Кіріспе
Физикада ковариантты түрлендіру — негіздің өзгеруі кезінде векторлар немесе тензорлар сияқты белгілі бір шамалардың қалай өзгеретінін анықтайтын ереже. Жаңа негіз векторларын ескі негіз векторларының сызықтық комбинациясы ретінде сипаттайтын түрлендіру ковариантты түрлендіру ретінде анықталады. Әдетте, негіз векторларын анықтайтын индекстер төменгі индекстер ретінде орналастырылады, сондай-ақ бірдей түрленетін барлық шамалар да осылай орналастырылады. Ковариантты түрлендірудің керісі — контравариантты түрлендіру. Егер вектор негіздің өзгеруі кезінде инвариантты болу керек болса, яғни ол бұрынғыдай бірдей шама мен бағытты сақтайтын бірдей геометриялық немесе физикалық объектіні білдірсе, оның компоненттері контравариантты ережеге сәйкес өзгеруі керек. Әдетте, вектордың компоненттерін анықтайтын индекстер жоғарғы индекстер ретінде орналастырылады, сондай-ақ бірдей түрленетін барлық шамалардың индекстері де осылай орналастырылады. Бірдей төменгі және жоғарғы индекстері бар көбейтіндінің жұп индекстерінің қосындысы түрлендіру кезінде өзгермейді. Вектордың өзі геометриялық шама, ол таңдалған негізге тәуелсіз (инвариантты). Вектор v берілген, мысалы, таңдалған негізде vi компоненттері арқылы. Басқа негізде, айталық e′j, сол вектордың v′j компоненттері басқа болады. Вектор ретінде v таңдалған координаттар жүйесіне инвариантты болуы керек және кез келген таңдалған негізге тәуелсіз болуы керек, яғни оның «нақты әлемдегі» бағыты мен шамасы негіз векторларына қарамастан бірдей болуы керек. Егер біз негіздік векторларды ei арқылы e′j түрлендірсек, vi компоненттерінің де жаңа компоненттерге v′j түрленуін қамтамасыз етуіміз керек. v-дің қажетті түрленуі контравариантты түрлендіру ережесі деп аталады. Көрсетілген мысалда вектор екі түрлі координаттар жүйесімен сипатталады: тіктөртбұрышты координаттар жүйесі (қара тор) және радиалды координаттар жүйесі (қызыл тор). Екі координаттар жүйесі үшін де негіздік векторлар таңдалды: тіктөртбұрышты жүйе үшін ex және ey, ал радиалды жүйе үшін er және eφ. Радиалды негіздік векторлар er және eφ тіктөртбұрышты негіздік векторлар ex және ey-ге қатысты сағат тіліне қарсы бұрылған сияқты көрінеді. Сондықтан, негіздік векторларға қолданылатын ковариантты түрлендіру — бұл сағат тіліне қарсы бұрылу, бірінші негіздік векторлардан екінші негіздік векторларға өту. v-ның координаттары жаңа координаттар жүйесіне түрлендірілуі керек, бірақ v векторының өзі, математикалық объект ретінде, таңдалған негізге тәуелсіз болып қалады, бірдей бағытта және бірдей шамамен, координаттардың өзгеруіне инвариантты болып көрінеді. Контравариантты түрлендіру осыны қамтамасыз етеді, әртүрлі негіздер арасындағы бұрылуды өтеу арқылы. Егер v-ны радиалды координаттар жүйесінің контекстінде қарасақ, ол er және eφ негіздік векторларына қатысты сағат тілімен бұрылған сияқты көрінеді, ал тіктөртбұрышты негіздік векторлар ex және ey-ге қатысты бұрылудан өзгеше. Сондықтан, осы мысалда v үшін қажетті контравариантты түрлендіру — сағат тілімен бұрылу.
As a vector, v should be invariant to the chosen coordinate system and independent of any chosen basis, i. e. its "real world" direction and magnitude should appear the same regardless of the basis vectors. If we perform a change of basis by transforming the vectors ei into the basis vectors e′j, we must also ensure that the components vi transform into the new components v′j to compensate. The needed transformation of v is called the contravariant transformation rule. In the shown example, a vector is described by two different coordinate systems: a rectangular coordinate system (the black grid), and a radial coordinate system (the red grid). Basis vectors have been chosen for both coordinate systems: ex and ey for the rectangular coordinate system, and er and eφ for the radial coordinate system. The radial basis vectors er and eφ appear rotated anticlockwise with respect to the rectangular basis vectors ex and ey. The covariant transformation, performed to the basis vectors, is thus an anticlockwise rotation, rotating from the first basis vectors to the second basis vectors. The coordinates of v must be transformed into the new coordinate system, but the vector v itself, as a mathematical object, remains independent of the basis chosen, appearing to point in the same direction and with the same magnitude, invariant to the change of coordinates. The contravariant transformation ensures this, by compensating for the rotation between the different bases. If we view v from the context of the radial coordinate system, it appears to be rotated more clockwise from the basis vectors er and eφ. compared to how it appeared relative to the rectangular basis vectors ex and ey. Thus, the needed contravariant transformation to v in this example is a clockwise rotation.
Функцияның туындысы ковариантты түрде түрленеді
Ковариантты түрлендірудің нақты түрін функция туындысының түрлендіру қасиеттерімен ең жақсы түсіндіруге болады. Кеңістіктегі бір нүктедегі температура сияқты, берілген координаттар жүйесінде анықталатын p нүктелер жиынтығында анықталған f скалярлық функциясын қарастырайық (мұндай жиынтық көптеуіл деп аталады). Егер біз жаңа координаттар жүйесін қабылдасақ, онда әр i үшін бастапқы координатты жаңа координаттардың функциясы ретінде өрнектеуге болады, сондықтан туындының тізбектік ережесін қолдана отырып, f-тің туындысын ескі координаттарда жаңа координаттар арқылы өрнектеуге болады, себебі бұл ковариантты түрлендіру ережесінің нақты түрі. Координаттарға қатысты нормальды туындыны белгілеу үшін кейде үтір қолданылады:
This is the explicit form of the covariant transformation rule. The notation of a normal derivative with respect to the coordinates sometimes uses a comma, as follows
where the index i is placed as a lower index, because of the covariant transformation.
мұндағы i индексі ковариантты түрлендіруге байланысты төменгі индекс ретінде жазылады.
This is the explicit form of the covariant transformation rule. The notation of a normal derivative with respect to the coordinates sometimes uses a comma, as follows
where the index i is placed as a lower index, because of the covariant transformation.
Дифференциалдық нысандар контравариантты түрде түрленеді
Контравариантты түрлендірудің мысалы дифференциалдық түр df арқылы берілген. f функциясы координаттардың функциясы болғандықтан, df-ты dx дифференциалдарының өзгеруі арқылы көрсетуге болады, себебі