Кіріспе
Өзіне ұқсас өсу қисығы
Логарифмдік спираль, теңбұрышты спираль немесе өсу спиралі – табиғатта жиі кездесетін өзіне ұқсас спиральдік қисық. Логарифмдік спиральді алғаш рет Альбрехт Дюрер (1525) сипаттаған, оны "мәңгілік сызық" ("ewige Linie") деп атаған. Бір ғасырдан астам уақыт өткен соң, бұл қисық Декарт (1638) тарапынан талқыланды, ал кейіннен Жакоб Бернулли оны жан-жақты зерттеп, "Spira mirabilis", "таңғажайып спираль" деп атады. Логарифмдік спираль Архимед спиралінен осымен ерекшеленеді: логарифмдік спиральдің айналымдары арасындағы қашықтық геометриялық прогрессия бойынша ұлғаяды, ал Архимед спиралінде бұл қашықтықтар өзгермейді.
Spira mirabilis және Якоб Бернулли
Spira mirabilis, латын тілінде "таңғажайып спираль" деген мағынаны білдіреді, бұл логарифмдік спиральдің тағы бір атауы. Бұл қисық бұрыннан басқа математиктермен аталған болса да, осы қисыққа "таңғажайып" немесе "керемет" спираль деген нақты атауды Якоб Бернулли берді, себебі ол оның бірегей математикалық қасиеттерінің біріне қызығушылық танытты: спиральдің көлемі ұлғаяды, бірақ оның пішіні келесі қисықтармен өзгермейді, бұл өзіне ұқсастық деп аталатын қасиет. Мүмкін, осы ерекше қасиетінің нәтижесінде, spira mirabilis табиғатта пайда болды, нақтырақ айтқанда, наутилус қабықтары және күнбағыс гүлдері сияқты өсу үрдісіндегі белгілі бір формаларда кездеседі. Якоб Бернулли өзінің қабір тасына "Eadem mutata resurgo" ("Өзгергенімен, мен сол күйімде қайта тірілемін") деген фразамен бірге осындай спираль бейнесін салуды қалаған, бірақ қателікке байланысты орнына Архимед спиралі салынды.
Ерекше жағдайлар және шамалау
Алтын спираль – әр 90 градус бұрылу сайын алтын қатынасқа пропорционалды өсетін логарифмдік спираль (бұрылу бұрышы шамамен 17,03239 градус). Оны Фибоначчи сандарына пропорционал радиустары бар төртінші шеңберлер тізбегінен құралған "Фибоначчи спиралі" арқылы жуықтауға болады.
Табиғатта
Бірнеше табиғи құбылыстарда логарифмдік спиральға жақын қисықтар кездеседі. Міне, кейбір мысалдар мен себептері:
Жыртқыш құстың олжасын қуудағы траекториясы, егер олжа түзу сызықпен қозғалса. Олардың ең жақсы көрісі ұшу бағытына шағылысқан бұрышта болады; бұл бұрыш спиральдің қадам бұрышымен бірдей. Құстың жарық көзіне ұшуы. Олар жарық көзінің ұшу жолына қатысты тұрақты бұрышта болуына үйренген. Көбінесе Күн (немесе түнгі түрлер үшін Ай) жалғыз жарық көзі болып табылады және осылай ұшу іс жүзінде түзу сызыққа алып келеді. Спиральды галактикалардың иірімдері. Көктемдегі галактиканың бірнеше спиральді иірімдері бар, олардың әрқайсысы шамамен 12 градус қадам бұрышы бар логарифмдік спиральға ұқсас. Дегенмен, спиральды галактикалар жиі логарифмдік спиральдар, Архимед спиральдары немесе гиперболалық спиральдар ретінде модельденгенімен, олардың қадам бұрыштары галактикалық орталықтан алшақтаған сайын өзгереді, логарифмдік спиральдардан (онда бұл бұрыш өзгермейді) және оларды модельдеу үшін қолданылатын басқа математикалық спиральдардан өзгеше. Мүйіздің жүйкелері (яғни, субэпителий қабатының мүйіз жүйкелері мүйіздің беткі эпителий қабатына жақын логарифмдік спираль түрінде аяқталады). Тропикалық циклонның жолақтары, мысалы, дауылдар. Соның ішінде моллюскалардың қабықтары сияқты көптеген биологиялық құрылымдар. Мұндай жағдайларда себебі көпбұрышты пішіндер сияқты ұқсас пішіндерді кеңейту арқылы құрылуы мүмкін. Логарифмдік спиральді жағажайлар толқындардың жағалаумен сынуы мен дифракциясының нәтижесінде пайда болуы мүмкін. Half Moon Bay (Калифорния) – мұндай жағажайдың мысалы.
The approach of a hawk to its prey in classical pursuit, assuming the prey travels in a straight line. Their sharpest view is at an angle to their direction of flight; this angle is the same as the spiral's pitch. The approach of an insect to a light source. They are used to having the light source at a constant angle to their flight path. Usually the Sun (or Moon for nocturnal species) is the only light source and flying that way will result in a practically straight line. The arms of spiral galaxies. The Milky Way galaxy has several spiral arms, each of which is roughly a logarithmic spiral with pitch of about 12 degrees. However, although spiral galaxies have often been modeled as logarithmic spirals, Archimedean spirals, or hyperbolic spirals, their pitch angles vary with distance from the galactic center, unlike logarithmic spirals (for which this angle does not vary), and also at variance with the other mathematical spirals used to model them. The nerves of the cornea (this is, corneal nerves of the subepithelial layer terminate near superficial epithelial layer of the cornea in a logarithmic spiral pattern). The bands of tropical cyclones, such as hurricanes. Many biological structures including the shells of mollusks. In these cases, the reason may be construction from expanding similar shapes, as is the case for polygonal figures. Logarithmic spiral beaches can form as the result of wave refraction and diffraction by the coast. Half Moon Bay (California) is an example of such a type of beach.
Инженерлік қолданбаларда
Логарифмдік спиральды антенналар – жиілікке тәуелсіз антенналар, яғни, кең жолақты ауқымда сәулелену үлгісі, кедерісі және поляризациясы көбінесе өзгермейтін антенналар. Механизмдерді шегеріп шығару арқылы өндіруге арналған машиналармен (мысалы, лазерлік кескіштер) өндіру кезінде, әр машинаның кесу процесінде алып тастаған материалдың мөлшерінің (яғни, кесік енінің) айырмашылығынан механизм басқа машинада жасалса, дәлдік жоғалуы мүмкін. Лазерлік кескіштердегі кесік енінің айырмашылықтарын жою механизмін жасау үшін логарифмдік спиральдің өзіне ұқсас қасиеттері пайдаланылды. Логарифмдік спиральды конус тісті дөңгелектер – бұл тіс центрінің сызығы логарифмдік спираль болып табылатын конус тісті дөңгелектердің бір түрі. Логарифмдік спираль тіс центрінің сызығы мен радиалдық сызықтар арасындағы тең бұрыштарды қамтамасыз ету артықшылығына ие, бұл байланысқан беріліске көбірек тұрақтылық береді. Тау шаруаларында серіпті камералы құрылғылар металл камералардан жасалады, олардың сыртқы ұстағыш беттері логарифмдік спиральдардың доғаларына ұқсайды. Құрылғы тастың жарығына енгізілген кезде, бұл камералардың айналуы олардың жалпы енін жарықтың еніне сәйкес кеңейтеді, сонымен қатар тастың бетіне қатысты тұрақты бұрыш сақталады (спиральдің ортасына қатысты, онда күш қолданылады). Спиральдың бұрыш тік бұрышы құрылғының тасқа қарсы үйкелісін оңтайландыру үшін таңдалады.