Классикалық механиканың кванттық теориядағы лимиті және жақындасуы

Кіріспе

Классикалық лимит немесе сәйкестік лимиті – физикалық теорияның белгілі бір параметрлердің мәндерінде қарастырылғанда классикалық механиканы шамалау немесе "қайта табу" мүмкіндігі. Классикалық лимит классикалық емес әрекеттерді болжайтын физикалық теорияларда қолданылады.

Кванттық теория

Кванттық теорияға Нильс Бор сәйкестік принципі деп аталатын эвристикалық постулат енгізді: ол кванттық жүйелердің классикалық лимитіне қандай да бір үздіксіздік аргументі қолданылуы керек екенін көрсетеді, себебі бұл жүйелердің әрекетімен нормаланған Планк тұрақтысының мәні өте кіші болады. Көбінесе бұл «квазиклассикалық» техникалар арқылы іске асырылады (мысалы, WKB жуықтауы). Қатаңырақ айтқанда, классикалық лимиттердегі математикалық операция – топтық жиырылу, физикалық жүйелерді жуықтау, онда тиісті әрекет Планк тұрақтысынан әлдеқайда үлкен, сондықтан «деформация параметрін» ħ/S нөлге тең деп қабылдауға болады (мысалы, Вейл кванттауы). Осылайша, әдетте кванттық коммутаторлар (эквивалентті, Мояль жақшалары) топтық жиырылу кезінде Пуассон жақшаларына дейін төмендейді. Кванттық механикада Гейзенбергтің белгісіздік принципіне сәйкес электрон ешқашан тоқтамайды; оның әрқашан нөлдік емес кинетикалық энергиясы болуы керек, бұл классикалық механикада кездеспейтін нәтиже. Мысалы, егер біз электрондарға қатысты өте үлкен нәрсені қарастырсақ, мысалы, бейсболды, онда белгісіздік принципі оның шын мәнінде нөлдік кинетикалық энергиясы бола алмайтынын болжайды, бірақ кинетикалық энергияның белгісіздігі соншалықты аз, бейсбол тоқтағандай көрінеді, демек ол классикалық механика заңдарына бағынады. Жалпы, кванттық механикада үлкен энергиялар мен үлкен денелер (электронның мөлшері мен энергия деңгейлеріне қатысты) қарастырылса, нәтиже классикалық механика заңдарына бағынады. Типикалық оккупациялық сандар өте үлкен: макроскопиялық гармоникалық осциллятор ω = 2 Гц, m = 10 г және максималды амплитудасы x0 = 10 см үшін = ħn, сондықтан n ≃ 1030. Когерентті күйлерді де қараңыз. Дегенмен, классикалық лимит хаостық жүйелерге, яғни кванттық хаосқа қалай қолданылатыны әлі толық анықталмаған. Кванттық механика мен классикалық механика әдетте мүлдем басқа формализмдермен қарастырылады: кванттық теория Гильберт кеңістігін пайдаланады, ал классикалық механика фазалық кеңістікте бейнелеуді пайдаланады. Оларды әртүрлі жолдармен ортақ математикалық құрылымға келтіруге болады. Кванттық механиканың статистикалық сипаттағы фазалық кеңістіктегі формуласында кванттық механика мен классикалық статистикалық механика арасындағы логикалық байланыстар орнатылады, бұл олардың арасында табиғи салыстырулар жасауға мүмкіндік береді, соның ішінде Лиувилль теоремасының (Гамильтондық) квантталу кезінде бұзылуы. Дирак 1933 жылғы маңызды мақаласында классикалық механиканың кванттық механиканың туынды құбылысы екенін түсіндірді: экстремалды емес макроскопиялық әрекеттері бар жолдар арасындағы деструктивті интерференция S ≫ ħ оның енгізген жол интегралындағы амплитудалық үлестерді жояды, классикалық әрекет жолын – Sclass басым үлес ретінде қалдырады, бұл байқауды Фейман 1942 жылғы докторлық диссертациясында одан әрі дамытты. (Қосымша кванттық декогеренцияны қараңыз.)

A heuristic postulate called the correspondence principle was introduced to quantum theory by Niels Bohr: in effect it states that some kind of continuity argument should apply to the classical limit of quantum systems as the value of the Planck constant normalized by the action of these systems becomes very small. Often, this is approached through "quasi classical" techniques (cf. WKB approximation). More rigorously, the mathematical operation involved in classical limits is a group contraction, approximating physical systems where the relevant action is much larger than the reduced Planck constant ħ, so the "deformation parameter" ħ/S can be effectively taken to be zero (cf. Weyl quantization.) Thus typically, quantum commutators (equivalently, Moyal brackets) reduce to Poisson brackets, in a group contraction. In quantum mechanics, due to Heisenberg's uncertainty principle, an electron can never be at rest; it must always have a non zero kinetic energy, a result not found in classical mechanics. For example, if we consider something very large relative to an electron, like a baseball, the uncertainty principle predicts that it cannot really have zero kinetic energy, but the uncertainty in kinetic energy is so small that the baseball can effectively appear to be at rest, and hence it appears to obey classical mechanics. In general, if large energies and large objects (relative to the size and energy levels of an electron) are considered in quantum mechanics, the result will appear to obey classical mechanics. The typical occupation numbers involved are huge: a macroscopic harmonic oscillator with ω = 2 Hz, m = 10 g, and maximum amplitude x0 = 10 cm, has = ħn, so that n ≃ 1030. Further see coherent states. It is less clear, however, how the classical limit applies to chaotic systems, a field known as quantum chaos. Quantum mechanics and classical mechanics are usually treated with entirely different formalisms: quantum theory using Hilbert space, and classical mechanics using a representation in phase space. One can bring the two into a common mathematical framework in various ways. In the phase space formulation of quantum mechanics, which is statistical in nature, logical connections between quantum mechanics and classical statistical mechanics are made, enabling natural comparisons between them, including the violations of Liouville's theorem (Hamiltonian) upon quantization. In a crucial paper (1933), Dirac explained how classical mechanics is an emergent phenomenon of quantum mechanics: destructive interference among paths with non extremal macroscopic actions S » ħ obliterate amplitude contributions in the path integral he introduced, leaving the extremal action Sclass, thus the classical action path as the dominant contribution, an observation further elaborated by Feynman in his 1942 PhD dissertation. (Further see quantum decoherence.)