Введение
Самоподобная кривая роста
Логарифмическая спираль, равноугольная спираль или спираль роста — это самоподобная спиральная кривая, которая часто встречается в природе. Первым описавшим логарифмическую спираль был Альбрехт Дюрер (1525), который назвал её «вечной линией» ("ewige Linie"). Более чем через столетие кривая была рассмотрена Декартом (1638), а позже тщательно исследована Якобом Бернулли, который назвал её Spira mirabilis, «чудесная спираль». Логарифмическую спираль можно отличить от архимедовой спирали тем, что расстояния между витками логарифмической спирали возрастают в геометрической прогрессии, в то время как в архимедовой спирали эти расстояния постоянны.
Spira mirabilis и Якоб Бернулли
Spira mirabilis, латинское выражение, означающее «чудесная спираль», – это другое название логарифмической спирали. Хотя эта кривая уже имела названия, данные другими математиками, именно название «чудесная» или «удивительная» спираль была присвоена ей Якобом Бернулли, поскольку он был очарован одним из её уникальных математических свойств: размер спирали увеличивается, но её форма остаётся неизменной с каждым витком, свойство, известное как самоподобие. Вероятно, благодаря этому уникальному свойству, spira mirabilis эволюционировала в природе, проявляясь в определённых формах роста, таких как раковины наутилусов и соцветия подсолнечника. Якоб Бернулли хотел, чтобы на его надгробном камне была выгравирована эта спираль вместе с фразой «Eadem mutata resurgo» («Хотя изменён, я восстану прежним»), но по ошибке там поместили Архимедову спираль.
Особые случаи и приближения
Золотая спираль — это логарифмическая спираль, которая увеличивается наружу в соответствии с золотым сечением на каждые 90 градусов вращения (угол наклона примерно 17,03239 градусов). Она может быть аппроксимирована "спиралью Фибоначчи", построенной из последовательности четвертей окружностей с радиусами, пропорциональными числам Фибоначчи.
В природе
В нескольких природных явлениях можно обнаружить кривые, близкие к логарифмическим спиралям. Вот несколько примеров и объяснений:
Приближение ястреба к добыче при классической погоне, если предположить, что добыча движется по прямой. Наиболее чёткое зрение у ястреба направлено под углом к направлению полёта; этот угол соответствует шагу спирали. Приближение насекомого к источнику света. Насекомые привыкли, что источник света находится под постоянным углом к их траектории полёта. Обычно Солнце (или Луна для ночных видов) является единственным источником света, и полёт таким образом приводит к практически прямой линии. Спиральные рукава галактик. В галактике Млечный Путь есть несколько спиральных рукавов, каждый из которых приблизительно представляет собой логарифмическую спираль с шагом около 12 градусов. Однако, хотя спиральные галактики часто моделируют как логарифмические, архимедовы или гиперболические спирали, их углы шага меняются с расстоянием от галактического центра, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол постоянен), а также отличаются от других математических спиралей, используемых для их моделирования. Нервы роговицы (то есть нервы подэпителиального слоя роговицы заканчиваются вблизи поверхностного эпителиального слоя роговицы в форме логарифмической спирали). Зоны тропических циклонов, таких как ураганы. Многие биологические структуры, включая раковины моллюсков. В этих случаях причина может заключаться в построении из расширяющихся подобных форм, как это происходит с многоугольниками. Логарифмические спиральные пляжи могут формироваться в результате преломления и дифракции волн береговой линией. Залив Полумесяца (штат Калифорния) является примером такого типа пляжа.
The approach of a hawk to its prey in classical pursuit, assuming the prey travels in a straight line. Their sharpest view is at an angle to their direction of flight; this angle is the same as the spiral's pitch. The approach of an insect to a light source. They are used to having the light source at a constant angle to their flight path. Usually the Sun (or Moon for nocturnal species) is the only light source and flying that way will result in a practically straight line. The arms of spiral galaxies. The Milky Way galaxy has several spiral arms, each of which is roughly a logarithmic spiral with pitch of about 12 degrees. However, although spiral galaxies have often been modeled as logarithmic spirals, Archimedean spirals, or hyperbolic spirals, their pitch angles vary with distance from the galactic center, unlike logarithmic spirals (for which this angle does not vary), and also at variance with the other mathematical spirals used to model them. The nerves of the cornea (this is, corneal nerves of the subepithelial layer terminate near superficial epithelial layer of the cornea in a logarithmic spiral pattern). The bands of tropical cyclones, such as hurricanes. Many biological structures including the shells of mollusks. In these cases, the reason may be construction from expanding similar shapes, as is the case for polygonal figures. Logarithmic spiral beaches can form as the result of wave refraction and diffraction by the coast. Half Moon Bay (California) is an example of such a type of beach.
В инженерных приложениях
Логарифмические спиральные антенны – это частотно-независимые антенны, то есть антенны, у которых диаграмма направленности, импеданс и поляризация остаются в значительной степени неизменными в широком диапазоне частот. При изготовлении механизмов с помощью оборудования для вычитания материала (например, лазерных резаков) может возникать потеря точности при изготовлении механизма на другом станке из-за разницы в количестве удаляемого материала (то есть, ширине реза) каждым станком в процессе резки. Для компенсации этой вариации ширины реза, свойство самоподобия логарифмической спирали используется для разработки механизма компенсации ширины реза для лазерных резаков. Зубчатые колеса с конической логарифмической спиралью – это тип конических зубчатых колес, у которых центральная линия зуба представляет собой логарифмическую спираль. Логарифмическая спираль имеет преимущество в обеспечении равных углов между центральной линией зуба и радиальными линиями, что повышает стабильность зубчатой передачи. В скалолазании пружинные эксцентрики (или "кулачки") изготавливаются из металлических кулачков, внешние захватывающие поверхности которых имеют форму дуг логарифмических спиралей. При вставке устройства в трещину в скале вращение этих кулачков расширяет их общую ширину, чтобы соответствовать ширине трещины, при этом сохраняя постоянный угол относительно поверхности скалы (относительно центра спирали, где прикладывается сила). Угол зацепления спирали выбирается для оптимизации трения устройства о скалу.