Гомологическая алгебра: раздел математики, изучающий гомологию и комплексы цепей. Основы заложены Пуанкаре и Гильбертом. Применение в топологии и алгебре.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Отрасль математики
Branch of mathematics
Гомологическая алгебра — это раздел математики, изучающий гомологию в общем алгебраическом контексте. Это относительно молодая дисциплина, корни которой уходят к исследованиям в комбинаторной топологии (предшественнице алгебраической топологии) и абстрактной алгебре (теории модулей и сизигий) в конце XIX века, главным образом благодаря работам Анри Пуанкаре и Давида Гильберта. Гомологическая алгебра изучает гомологические функторы и сложные алгебраические структуры, которые они порождают; её развитие тесно связано с возникновением теории категорий. Центральным понятием является понятие цепных комплексов, которые исследуются посредством их гомологии и когомологии. Гомологическая алгебра предоставляет средства для извлечения информации, содержащейся в этих комплексах, и представления её в виде гомологических инвариантов колец, модулей, топологических пространств и других "конкретных" математических объектов. Спектральная последовательность является мощным инструментом для этого. Она сыграла огромную роль в алгебраической топологии. Её влияние постепенно расширялось и в настоящее время охватывает коммутативную алгебру, алгебраическую геометрию, алгебраическую теорию чисел, теорию представлений, математическую физику, операторные алгебры, комплексный анализ и теорию дифференциальных уравнений в частных производных. K-теория — это самостоятельная дисциплина, использующая методы гомологической алгебры, как и некомутативная геометрия Алена Конна.
Homological algebra is the branch of mathematics that studies homology in a general algebraic setting. It is a relatively young discipline, whose origins can be traced to investigations in combinatorial topology (a precursor to algebraic topology) and abstract algebra (theory of modules and syzygies) at the end of the 19th century, chiefly by Henri Poincaré and David Hilbert. Homological algebra is the study of homological functors and the intricate algebraic structures that they entail; its development was closely intertwined with the emergence of category theory. A central concept is that of chain complexes, which can be studied through their homology and cohomology. Homological algebra affords the means to extract information contained in these complexes and present it in the form of homological invariants of rings, modules, topological spaces, and other "tangible" mathematical objects. A spectral sequence is a powerful tool for this. It has played an enormous role in algebraic topology. Its influence has gradually expanded and presently includes commutative algebra, algebraic geometry, algebraic number theory, representation theory, mathematical physics, operator algebras, complex analysis, and the theory of partial differential equations. K theory is an independent discipline which draws upon methods of homological algebra, as does the noncommutative geometry of Alain Connes.
История
Гомологическая алгебра начала изучаться в своей простейшей форме в 1800-х годах как область топологии, а в 1940-х годах выделилась в самостоятельную дисциплину с изучением объектов, таких как функторы Ext и Tor, и других.
Homological algebra began to be studied in its most basic form in the 1800s as a branch of topology and in the 1940s became an independent subject with the study of objects such as the ext functor and the tor functor, among others.
Длинный
Длинная точная последовательность — это точная последовательность, индексированная натуральными числами.
A long exact sequence is an exact sequence indexed by the natural numbers.
Пятая лемма
Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму в любой абелевой категории (например, в категории абелевых групп или в категории векторных пространств над заданным полем) или в категории групп. Пятая лемма утверждает, что если строки точны, m и p — изоморфизмы, l — эпиморфизм, а q — мономорфизм, то n также является изоморфизмом.
Consider the following commutative diagram in any abelian category (such as the category of abelian groups or the category of vector spaces over a given field) or in the category of groups. The five lemma states that, if the rows are exact, m and p are isomorphisms, l is an epimorphism, and q is a monomorphism, then n is also an isomorphism.