие 12-точной периодичности в круге квинт позволяет применять элементарную теорию групп в теории музыкальных множеств. Трансформационная теория моделирует музыкальные трансформации как элементы математической группы.

Физика

В физике группы важны, поскольку они описывают симметрии, которым, по-видимому, подчиняются законы физики. Согласно теореме Нётер, каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует закон сохранения. Физики проявляют большой интерес к представлениям групп, особенно к представлениям групп Ли, поскольку эти представления часто указывают на "возможные" физические теории. Примеры использования групп в физике включают Стандартную модель, калибровочную теорию, группу Лоренца и группу Пуанкаре. Теория групп может быть использована для устранения неполноты статистических интерпретаций механики, разработанных Уиллардом Гиббсом, связанных с суммированием бесконечного числа вероятностей для получения осмысленного решения.

Химия и материаловедение

В химии и материаловедении точечные группы используются для классификации правильных многогранников, симметрии молекул, а пространственные группы – для классификации кристаллических структур. Назначенные группы затем могут быть использованы для определения физических свойств (таких как химическая полярность и хиральность), спектроскопических свойств (особенно полезных для рамановской спектроскопии, инфракрасной спектроскопии, спектроскопии кругового дихроизма, спектроскопии магнитного кругового дихроизма, УФ/Vis спектроскопии и флуоресцентной спектроскопии) и для построения молекулярных орбиталей. Молекулярная симметрия определяет многие физические и спектроскопические свойства соединений и предоставляет информацию о механизмах химических реакций. Для присвоения точечной группы молекуле необходимо определить набор присутствующих в ней операций симметрии. Операция симметрии – это преобразование, такое как вращение вокруг оси или отражение в зеркальной плоскости. Иными словами, это преобразование, которое перемещает молекулу таким образом, что она становится неотличимой от исходной конфигурации. В теории групп оси вращения и зеркальные плоскости называются «элементами симметрии». Эти элементы могут быть точкой, линией или плоскостью, относительно которых выполняется операция симметрии. Операции симметрии молекулы определяют её специфическую точечную группу. В химии выделяют пять основных операций симметрии: операция тождества (E), операция вращения или собственное вращение (Cn), операция отражения (σ), инверсия (i) и операция вращения-отражения или несобственное вращение (Sn). Операция тождества (E) заключается в сохранении молекулы без изменений. Это эквивалентно любому числу полных вращений вокруг любой оси. Все молекулы обладают этой симметрией, в то время как группа симметрии хиральной молекулы состоит только из операции тождества. Операция тождества является характеристикой каждой молекулы, даже если она не обладает симметрией. Вращение вокруг оси (Cn) заключается во вращении молекулы вокруг заданной оси на определенный угол, равный 360°/n, где n – целое число, относительно оси вращения. Например, если молекула воды вращается на 180° вокруг оси, проходящей через атом кислорода и между атомами водорода, она возвращается в исходную конфигурацию. В этом случае n = 2, поскольку двойное применение этой операции приводит к операции тождества. В молекулах с несколькими осями вращения ось Cn с наибольшим значением n является осью вращения высшего порядка или главной осью. Например, в трифториде бора (BF3) ось вращения высшего порядка – C3, следовательно, главная ось вращения – C3. Операция отражения (σ) предполагает наличие зеркальных плоскостей во многих молекулах, хотя они не всегда очевидны. Операция отражения меняет местами левое и правое, как если бы каждая точка перемещалась перпендикулярно к плоскости на расстояние, равное её исходному расстоянию от плоскости. Плоскость, перпендикулярная главной оси вращения, называется σh (горизонтальной). Другие плоскости, содержащие главную ось вращения, обозначаются как вертикальные (σv) или диаэдральные (σd). Инверсия (i) – более сложная операция. Каждая точка перемещается через центр молекулы в положение, противоположное исходному, на том же расстоянии от центральной точки. Многие молекулы, кажущиеся на первый взгляд обладающими центром инверсии, на самом деле не обладают им; например, метан и другие тетраэдрические молекулы не имеют инверсионной симметрии. Чтобы убедиться в этом, возьмите модель метана с двумя атомами водорода в вертикальной плоскости справа и двумя атомами водорода в горизонтальной плоскости слева. Инверсия приводит к тому, что два атома водорода оказываются в горизонтальной плоскости справа и два атома водорода – в вертикальной плоскости слева. Следовательно, инверсия не является операцией симметрии метана, поскольку ориентация молекулы после инверсии отличается от исходной ориентации. И последняя операция – несобственное вращение или вращение-отражение (Sn) – требует вращения на 360°/n с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Криптография

Очень большие группы простого порядка, используемые в криптографии на эллиптических кривых, применяются в криптографии с открытым ключом. Криптографические методы такого рода выигрывают от гибкости геометрических объектов и, следовательно, их групповых структур, а также от сложной структуры этих групп, что делает вычисление дискретного логарифма крайне затруднительным. Один из самых ранних протоколов шифрования, шифр Цезаря, также можно интерпретировать как (очень простую) групповую операцию. Большинство криптографических схем в той или иной степени используют группы. В частности, обмен ключами Диффи — Хеллмана использует конечные циклические группы. Таким образом, термин "криптография, основанная на группах", обычно относится к криптографическим протоколам, использующим бесконечные неабелевы группы, такие как группа кос.