Введение

В математике, векторное пространство линейных форм.

В математике, любое векторное пространство имеет соответствующее двойственное векторное пространство (или просто двойственное пространство для краткости), состоящее из всех линейных функционалов на этом пространстве вместе с векторной структурой, определяемой поточечным сложением и умножением на скаляры. Двойственное пространство, как определено выше, определяется для всех векторных пространств и, для избежания неоднозначности, может также называться алгебраическим двойственным пространством. Когда оно определяется для топологического векторного пространства, существует подпространство двойственного пространства, соответствующее непрерывным линейным функционалам, называемое непрерывным двойственным пространством. Двойственные векторные пространства находят применение во многих разделах математики, использующих векторные пространства, например, в тензорном анализе для конечномерных векторных пространств. При применении к пространствам функций (которые обычно бесконечномерны), двойственные пространства используются для описания мер, обобщенных функций и пространств Гильберта. Следовательно, двойственное пространство является важным понятием в функциональном анализе. Ранние термины для обозначения двойственного пространства включают polarer Raum [Hahn 1927], espace conjugué, adjoint space [Alaoglu 1940] и transponierter Raum [Schauder 1930] и [Banach 1932]. Термин "двойственный" был введен Бурбаки в 1938 году.

Алгебраическое двойное пространство

При заданном любом векторном пространстве над полем, (алгебраическое) двойственное пространство (также обозначаемое или ) определяется как множество всех линейных отображений (линейных функционалов). Поскольку линейные отображения являются гомоморфизмами векторных пространств, двойственное пространство может быть обозначено или . Эта пара определяет невырожденное билинейное отображение, называемое естественной парой.

Впрыск в двойной

Существует естественный гомоморфизм из в двойное двойственное пространство , определенный соотношением для всех . Иными словами, если – это карта оценки, определенная как , то определяется как отображение . Это отображение всегда инъективно; действительно, изоморфизм конечномерного векторного пространства с его двойственным двойственным пространством является архетипическим примером естественного изоморфизма. Бесконечномерные пространства Гильберта не изоморфны своим алгебраическим двойственным двойственным пространствам, а вместо этого – своим непрерывным двойственным двойственным пространствам.

Непрерывное двойное пространство

При работе с топологическими векторными пространствами особенно важны непрерывные линейные функционалы из пространства в базовое поле (или ). Это приводит к понятию "непрерывного двойственного пространства" или "топологического двойственного", которое является линейным подпространством алгебраического двойственного пространства, обозначаемым . Для любого конечномерного нормированного векторного пространства или топологического векторного пространства, такого как евклидово n-мерное пространство, непрерывное двойственное и алгебраическое двойственное совпадают. Однако это неверно для любого бесконечномерного нормированного пространства, что показано на примере разрывных линейных отображений. Тем не менее, в теории топологических векторных пространств термины "непрерывное двойственное пространство" и "топологическое двойственное пространство" часто заменяются термином "двойственное пространство". Для топологического векторного пространства его непрерывное двойственное пространство, или топологическое двойственное пространство, или просто двойственное пространство (в смысле теории топологических векторных пространств) определяется как пространство всех непрерывных линейных функционалов. Важными примерами непрерывных двойственных пространств являются пространство функций, быстро убывающих в бесконечности, и его двойственное пространство – пространство обобщенных функций (распределений); пространство произвольных тестовых функций и его двойственное пространство – пространство распределений с компактным носителем; и пространство быстро уменьшающихся тестовых функций – пространство Шварца, и его двойственное пространство – пространство умеренно растущих распределений в теории обобщенных функций.

Свойства

Если X является хаусдорфовым топологическим векторным пространством (TVS), то непрерывное сопряжённое пространство X совпадает с непрерывным сопряжённым пространством завершения X.

Дополнительные свойства

Если дуальное пространство нормированного пространства V является сепарабельным, то и само пространство V также сепарабельно. Обратное неверно: например, пространство ℓ¹ сепарабельно, но его дуальное пространство ℓ∞ не сепарабельно.