Введение
В динамике жидкостей парадокс д’Алембера (или гидродинамический парадокс) — это противоречие, обнаруженное в 1752 году французским математиком Жаном Ле Роном д’Алембером. Д’Алембер доказал, что для несжимаемого и невязкого потенциального потока сила сопротивления равна нулю для тела, движущегося с постоянной скоростью относительно жидкости. Нулевое сопротивление напрямую противоречит наблюдаемому значительному сопротивлению при движении тел относительно жидкостей, таких как воздух и вода, особенно при высоких скоростях, соответствующих высоким числам Рейнольдса. Это частный случай парадокса обратимости. Д’Алембер, работая над задачей 1749 года Берлинской академии о сопротивлении потоку, заключил: «Мне представляется, что теория (потенциального потока), разработанная с максимальной строгостью, дает, по крайней мере, в некоторых случаях, строго исчезающее сопротивление — парадокс, который я оставляю будущим геометрам [то есть математикам, оба термина в то время использовались как взаимозаменяемые] для разъяснения». Физический парадокс указывает на недостатки теории. Таким образом, механика жидкостей с самого начала была поставлена под сомнение инженерами, что привело к, к сожалению, разделению между областью гидравлики, наблюдающей явления, которые не могли быть объяснены, и теоретической механикой жидкостей, объясняющей явления, которые не могли быть наблюдаемы, – по словам лауреата Нобелевской премии по химии сэра Сирила Хиншелвуда. Согласно научному консенсусу, возникновение парадокса обусловлено пренебрежением эффектами вязкости. В сочетании с научными экспериментами, в XIX веке были достигнуты значительные успехи в теории трения вязких жидкостей. В связи с этим парадоксом, это вылилось в открытие и описание тонких пограничных слоев Людвигом Прандтлем в 1904 году. Даже при очень высоких числах Рейнольдса тонкие пограничные слои сохраняются благодаря вязким силам. Эти вязкие силы вызывают сопротивление трению на обтекаемых телах, а для тел неправильной формы дополнительным результатом является отрыв потока и область пониженного давления позади тела, приводящие к сопротивлению формы. Распространенное мнение в сообществе специалистов по механике жидкостей заключается в том, что с практической точки зрения парадокс решен в соответствии с принципами, предложенными Прандтлем. Формальное математическое доказательство отсутствует и его трудно получить, как и во многих других задачах течения жидкости, связанных с уравнениями Навье — Стокса (которые используются для описания вязкого течения).
Вязкое трение: Сен-Венан, Навье и Стокс
Первые шаги к решению парадокса были сделаны Сент-Вененом, который смоделировал вязкое трение жидкости. Сент-Венант в 1847 году писал: "Но мы получаем иной результат, если вместо идеальной жидкости – объекта вычислений геометров прошлого столетия – использовать реальную жидкость, состоящую из конечного числа молекул и оказывающую в движении неравномерное давление или силы, имеющие компоненты, касательные к поверхностным элементам, через которые они действуют; компоненты, которые мы именуем трением жидкости, название, которое использовалось с времен Декарта и Ньютона и до Вентури". Вскоре после этого, в 1851 году, Стокс вычислил сопротивление сферы при течении Стокса, известное как закон Стокса. Течение Стокса – это предел малых чисел Рейнольдса уравнений Навье-Стокса, описывающих движение вязкой жидкости. Однако, при переходе к безразмерной форме, вязкие уравнения Навье-Стокса при возрастающих числах Рейнольдса сходятся к уравнениям Эйлера для несжимаемой жидкости, что указывает на то, что течение должно приближаться к решениям теории потенциального потока, характеризующимся нулевым сопротивлением, как и предсказывалось парадоксом Д’Алембера. Экспериментальные измерения сопротивления и визуализация течения не подтверждают этого. Во второй половине XIX века это вновь поставило под сомнение применимость механики жидкости.
"But one finds another result if, instead of an ideal fluid – object of the calculations of the geometers of the last century – one uses a real fluid, composed of a finite number of molecules and exerting in its state of motion unequal pressure forces or forces having components tangential to the surface elements through which they act; components to which we refer as the friction of the fluid, a name which has been given to them since Descartes and Newton until Venturi." Soon after, in 1851, Stokes calculated the drag on a sphere in Stokes flow, known as Stokes' law. Stokes flow is the low Reynolds number limit of the Navier–Stokes equations describing the motion of a viscous liquid. However, when the flow problem is put into a non dimensional form, the viscous Navier–Stokes equations converge for increasing Reynolds numbers towards the inviscid Euler equations, suggesting that the flow should converge towards the inviscid solutions of potential flow theory – having the zero drag of the d'Alembert paradox. Of this, there is no evidence found in experimental measurements of drag and flow visualisations. In the second half of the 19th century this again raised questions concerning the applicability of fluid mechanics.
Тонкие граничные слои: Prandtl
Немецкий физик Людвиг Прандтль предположил в 1904 году, что эффекты тонкого вязкого пограничного слоя могут быть источником значительного сопротивления. Прандтль выдвинул идею о том, что при высоких скоростях и высоких числах Рейнольдса условие отсутствия проскальзывания вызывает резкое изменение скорости потока в тонком слое вблизи стенки тела. Это приводит к генерации вихрений и вязкому рассеянию кинетической энергии в пограничном слое. Рассеяние энергии, отсутствующее в безвязких теориях, приводит к отрыву потока для тел обтекаемой формы. Низкое давление в области затекания вызывает сопротивление формы, которое может превышать сопротивление трения, обусловленное вязким напряжением сдвига на стенке.