Введение

В физике ковариантное преобразование — это правило, определяющее, как изменяются определенные объекты, такие как векторы или тензоры, при смене базиса. Преобразование, описывающее новые базисные векторы как линейную комбинацию старых базисных векторов, определяется как ковариантное преобразование. Обычно индексы, идентифицирующие базисные векторы, располагаются в виде нижних индексов, и то же самое относится ко всем объектам, преобразующимся таким же образом. Обратным к ковариантному преобразованию является контравариантное преобразование. Всякий раз, когда вектор должен быть инвариантным при смене базиса, то есть он должен представлять один и тот же геометрический или физический объект, сохраняя ту же величину и направление, его компоненты должны преобразовываться в соответствии с контравариантным правилом. Обычно индексы, идентифицирующие компоненты вектора, располагаются в виде верхних индексов, и то же самое относится ко всем индексам объектов, преобразующихся таким же образом. Сумма по парам совпадающих индексов в произведении с одинаковыми нижними и верхними индексами инвариантна при преобразовании. Сам вектор — это геометрическая величина, в принципе, независимая (инвариантная) от выбранного базиса. Вектор v задан, скажем, в компонентах vi на выбранном базисе ei. На другом базисе, скажем, e′j, тот же вектор v имеет другие компоненты v′j и, как вектор, v должен быть инвариантным относительно выбранной системы координат и независимым от любого выбранного базиса, то есть его «реальное» направление и величина должны выглядеть одинаково независимо от базисных векторов. Если мы выполняем смену базиса, преобразуя векторы ei в базисные векторы e′j, мы также должны убедиться, что компоненты vi преобразуются в новые компоненты v′j для компенсации. Необходимое преобразование v называется правилом контравариантного преобразования. В приведенном примере вектор описывается двумя различными системами координат: прямоугольной системой координат (черная сетка) и радиальной системой координат (красная сетка). Для обеих систем координат выбраны базисные векторы: ex и ey для прямоугольной системы координат и er и eφ для радиальной системы координат. Радиальные базисные векторы er и eφ повернуты против часовой стрелки относительно прямоугольных базисных векторов ex и ey. Таким образом, ковариантное преобразование, выполняемое над базисными векторами, представляет собой вращение против часовой стрелки, переходящее от первых базисных векторов ко вторым. Координаты v должны быть преобразованы в новую систему координат, но сам вектор v, как математический объект, остается независимым от выбранного базиса, указывая в том же направлении и с той же величиной, инвариантным к смене координат. Контравариантное преобразование обеспечивает это, компенсируя вращение между различными базисами. Если мы рассматриваем v в контексте радиальной системы координат, то он, по-видимому, повернут больше по часовой стрелке относительно базисных векторов er и eφ, чем он выглядел относительно прямоугольных базисных векторов ex и ey. Таким образом, необходимое контравариантное преобразование для v в этом примере — вращение по часовой стрелке.

Производная функции ковариантно преобразуется

Явную форму ковариантной трансформации лучше всего ввести, рассмотрев свойства преобразования производной функции. Рассмотрим скалярную функцию f (например, температуру в точке пространства), определенную на множестве точек p, которые можно идентифицировать в заданной системе координат (такое множество называется многообразием). Если мы перейдем к новой системе координат, то для каждого i исходная координата может быть выражена как функция новых координат, то есть . Производную f в старых координатах можно выразить через новые координаты, используя правило дифференцирования сложной функции, следующим образом:

Это и есть явная форма правила ковариантного преобразования. Обозначение частной производной по координатам иногда записывают с помощью запятой:

где индекс i ставится в нижний индекс из-за ковариантного преобразования.

Дифференциальные формы трансформируются контравариантным образом

Пример контравариантного преобразования представлен дифференциальной формой df. Если f – функция координат, то df можно выразить через дифференциалы dx. Дифференциалы dx преобразуются по контравариантному правилу, поскольку