Абстракт алгебрадағы қарапайым сақиналар

Кіріспе

Абстракт алгебрада, математиканың бір саласы, қарапайым сақина – нөлдік емес сақина, онда нөлдік идеал мен өзінен басқа екі жақты идеал жоқ. Атап айтқанда, коммутативті сақина осы шарттарды қанағаттандырса ғана қарапайым сақина болып табылады. Қарапайым сақинаның орталығы міндетті түрде өріс болады. Осыдан қарапайым сақина осы өріс үстіндегі ассоциативтік алгебра болып табылады және осы өріс үстіндегі қарапайым алгебра деп аталады. Кейбір анықтамалар (мысалы, немесе) қарапайым сақинаның сол немесе оң жақты Артиниялық (немесе эквивалентті жартылай қарапайым) болуын қосымша талап етеді. Мұндай терминологияда тривиальді емес екі жақты идеалдары жоқ нөлдік емес сақина квази қарапайым деп аталады. Сақина ретінде қарапайым, бірақ өзінің үстінде қарапайым модуль емес сақиналар бар: өріс үстіндегі толық матрицалық сақинада тривиальді емес екі жақты идеалдар жоқ (өйткені кез келген идеал түрінде болады, мұнда – сақинаның идеалы), бірақ тривиальді емес сол жақты идеалдары бар (мысалы, белгілі бір нөлдік бағаналары бар матрицалар жиыны). Қарапайым сақинаның тікелей мысалы – бөлу сақинасы, онда нөлден өзге әрбір элементтің көбейтуге керісі бар, мысалы, кватерниондар. Сондай-ақ, кез келген үшін, бөлу сақинасының элементтерінен құралған матрицалар алгебрасы қарапайым болады. Джозеф Веддерберн сақина болса, ол өріс үстіндегі шекті өлшемді қарапайым алгебра болып табылады, онда ол үстіндегі кейбір бөлу алгебрасы үстіндегі матрицалық алгебраға изоморфты екенін дәлелдеді. Атап айтқанда, нақты сандар үстіндегі шекті өлшемді алгебра болып табылатын жалғыз қарапайым сақиналар – нақты сандар, кешенді сандар немесе кватерниондар үстіндегі матрицалар сақиналары. Веддерберн бұл нәтижелерді 1907 жылы докторлық диссертациясында «Гиперкешенді сандар туралы» жариялады, ол Лондон математикалық қоғамының еңбектерінде шықты. Оның диссертациясы өрістер үстіндегі шекті өлшемді қарапайым және жартылай қарапайым алгебраларды жіктеді. Қарапайым алгебралар жартылай қарапайым алгебралардың құрылыс блоктары болып табылады: кез келген шекті өлшемді жартылай қарапайым алгебра алгебралар мағынасында шекті өлшемді қарапайым алгебралардың Декарт көбейтіндісі болып табылады. Терминологияға қатысты сақтық тану керек: әрбір қарапайым сақина жартылай қарапайым сақина емес, және әрбір қарапайым алгебра жартылай қарапайым алгебра емес. Дегенмен, әрбір шекті өлшемді қарапайым алгебра жартылай қарапайым алгебра болып табылады, ал сол немесе оң жақты Артиниялық әрбір қарапайым сақина жартылай қарапайым сақина болып табылады. Жартылай қарапайым емес қарапайым сақинаның мысалы – Вейль алгебрасы. Вейль алгебрасы сонымен қатар оның ортасындағы бөлу алгебрасы үстіндегі матрицалық алгебра емес қарапайым алгебраның мысалын береді: Вейль алгебрасы шексіз өлшемді, сондықтан Веддерберн теоремасы қолданылмайды. Веддерберннің нәтижесі кейін Уэддерберн-Артин теоремасында жартылай қарапайым сақиналарға жалпыландырылды: бұл теорема әрбір жартылай қарапайым сақина бөлу сақиналары үстіндегі матрицалық сақиналардың шекті көбейтіндісі екенін айтады. Осы жалпылаудың салдарынан сол немесе оң жақты Артиниялық әрбір қарапайым сақина матрицалық сақина болып табылады.

In abstract algebra, a branch of mathematics, a simple ring is a non zero ring that has no two sided ideal besides the zero ideal and itself. In particular, a commutative ring is a simple ring if and only if it is a field. The center of a simple ring is necessarily a field. It follows that a simple ring is an associative algebra over this field. It is then called a simple algebra over this field. Several references (e. g., or ) require in addition that a simple ring be left or right Artinian (or equivalently semi simple). Under such terminology a non zero ring with no non trivial two sided ideals is called quasi simple. Rings which are simple as rings but are not a simple module over themselves do exist: a full matrix ring over a field does not have any nontrivial two sided ideals (since any ideal of is of the form with an ideal of ), but it has nontrivial left ideals (for example, the sets of matrices which have some fixed zero columns). An immediate example of a simple ring is a division ring, where every nonzero element has a multiplicative inverse, for instance, the quaternions. Also, for any , the algebra of matrices with entries in a division ring is simple. Joseph Wedderburn proved that if a ring is a finite dimensional simple algebra over a field , it is isomorphic to a matrix algebra over some division algebra over In particular, the only simple rings that are finite dimensional algebras over the real numbers are rings of matrices over either the real numbers, the complex numbers, or the quaternions. Wedderburn proved these results in 1907 in his doctoral thesis, On hypercomplex numbers, which appeared in the Proceedings of the London Mathematical Society. His thesis classified finite dimensional simple and also semisimple algebras over fields. Simple algebras are building blocks of semisimple algebras: any finite dimensional semisimple algebra is a Cartesian product, in the sense of algebras, of finite dimensional simple algebras. One must be careful of the terminology: not every simple ring is a semisimple ring, and not every simple algebra is a semisimple algebra. However, every finite dimensional simple algebra is a semisimple algebra, and every simple ring that is left or right artinian is a semisimple ring. An example of a simple ring that is not semisimple is the Weyl algebra. The Weyl algebra also gives an example of a simple algebra that is not a matrix algebra over a division algebra over its center: the Weyl algebra is infinite dimensional, so Wedderburn's theorem does not apply. Wedderburn's result was later generalized to semisimple rings in the Wedderburn–Artin theorem: this says that every semisimple ring is a finite product of matrix rings over division rings. As a consequence of this generalization, every simple ring that is left or right artinian is a matrix ring over a division ring.

Мысалдар

Бұл нақты сандар өрісі, кешенді сандар өрісі және кватерниондар болсын. Орталық қарапайым алгебра (кейде Брауэр алгебрасы деп аталады) – өріс үстіндегі ортасы өріс болатын қарапайым, шекті өлшемді алгебра. Кез келген шекті өлшемді қарапайым алгебра , , немесе өрісіндегі жазбалары бар матрица алгебрасына изоморфты. Кез келген орталық қарапайым алгебра , өрісіндегі жазбалары бар матрица алгебрасына изоморфты. Бұл нәтижелер Фробениус теоремасынан туындайды. Кез келген шекті өлшемді қарапайым алгебра орталық қарапайым алгебра болып табылады және ол өріс үстіндегі матрица сақинасына изоморфты. Кез келген шекті өлшемді орталық қарапайым алгебра шекті өріс үстіндегі матрица сақинасына изоморфты. Өріс үстіндегі шексіз өлшемді векторлық кеңістіктің барлық сызықтық түрлендірулерінің алгебрасы – жартылай жартылай қарапайым емес қарапайым сақина. Бұл сондай-ақ жартылай жартылай қарапайым емес алгебраның үстіндегі қарапайым алгебра.