Введение
Реальные числа, к которым добавлен элемент, квадрат которого равен нулю, и двойное грамматическое число, встречающееся в некоторых языках.
dual grammatical number found in some languages
In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with
Dual numbers can be added component wise, and multiplied by the formula
which follows from the property and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements.
В алгебре двойственные числа — это гиперкомплексная система чисел, впервые представленная в XIX веке. Они имеют вид a + bε, где a и b — действительные числа, а ε — символ, удовлетворяющий условию ε² = 0.
dual grammatical number found in some languages
In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with
Dual numbers can be added component wise, and multiplied by the formula
which follows from the property and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements.
Двойственные числа можно складывать и умножать покомпонентно, используя формулу:
dual grammatical number found in some languages
In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with
Dual numbers can be added component wise, and multiplied by the formula
which follows from the property and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements.
(a + bε)(c + dε) = ac + (ad + bc)ε + bdε²,
dual grammatical number found in some languages
In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with
Dual numbers can be added component wise, and multiplied by the formula
which follows from the property and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements.
которая вытекает из свойства ε² = 0 и из того факта, что умножение является билинейной операцией. Двойственные числа образуют коммутативную алгебру размерности два над полем действительных чисел, а также артиново локальное кольцо. Это один из простейших примеров кольца, содержащего ненулевые нильпотентные элементы.
dual grammatical number found in some languages
In algebra, the dual numbers are a hypercomplex number system first introduced in the 19th century. They are expressions of the form a + bε, where a and b are real numbers, and ε is a symbol taken to satisfy with
Dual numbers can be added component wise, and multiplied by the formula
which follows from the property and the fact that multiplication is a bilinear operation. The dual numbers form a commutative algebra of dimension two over the reals, and also an Artinian local ring. They are one of the simplest examples of a ring that has nonzero nilpotent elements.
История
Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Студи, который использовал их для представления двойного угла, измеряющего относительное положение двух скрещивающихся прямых в пространстве. Студи определил двойной угол как θ + dε, где θ — угол между направлениями двух прямых в трехмерном пространстве, а d — расстояние между ними. N-мерное обобщение, число Грассмана, было введено Германом Грассманом в конце XIX века.
Циклы
При заданных двух двойственных числах p и q, они определяют множество z, для которого разность углов наклона ("Галилеевский угол") между прямыми, соединяющими z с p и q, является постоянной. Это множество представляет собой цикл на двойственной плоскости; поскольку уравнение, устанавливающее постоянство разности углов наклона прямых, является квадратичным уравнением относительно действительной части z, цикл является параболой. "Циклическое вращение" двойственной плоскости происходит как движение её проективной прямой. По словам Исаака Яглома, подробности можно найти в теории винта.
Алгебраическая геометрия
В современной алгебраической геометрии двойные числа над полем (под которыми мы понимаем кольцо) могут быть использованы для определения тангентных векторов к точкам схемы. Тогда, для данной схемы, точки схемы находятся во взаимно однозначном соответствии с отображениями , а тангентные векторы – во взаимно однозначном соответствии с отображениями . Вышеуказанное поле может быть выбрано как поле вычетов. А именно: для данной точки на схеме рассмотрим стебель. Отметим, что это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, обозначаемым как . Просто положим .
The field above can be chosen intrinsically to be a residue field. To wit: Given a point on a scheme , consider the stalk Observe that is a local ring with a unique maximal ideal, which is denoted Then simply let .
Обобщения
Это построение можно провести в более общем виде: для коммутативного кольца R можно определить двойственные числа над R как факторкольцо многочленного кольца R[X] по идеалу (X²). Тогда образ X имеет квадрат, равный нулю, и соответствует элементу ε, описанному выше.
Суперпространство
Двойные числа находят применение в физике, где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространства. Эквивалентно, их можно рассматривать как суперчисла с единственным генератором; суперчисла обобщают это понятие до n различных генераторов ε, каждый из которых антикоммутирует, и n может быть даже бесконечным. Суперпространство в некоторой степени обобщает суперчисла, допуская наличие нескольких коммутирующих измерений. Мотивация для введения двойных чисел в физику проистекает из принципа исключения Паули для фермионов. Направление вдоль ε называют "фермионным", а действительная компонента – "бозонным". Фермионное направление получило такое название, поскольку фермионы подчиняются принципу исключения Паули: при перестановке координат квантовомеханическая волновая функция меняет знак и, следовательно, обращается в ноль, если две координаты совпадают; эта физическая идея отражена в алгебраическом соотношении .
Проективная линия
Идею проективной линии над двойственными числами выдвинули Грунвальд и Коррадо Сегре. Так же, как сфера Римана нуждается в точке северного полюса в бесконечности, чтобы замкнуть комплексную проективную линию, так и линия в бесконечности позволяет замкнуть плоскость двойственных чисел в цилиндр. Пусть D – кольцо двойственных чисел x + yε, а U – подмножество, где x ≠ 0. Тогда U является группой единиц D. Определим отношение A на B следующим образом: (a, b) ~ (c, d), если существует u ∈ U, такое что и . Это отношение является отношением эквивалентности. Точки проективной прямой над D – это классы эквивалентности в B относительно этого отношения, которые представляются проективными координатами [a, b]. Рассмотрим вложение D → P(D) посредством z → [z, 1]. Тогда точки [1, n], где n ∈ ℝ, принадлежат P(D), но не являются образом какой-либо точки при этом вложении. P(D) отображается на цилиндр посредством проекции: возьмем цилиндр, касающийся плоскости двойственных чисел на прямой {yε : y ∈ ℝ}, затем возьмем противоположную линию на цилиндре в качестве оси пучка плоскостей. Плоскости, пересекающие плоскость двойственных чисел и цилиндр, обеспечивают соответствие между точками на этих поверхностях. Плоскость, параллельная плоскости двойственных чисел, соответствует точкам [1, n] в проективной прямой над двойственными числами.