Введение

В математике формальный закон группы — это (грубо говоря) формальный степенной ряд, который ведет себя так, как будто он является операцией умножения в группе Ли. Термин «формальная группа» иногда используется как синоним «формального закона группы», а иногда для обозначения одного из нескольких его обобщений. Формальные группы занимают промежуточное положение между группами Ли (или алгебраическими группами) и алгебрами Ли. Они применяются в алгебраической теории чисел и алгебраической топологии.

Инвариантный дифференциал

Когда F одномерно, его логарифм можно выразить через инвариантный дифференциал ω(t). Пусть — свободный модуль ранга 1 над символом dt. Тогда ω инвариантен относительно сдвигов, то есть, если мы запишем , то по определению . Если же рассмотреть разложение , то формула определяет логарифм F.

Формальное групповое кольцо формального группового права

Формальное кольцо группы формального закона группы является кокоммутативной алгеброй Хопфа, аналогичной кольцу группы группы и универсальной огибающей алгебре алгебры Ли, обе из которых также являются кокоммутативными алгебрами Хопфа. В общем случае кокоммутативные алгебры Хопфа ведут себя очень похоже на группы. Для простоты мы опишем одномерный случай; многомерный случай аналогичен, за исключением того, что обозначения становятся более сложными. Пусть F — (одномерный) формальный закон группы над R. Его формальное кольцо группы (также называемое гипералгеброй или ковариантной биалгеброй) — это кокоммутативная алгебра Хопфа H, построенная следующим образом. Как R-модуль, H свободен с базисом 1 = D(0), D(1), D(2), … Сопроизведение Δ задается формулой ΔD(n) = ΣD(i) ⊗ D(n−i) (так что дуальное к этой коалгебре является просто кольцом формальных степенных рядов). Коединица η задается коэффициентом при D(0). Тождество 1 = D(0). Антипод S отображает D(n) в (−1)ⁿD(n). Коэффициент при D(1) в произведении D(i)D(j) равен коэффициенту при xⁱyʲ в F(x,y). И наоборот, задав алгебру Хопфа, структура коалгебры которой задана выше, мы можем восстановить из нее формальный закон группы F. Таким образом, одномерные формальные законы группы по существу совпадают с алгебрами Хопфа, структура коалгебры которых задана выше.

Формальные групповые законы как функторы

Для n-мерного формального группового закона F над R и коммутативной R-алгебры S, мы можем построить группу F(S), базовым множеством которой является Nn, где N – множество нильпотентных элементов S. Операция произведения задается с помощью F для умножения элементов Nn; суть в том, что все формальные степенные ряды теперь сходятся, поскольку они применяются к нильпотентным элементам, и, следовательно, существует лишь конечное число ненулевых членов. Это делает F функтором с коммутативных R-алгебр S в группы. Мы можем расширить определение F(S) на некоторые топологические R-алгебры. В частности, если S является обратным пределом дискретных R-алгебр, мы можем определить F(S) как обратный предел соответствующих групп. Например, это позволяет нам определить F(Zp) со значениями в p-адических числах. Группозначный функтор F также может быть описан с помощью формального группового кольца H от F. Для упрощения предположим, что F является одномерным; общий случай аналогичен. Для любой кокоммутативной алгебры Хопфа элемент g называется группоподобным, если Δg = g ⊗ g и εg = 1, и группоподобные элементы образуют группу относительно умножения. В случае алгебры Хопфа формального группового закона над кольцом, группоподобные элементы – это именно элементы вида D(0) + D(1)x + D(2)x² + … для нильпотентных элементов x. В частности, мы можем отождествить группоподобные элементы H ⊗ S с нильпотентными элементами S, а групповая структура на группоподобных элементах H ⊗ S отождествляется с групповой структурой на F(S).

Формальные группы

Формальная группа — это групповой объект в категории формальных схем. Если — это функтор из алгебр Артина в группы, который является левосторонним точным, то он представим (G — это функтор точек формальной группы. (Левая точность функтора эквивалентна коммутативности с конечными проективными пределами). Если G — групповая схема, то формальное завершение G в единице имеет структуру формальной группы. Формальное завершение гладкой групповой схемы изоморфно. Некоторые называют групповую схему гладкой, если обратное утверждение верно; другие резервируют термин «формальная группа» для объектов, локально имеющих такой вид. Формальная гладкость утверждает существование поднятий деформаций и может применяться к формальным схемам, которые больше, чем точки. Гладкая формальная групповая схема является частным случаем формальной групповой схемы. Для заданной гладкой формальной группы можно построить формальный закон группы и поле, выбрав униформизирующее множество сечений. (Нестрогие) изоморфизмы между формальными законами групп, индуцированные изменением параметров, составляют элементы группы преобразований координат на формальной группе. Формальные группы и формальные законы групп также могут быть определены над произвольными схемами, а не только над коммутативными кольцами или полями, а семейства могут быть классифицированы посредством отображений из основания в параметризующий объект. Модульное пространство формальных законов групп является непересекающимся объединением бесконечномерных аффинных пространств, компоненты которых параметризованы размерностью, а точки — допустимыми коэффициентами степенного ряда F. Соответствующий модульный стек гладких формальных групп является частным от деления этого пространства по каноническому действию бесконечномерного группоида преобразований координат. Над алгебраически замкнутым полем подстек одномерных формальных групп является либо точкой (в характеристике ноль), либо бесконечной цепью стоковых точек, параметризующих высоты. В характеристике ноль замыкание каждой точки содержит все точки большей высоты. Это различие дает формальным группам богатую геометрическую теорию в положительной и смешанной характеристиках, со связями с алгеброй Стинрода, p-делимыми группами, теорией Диодонне и представлениями Галуа. Например, теорема Серра — Тата подразумевает, что деформации групповой схемы сильно контролируются деформациями ее формальной группы, особенно в случае сверхсингулярных абелевых многообразий. Для сверхсингулярных эллиптических кривых этот контроль является полным, что существенно отличается от ситуации в характеристике ноль, когда формальная группа не имеет деформаций. Формальная группа иногда определяется как кокоммутативная алгебра Хопфа (обычно с некоторыми дополнительными условиями, такими как острота или связность). Это в большей или меньшей степени двойственно вышеуказанному понятию. В гладком случае выбор координат эквивалентен выбору выделенного базиса формального кольца группы. Некоторые авторы используют термин «формальная группа» для обозначения формального закона группы.

Любин Тате формальные групповые законы

Пусть Zp – кольцо p-адических целых чисел. Формальный закон группы Любина — Тейта — это единственный (одномерный) формальный закон группы F, такой, что e(x) = px + xp является эндоморфизмом F, другими словами,

В более общем случае мы можем допустить, что e — любая степенная серия, такая, что e(x) = px + члены более высокой степени, и e(x) ≡ xp (mod p). Все законы группы для различных выборов e, удовлетворяющих этим условиям, строго изоморфны. Для каждого элемента a в Zp существует единственный эндоморфизм f формального закона группы Любина — Тейта, такой, что f(x) = ax + члены более высокой степени. Это задает действие кольца Zp на формальный закон группы Любина — Тейта. Существует аналогичная конструкция, в которой Zp заменяется любым полным дискретным кольцом оценки с конечным полем классов вычетов. Эта конструкция была введена в успешной попытке выделить локальную часть классической теории комплексного умножения эллиптических функций. Она также является важным компонентом в некоторых подходах к теории локальных классов поля и существенным элементом в построении теории Моравы E в хроматической гомотопической теории.