Введение
Точка, не лежащая между двумя другими точками.
В математике, крайняя точка выпуклого множества в реальном или комплексном векторном пространстве — это точка, которая не лежит ни в одном открытом отрезке, соединяющем две точки этого множества. В задачах линейного программирования крайняя точка также называется вершиной или угловой точкой множества.
Примеры
Если a и b – два действительных числа, то a и b являются экстремальными точками интервала [a, b]. Однако, открытый интервал (a, b) не имеет экстремальных точек. Любой открытый интервал в ℝ не имеет экстремальных точек, в то время как любой невырожденный замкнутый интервал, не равный ∅, имеет экстремальные точки (то есть концы замкнутого интервала). В более общем случае, любое открытое подмножество конечномерного евклидова пространства ℝⁿ не имеет экстремальных точек. Экстремальные точки замкнутого единичного диска в ℝ² – это единичная окружность. Периметр любого выпуклого многоугольника на плоскости является гранью этого многоугольника. Вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости являются экстремальными точками этого многоугольника. Инъективное линейное отображение переводит экстремальные точки выпуклого множества в экстремальные точки выпуклого множества. Это также верно для инъективных аффинных отображений.
Теорема Крейна-Милмана
Теорема Крейна-Милмана, пожалуй, одна из наиболее известных теорем об экстремальных точках.
Для пространств Банаха
Эти теоремы справедливы для пространств Банаха, обладающих свойством Радона-Никодима. Теорема Йорма Линденштрауса утверждает, что в пространстве Банаха с свойством Радона-Никодима непустое замкнутое и ограниченное множество имеет экстремальную точку. (В бесконечномерных пространствах свойство компактности сильнее, чем совместное свойство замкнутости и ограниченности.) Теорема Эдгара влечёт за собой теорему Линденштрауса.
Связанные понятия
Закрытое выпуклое подмножество топологического векторного пространства называется строго выпуклым, если каждая его (топологическая) граничная точка является крайней точкой. Единичный шар любого гильбертова пространства является строго выпуклым множеством.
К-крайние точки
Более общим образом, точка в выпуклом множестве является экстремальной, если она лежит во внутренней области выпуклого множества размерности *n* внутри, но не во внутренней области выпуклого множества размерности *n+1* внутри. Таким образом, экстремальная точка также является *n*-экстремальной точкой. Если это политоп, то экстремальные точки являются именно внутренними точками *n*-мерных граней. Более общим образом, для любого выпуклого множества экстремальные точки разбиваются на открытые *n*-мерные грани. Теорема Крейна–Мильмана для конечных размерностей, предложенная Минковским, может быть быстро доказана с использованием понятия экстремальных точек. Если множество замкнуто, ограничено и *n*-мерно, и если *x* – точка в этом множестве, то *x* является экстремальной для некоторого *n*. Теорема утверждает, что *x* является выпуклой комбинацией экстремальных точек. Если *x* является экстремальной точкой, то это очевидно. В противном случае *x* лежит на отрезке внутри множества, который можно максимально расширить (поскольку множество замкнуто и ограничено). Если концы этого отрезка – *a* и *b*, то их экстремальный ранг должен быть меньше, чем у *x*, и теорема следует по индукции.