Классический предел в физических теориях: от квантовой механики к классической

Введение

Приближение или восстановление классической механики в определенных теориях.
Классический предел, или предел соответствия, — это способность физической теории аппроксимировать или "восстанавливать" классическую механику при рассмотрении особых значений её параметров. Классический предел применяется к физическим теориям, предсказывающим неклассическое поведение.

Квантовая теория

В квантовую теорию Нильсом Бором был введен эвристический постулат, называемый принципом соответствия: фактически он утверждает, что к классическому пределу квантовых систем должен применяться некий аргумент непрерывности, когда значение постоянной Планка, нормированное действием этих систем, становится очень малым. Часто к этому подходят с помощью "квазиклассических" методов (см. приближение ВКБ). Более строго, математическая операция, лежащая в основе классического предела, – это групповое сжатие, аппроксимирующее физические системы, в которых соответствующее действие значительно превышает приведённую постоянную Планка ħ, так что "параметр деформации" ħ/S можно эффективно считать равным нулю (см. квантование Вейля). Таким образом, типично квантовые коммутаторы (эквивалентно, скобки Мояля) сводятся к скобкам Пуассона в результате группового сжатия. В квантовой механике, вследствие принципа неопределённости Гейзенберга, электрон никогда не может находиться в состоянии покоя; он всегда должен обладать ненулевой кинетической энергией, результат, не встречающийся в классической механике. Например, если рассмотреть объект, значительно больший по массе, чем электрон, например, бейсбольный мяч, принцип неопределённости предсказывает, что он не может иметь нулевую кинетическую энергию, но неопределённость в кинетической энергии настолько мала, что мяч фактически может казаться находящимся в состоянии покоя и, следовательно, подчиняться классической механике. В общем случае, если в квантовой механике рассматриваются большие энергии и массивные объекты (по сравнению с размером и энергетическими уровнями электрона), результат будет казаться соответствующим классической механике. Типичные числа заполнения при этом огромны: макроскопический гармонический осциллятор с ω = 2 Гц, m = 10 г и максимальной амплитудой x₀ = 10 см имеет = ħn, откуда n ≈ 10³⁰. См. также когерентные состояния. Однако менее ясно, как классический предел применим к хаотическим системам – области, известной как квантовый хаос. Квантовая и классическая механика обычно рассматриваются с использованием принципиально различных формализмов: квантовая теория использует гильбертово пространство, а классическая механика – представление в фазовом пространстве. Можно привести их к общему математическому аппарату различными способами. В фазово-пространственной формулировке квантовой механики, носящей статистический характер, устанавливаются логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет проводить естественные сравнения между ними, включая нарушения теоремы Лиувиля (гамильтонова) при квантовании. В основополагающей работе (1933 г.) Дирак объяснил, как классическая механика является эмерджентным свойством квантовой механики: деструктивная интерференция между траекториями с неэкстремальными макроскопическими действиями S ≫ ħ подавляет вклад амплитуды в интеграл по траекториям, предложенный им, оставляя в качестве доминирующего вклада экстремальное действие S<sub>класс</sub>, то есть классическую траекторию действия; это наблюдение было далее развито Фейнманом в его докторской диссертации 1942 года. (См. также квантовую декогерентность.)

A heuristic postulate called the correspondence principle was introduced to quantum theory by Niels Bohr: in effect it states that some kind of continuity argument should apply to the classical limit of quantum systems as the value of the Planck constant normalized by the action of these systems becomes very small. Often, this is approached through "quasi classical" techniques (cf. WKB approximation). More rigorously, the mathematical operation involved in classical limits is a group contraction, approximating physical systems where the relevant action is much larger than the reduced Planck constant ħ, so the "deformation parameter" ħ/S can be effectively taken to be zero (cf. Weyl quantization.) Thus typically, quantum commutators (equivalently, Moyal brackets) reduce to Poisson brackets, in a group contraction. In quantum mechanics, due to Heisenberg's uncertainty principle, an electron can never be at rest; it must always have a non zero kinetic energy, a result not found in classical mechanics. For example, if we consider something very large relative to an electron, like a baseball, the uncertainty principle predicts that it cannot really have zero kinetic energy, but the uncertainty in kinetic energy is so small that the baseball can effectively appear to be at rest, and hence it appears to obey classical mechanics. In general, if large energies and large objects (relative to the size and energy levels of an electron) are considered in quantum mechanics, the result will appear to obey classical mechanics. The typical occupation numbers involved are huge: a macroscopic harmonic oscillator with ω = 2 Hz, m = 10 g, and maximum amplitude x0 = 10 cm, has = ħn, so that n ≃ 1030. Further see coherent states. It is less clear, however, how the classical limit applies to chaotic systems, a field known as quantum chaos. Quantum mechanics and classical mechanics are usually treated with entirely different formalisms: quantum theory using Hilbert space, and classical mechanics using a representation in phase space. One can bring the two into a common mathematical framework in various ways. In the phase space formulation of quantum mechanics, which is statistical in nature, logical connections between quantum mechanics and classical statistical mechanics are made, enabling natural comparisons between them, including the violations of Liouville's theorem (Hamiltonian) upon quantization. In a crucial paper (1933), Dirac explained how classical mechanics is an emergent phenomenon of quantum mechanics: destructive interference among paths with non extremal macroscopic actions S » ħ obliterate amplitude contributions in the path integral he introduced, leaving the extremal action Sclass, thus the classical action path as the dominant contribution, an observation further elaborated by Feynman in his 1942 PhD dissertation. (Further see quantum decoherence.)