Простые кольца и алгебры: классификация и свойства

Введение

В абстрактной алгебре, ветви математики, простое кольцо — это ненулевое кольцо, не имеющее двухсторонних идеалов, кроме нулевого идеала и самого себя. В частности, коммутативное кольцо является простым кольцом тогда и только тогда, когда оно является полем. Центр простого кольца обязательно является полем. Следовательно, простое кольцо является ассоциативной алгеброй над этим полем и называется простой алгеброй над этим полем. Некоторые источники (например, или ) дополнительно требуют, чтобы простое кольцо было левым или правым артиновым (или, эквивалентно, полупростым). При такой терминологии, ненулевое кольцо без нетривиальных двухсторонних идеалов называется квазипростым. Существуют кольца, которые просты как кольца, но не являются простыми модулями над собой: полное кольцо матриц над полем не имеет нетривиальных двухсторонних идеалов (поскольку любой идеал в имеет вид , где — идеал в ), но имеет нетривиальные левые идеалы (например, множества матриц с фиксированными нулевыми столбцами). Непосредственным примером простого кольца является кольцо делений, где каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, например, кватернионы. Также, для любого , алгебра матриц с элементами из кольца делений является простой. Джозеф Веддерберн доказал, что если кольцо является конечномерной простой алгеброй над полем , то оно изоморфно матричной алгебре над некоторой алгеброй делений над . В частности, единственными простыми кольцами, являющимися конечномерными алгебрами над действительными числами, являются кольца матриц над действительными числами, комплексными числами или кватернионами. Веддерберн доказал эти результаты в 1907 году в своей докторской диссертации «О гиперкомплексных числах», опубликованной в «Трудах Лондонского математического общества». В своей диссертации он классифицировал конечномерные простые и полупростые алгебры над полями. Простые алгебры являются строительными блоками полупростых алгебр: любая конечномерная полупростая алгебра является декартовым произведением, в смысле алгебр, конечномерных простых алгебр. Необходимо быть внимательным к терминологии: не каждое простое кольцо является полупростым кольцом, и не каждая простая алгебра является полупростой алгеброй. Однако, каждая конечномерная простая алгебра является полупростой алгеброй, и каждое простое кольцо, которое является левым или правым артиновым, является полупростым кольцом. Примером простого кольца, не являющегося полупростым, является алгебра Вейля. Алгебра Вейля также представляет собой пример простой алгебры, которая не является матричной алгеброй над алгеброй делений над её центром: алгебра Вейля бесконечномерна, поэтому теорема Веддерберна неприменима. Результат Веддерберна позднее был обобщён на полупростые кольца в теореме Веддерберна — Артина: эта теорема утверждает, что каждое полупростое кольцо является конечным произведением матричных колец над кольцами делений. Как следствие этого обобщения, каждое простое кольцо, которое является левым или правым артиновым, является матричным кольцом над кольцом делений.

In abstract algebra, a branch of mathematics, a simple ring is a non zero ring that has no two sided ideal besides the zero ideal and itself. In particular, a commutative ring is a simple ring if and only if it is a field. The center of a simple ring is necessarily a field. It follows that a simple ring is an associative algebra over this field. It is then called a simple algebra over this field. Several references (e. g., or ) require in addition that a simple ring be left or right Artinian (or equivalently semi simple). Under such terminology a non zero ring with no non trivial two sided ideals is called quasi simple. Rings which are simple as rings but are not a simple module over themselves do exist: a full matrix ring over a field does not have any nontrivial two sided ideals (since any ideal of is of the form with an ideal of ), but it has nontrivial left ideals (for example, the sets of matrices which have some fixed zero columns). An immediate example of a simple ring is a division ring, where every nonzero element has a multiplicative inverse, for instance, the quaternions. Also, for any , the algebra of matrices with entries in a division ring is simple. Joseph Wedderburn proved that if a ring is a finite dimensional simple algebra over a field , it is isomorphic to a matrix algebra over some division algebra over In particular, the only simple rings that are finite dimensional algebras over the real numbers are rings of matrices over either the real numbers, the complex numbers, or the quaternions. Wedderburn proved these results in 1907 in his doctoral thesis, On hypercomplex numbers, which appeared in the Proceedings of the London Mathematical Society. His thesis classified finite dimensional simple and also semisimple algebras over fields. Simple algebras are building blocks of semisimple algebras: any finite dimensional semisimple algebra is a Cartesian product, in the sense of algebras, of finite dimensional simple algebras. One must be careful of the terminology: not every simple ring is a semisimple ring, and not every simple algebra is a semisimple algebra. However, every finite dimensional simple algebra is a semisimple algebra, and every simple ring that is left or right artinian is a semisimple ring. An example of a simple ring that is not semisimple is the Weyl algebra. The Weyl algebra also gives an example of a simple algebra that is not a matrix algebra over a division algebra over its center: the Weyl algebra is infinite dimensional, so Wedderburn's theorem does not apply. Wedderburn's result was later generalized to semisimple rings in the Wedderburn–Artin theorem: this says that every semisimple ring is a finite product of matrix rings over division rings. As a consequence of this generalization, every simple ring that is left or right artinian is a matrix ring over a division ring.

Примеры

Пусть ℝ будет полем действительных чисел, ℂ — полем комплексных чисел, а ℍ — кватернионами. Центральная простая алгебра (иногда называемая алгеброй Брауэра) — это простая конечномерная алгебра над полем K, чей центр равен K. Каждая конечномерная простая алгебра над ℂ изоморфна алгебре матриц с элементами в ℝ, ℂ или ℍ. Каждая центральная простая алгебра над ℝ изоморфна алгебре матриц с элементами в ℝ или ℍ. Эти результаты следуют из теоремы Фробениуса. Каждая конечномерная простая алгебра над ℂ является центральной простой алгеброй и изоморфна матричному кольцу над ℂ. Каждая конечномерная центральная простая алгебра над конечным полем изоморфна матричному кольцу над этим полем. Алгебра всех линейных преобразований бесконечномерного векторного пространства над полем K является простым кольцом, которое не является полупростым кольцом. Она также является простой алгеброй над K, которая не является полупростой алгеброй.