Введение

Нормированное векторное пространство, являющееся полным.
В математике, в частности в функциональном анализе, пространство Банаха (произносится ) — это полное нормированное векторное пространство. Таким образом, пространство Банаха — это векторное пространство с метрикой, позволяющей вычислять длину вектора и расстояние между векторами, и являющееся полным в том смысле, что любая последовательность Коши сходится к однозначно определенному пределу, принадлежащему этому пространству. Пространства Банаха названы в честь польского математика Стефана Банаха, который ввёл это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах совместно с Гансом Ханом и Эдуардом Хелли. Морис Рене Фреше первым использовал термин «пространство Банаха», а Банах, в свою очередь, ввёл термин «пространство Фреше». Пространства Банаха первоначально возникли из изучения функциональных пространств, проводившегося Гильбертом, Фреше и Риесом в начале XX века. Пространства Банаха играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа рассматриваемые пространства часто являются пространствами Банаха.

Линейные операторы, изоморфизмы

Если $X$ и $Y$ – нормированные пространства над одним и тем же полем, то множество всех непрерывных линейных отображений обозначается $\mathcal{B}(X, Y)$. В бесконечномерных пространствах не все линейные отображения непрерывны. Линейное отображение из нормированного пространства $X$ в другое нормированное пространство $Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено на замкнутом единичном шаре в $X$. Таким образом, векторному пространству $\mathcal{B}(X, Y)$ можно задать операторную норму.

Для пространства Банаха $X$, пространство $\mathcal{B}(X, Y)$ является пространством Банаха относительно этой нормы. В категорных контекстах иногда удобно ограничивать пространство функций между двумя пространствами Банаха только короткими отображениями; в этом случае пространство $\mathcal{B}(X, Y)$ вновь появляется как естественный бифунктор. Если $X$ – пространство Банаха, то $\mathcal{B}(X, X)$ образует унитальную алгебру Банаха, где операция умножения задается композицией линейных отображений. Если $X$ и $Y$ – нормированные пространства, они называются изоморфными нормированными пространствами, если существует линейное биективное отображение $T: X \to Y$ такое, что $T$ и его обратное $T^{-1}$ непрерывны. Если одно из пространств $X$ или $Y$ является полным (или рефлексивным, сепарабельным и т.д.), то и другое пространство также является полным (соответственно, рефлексивным, сепарабельным и т.д.). Два нормированных пространства $X$ и $Y$ изометрически изоморфны, если, кроме того, $T$ является изометрией, то есть $\|T(x)\| = \|x\|$ для всех $x \in X$. Расстояние Банаха — Мазура между двумя изоморфными, но не изометрическими пространствами $X$ и $Y$ дает меру того, насколько сильно отличаются пространства $X$ и $Y$.

Алгебры Банаха

Алгебра Банаха — это пространство Банаха над ℂ или ℝ вместе со структурой алгебры над ℂ, такой что операция умножения непрерывна. Существует эквивалентная норма на этой алгебре, для которой выполняется неравенство ||xy|| ≤ ||x||||y|| для всех x и y из этой алгебры.

Последовательность, слабая и слабая* компактность

Когда пространство является сепарабельным, единичный шар его сопряженного пространства слабой* компактен по теореме Банаха-Алаоглу и метризуем в слабой* топологии. Если сопряженное пространство сепарабельно, то слабая топология единичного шара пространства метризуема. Это справедливо, в частности, для сепарабельных рефлексивных пространств Банаха. Хотя слабая топология единичного шара не метризуема в общем случае, слабую компактность можно характеризовать с помощью последовательностей. Пространство Банаха рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая ограниченная последовательность в этом пространстве имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. Слабо компактное подмножество в пространстве Банаха является компактным в норме. Действительно, по теореме Эберлейна-Шмуляна каждая последовательность в этом подмножестве имеет слабо сходящиеся подпоследовательности, которые, благодаря свойству Шура, сходятся в норме.

Тип и котип

Один из способов классификации пространств Банаха — использование вероятностных понятий типа и котипа, которые характеризуют степень отличия пространства Банаха от пространства Гильберта.

Метрическая классификация

Если f — изометрия из банахова пространства X в банахово пространство Y (где X и Y — векторные пространства над полем ℝ), то теорема Мазура — Улама утверждает, что f должна быть аффинным преобразованием. В частности, если f отображает ноль из X в ноль из Y, то f должна быть линейной. Этот результат подразумевает, что метрика в банаховых пространствах, и в более общем случае в нормированных пространствах, полностью определяет их линейную структуру.

Топологическая классификация

Конечные размерные пространства Банаха гомеоморфны как топологические пространства тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность как вещественные векторные пространства. Теорема Андерсона — Кадека (1965–66) доказывает, что любые два бесконечномерных сепарабельных пространства Банаха гомеоморфны как топологические пространства. Теорема Кадека была обобщена Торонциком, который доказал, что любые два пространства Банаха гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характер плотности, то есть минимальную кардинальность плотного подмножества.

Деривативы

На пространстве Банаха можно определить несколько понятий производной. Подробности см. в статьях о производной Фреше и производной Гато. Производная Фреше позволяет расширить понятие полной производной на пространства Банаха. Производная Гато позволяет расширить понятие направленной производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Дифференцируемость по Фреше является более строгим условием, чем дифференцируемость по Гато. Квазипроизводная — это еще одно обобщение направленной производной, которое подразумевает более строгое условие, чем дифференцируемость по Гато, но менее строгое условие, чем дифференцируемость по Фреше.

Обобщения

Несколько важных пространств в функциональном анализе, например, пространство всех бесконечно дифференцируемых функций или пространство всех обобщенных функций на ℝ, являются полными, но не являются нормированными векторными пространствами и, следовательно, не пространствами Банаха. В пространствах Фреше сохраняется полнота метрики, а пространства LF являются полными однородными векторными пространствами, возникающими как пределы пространств Фреше.