Введение

Инструменты для изучения групп, основанные на методах алгебраической топологии: гомологии и кохомологии группы.

В математике (в частности, в гомологической алгебре) групповая кохомология – это набор математических инструментов, используемых для изучения групп с помощью теории кохомологии, метода алгебраической топологии. Подобно групповым представлениям, групповая кохомология рассматривает действия группы G на ассоциированном G-модуле M, чтобы прояснить свойства группы. Рассматривая G-модуль как своего рода топологическое пространство, где элементы представляют n-симплексы, можно вычислить топологические свойства пространства, такие как множество групп кохомологий. Группы кохомологий, в свою очередь, дают представление о структуре самой группы G и G-модуля M. Групповая кохомология играет роль в исследовании фиксированных точек группового действия в модуле или пространстве, а также фактор-модуля или пространства относительно группового действия. Групповая кохомология используется в абстрактной алгебре, гомологической алгебре, алгебраической топологии и алгебраической теории чисел, а также в приложениях к самой теории групп. Как и в алгебраической топологии, существует двойственная теория, называемая групповой гомологией. Методы групповой кохомологии также можно расширить на случай, когда группа G действует не на G-модуле, а на неабелевой группе G; фактически, это обобщение понятия модуля на неабелевы коэффициенты. Эти алгебраические идеи тесно связаны с топологическими идеями. Групповая кохомология дискретной группы G является сингулярной кохомологией подходящего пространства, имеющего G в качестве своей фундаментальной группы, а именно соответствующего пространства Эйленберга — Маклейна. Таким образом, групповую кохомологию можно рассматривать как сингулярную кохомологию круга S¹, и аналогично для и .

Многое известно о кохомологии групп, включая интерпретации низкоразмерной кохомологии, функториальность и способы изменения групп. Исследования в области групповой кохомологии начались в 1920-х годах, оформились к концу 1940-х годов и продолжаются как область активных исследований по сей день.

Определения

Коллекция всех G-модулей образует категорию (морфизмы — это групповые гомоморфизмы f, удовлетворяющие условию для всех g из G и x из M). Отображение каждого модуля M в группу инвариантов задает функтор из категории G-модулей в категорию Ab абелевых групп. Этот функтор левосторонне точен, но не обязательно правосторонне точен. Поэтому мы можем построить его правопроизводные функторы. Их значения — абелевы группы, которые обозначаются как "n-я когомологическая группа G с коэффициентами в M". Более того, группа может быть отождествлена с .

H1

Первая группа когомологий — это фактор так называемых перекрестных гомоморфизмов, то есть отображений (множеств) f : G → M, удовлетворяющих условию f(ab) = f(a) + af(b) для всех a, b из G, по так называемым главным перекрестным гомоморфизмам, то есть отображениям f : G → M, заданным f(g) = gm − m для некоторого фиксированного m ∈ M. Это следует из определения коцепей, приведенного выше. Если действие G на M тривиально, то вышесказанное сводится к H¹(G, M) = Hom(G, M) — группе групповых гомоморфизмов G → M, поскольку перекрестные гомоморфизмы в этом случае являются обычными гомоморфизмами, а кограницы (то есть главные перекрестные гомоморфизмы) должны иметь образ, тождественно равный нулю: следовательно, существует только нулевая кограница. С другой стороны, рассмотрим случай, когда обозначает нетривиальную структуру на аддитивной группе целых чисел, которая отображает a в a для каждого a; и где мы рассматриваем как группу. Рассматривая все возможные случаи для образов , можно увидеть, что перекрестные гомоморфизмы составляют все отображения, удовлетворяющие условиям и для некоторого произвольного выбора целого числа t. Главные перекрестные гомоморфизмы должны дополнительно удовлетворять условию для некоторого целого числа m: следовательно, каждый перекрестный гомоморфизм, отображающий 1 в четное целое число, является главным, и поэтому: с операцией группы, представляющей собой поточечное сложение: , при этом является нейтральным элементом.

Кохомология группы конечной циклической группы

Для конечной циклической группы порядка с генератором , элемент в соответствующем кольце группы является делителем нуля, поскольку его произведение с , задается выражением . Это свойство можно использовать для построения разрешения тривиального модуля посредством комплекса, дающего вычисление групповой кохомологии для любого модуля. Обратите внимание, что расширяющее отображение наделяет тривиальный модуль его структурой посредством . Это разрешение позволяет вычислить групповую кохомологию, поскольку существует изоморфизм групп кохомологии, показывающий, что применение функтора к комплексу, указанному выше (с удаленным , поскольку это разрешение является квазиизоморфизмом), дает вычисление для . Например, если , то , и , следовательно, .

Явные коциклы

Коциклы для групповой кохомологии циклической группы могут быть явно заданы с использованием резольвенты Бар. Мы получаем полный набор образующих коциклов для нечетных *n* как отображения, заданные формулой для нечетных *n*, где ω — примитивный *n*-й корень из единицы, *K* — поле, содержащее *n*-е корни из единицы, и [x] — рациональное число, обозначающее наибольшее целое число, не превосходящее *x*. Также мы используем обозначение , где *g* — образующий для . Следует отметить, что для ненулевых четных индексов группы кохомологий тривиальны.

Использование разрешения

При заданном множестве ассоциированная свободная группа имеет явное разрешение тривиального модуля, которое можно легко вычислить. Заметим, что ядро отображения дополнения задается свободным подмодулем, порожденным множеством, то есть. Поскольку этот объект свободен, это дает разрешение, следовательно, групповую когомологию с коэффициентами в можно вычислить, применив функтор к комплексу , что дает. Это происходит потому, что двойственное отображение переводит любой модуль-морфизм в индуцированное отображение на , путем композиции с включением. Единственные отображения, которые переходят в , являются кратными отображению дополнения, что дает первую когомологическую группу. Вторая когомологическая группа может быть найдена, заметив, что остальные отображения могут быть сгенерированы базисом отображений, отправляющих в для фиксированного , и отправляющих в для любого .

Использование топологии

Групповую кохомологию свободных групп, порожденных буквами, можно легко вычислить, сравнив групповую кохомологию с ее интерпретацией в топологии. Напомним, что для каждой группы существует топологическое пространство, называемое классифицирующим пространством группы, которое обладает свойством: его топологическая кохомология изоморфна групповой кохомологии, что позволяет вычислять некоторые группы кохомологий. Отметим, что вместо можно использовать любую локальную систему, определяемую отображением для некоторой абелевой группы. В случае для букв, это представляется в виде клиновой суммы кругов, что можно показать, используя теорему Ван Кампена, получая тем самым групповую кохомологию.

Кохомология группы интегральной решетки

Для интегральной решетки ранга (следовательно, изоморфной к ), ее групповая кохомология может быть вычислена относительно легко. Во-первых, поскольку , а группа имеет , которые как абелевы группы изоморфны , групповая кохомология изоморфна интегральной кохомологии тора ранга .

Свойства

В дальнейшем, пусть M — G-модуль.

Изменение группы

Спектральная последовательность Хохшильда-Серре связывает кохомологию нормальной подгруппы N группы G и кохомологию факторгруппы G/N с кохомологией группы G (для (про)конечных групп G). Из нее вытекает точная последовательность инфляции и ограничения.

Полупрямые продукты групп

Существует способ вычисления полупрямого произведения групп, используя топологию фибраций и свойства пространств Эйленберга — Маклейна. Напомним, что для полупрямого произведения групп существует связанная с ним короткая точная последовательность групп. Используя соответствующие пространства Эйленберга — Маклейна, можно построить фибрацию Серре, которую можно пропустить через спектральную последовательность Серре. Это дает страницу, предоставляющую информацию о групповой когомологии из групповых когомологий. Отметим, что этот формализм может быть применен чисто группотеоретически, используя спектральную последовательность Линденбаума — Хохшильда — Серре.

Алгебраическая К-теория и гомология линейных групп

Алгебраическая K-теория тесно связана с групповой когомологией: в построении K-теории Куиллена, K-теория кольца R определяется как гомотопические группы пространства Здесь – бесконечная общая линейная группа. Пространство имеет ту же гомологию, что и , то есть групповая гомология GL(R). В некоторых случаях результаты об устойчивости утверждают, что последовательность групп когомологии

становится стационарной при достаточно больших n, тем самым сводя вычисление когомологии бесконечной общей линейной группы к вычислению когомологии некоторых . Такие результаты были установлены, когда R является полем или для колец целых чисел в числовом поле. Феномен, при котором групповая гомология ряда групп стабилизируется, называется гомологической стабильностью. Помимо только что упомянутого случая, это применимо к различным другим группам, таким как симметрические группы или группы классов отображений.

Кохомология топологических групп

При наличии топологической группы G, то есть группы, снабженной топологией, такой что умножение и взятие обратного являются непрерывными отображениями, естественно рассматривать непрерывные G-модули, то есть требовать, чтобы действие было непрерывным отображением. Для таких модулей можно снова рассмотреть производный функтор. Особый случай, возникающий в алгебре и теории чисел, — это когда G является проконечной, например, абсолютная группа Галуа поля. Получающаяся кохомология называется когомологией Галуа.