Введение

В математике теория K — это, грубо говоря, изучение кольца, порожденного векторными расслоениями над топологическим пространством или схемой. В алгебраической топологии она является теорией когомологий, известной как топологическая K-теория. В алгебре и алгебраической геометрии она называется алгебраической K-теорией. Это также фундаментальный инструмент в области операторных алгебр. Её можно рассматривать как изучение определенных видов инвариантов больших матриц. K-теория включает в себя построение семейств K-функторов, которые отображают топологические пространства или схемы в соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и в случае функторов в группы в алгебраической топологии, причина такого функториального отображения заключается в том, что некоторые топологические свойства легче вычислить по полученным кольцам, чем по исходным пространствам или схемам. Примеры результатов, полученных с помощью подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему об индексе Атия — Сингера и операции Адамса. В физике высоких энергий K-теория и, в частности, скрученная K-теория, появились в теории струн II типа, где было предположено, что они классифицируют D-браны, напряженности поля Рамонда — Рамонда, а также определенные спиноры на обобщенных комплексных многообразиях. В физике конденсированного состояния K-теория использовалась для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми. Подробности см. в статье K-теория (физика).

Группа Гротендика для компактных пространств Хаусдорфа

Учитывая компактное хаусдорфово пространство, рассмотрим множество классов изоморфизма конечномерных векторных расслоений над , обозначенное , и пусть класс изоморфизма векторного расслоения обозначается . Поскольку классы изоморфизма векторных расслоений хорошо ведут себя относительно прямых сумм, мы можем записать эти операции над классами изоморфизма следующим образом:

Должно быть ясно, что является абелевой моноидной, где единицей служит тривиальное векторное расслоение. Затем мы можем применить завершение Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этой абелевой моноиды. Это называется K-теорией и обозначается . Мы можем использовать теорему Серра — Свана и некоторую алгебру, чтобы получить альтернативное описание векторных расслоений над кольцом непрерывно-значных комплексных функций как проективных модулей. Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и сформировать абелеву моноиду. Ее завершение Гротендика также называют . Одним из основных методов вычисления группы Гротендика для топологических пространств является спектральная последовательность Атия — Хирзебруха, которая делает ее очень доступной. Единственные вычисления, необходимые для понимания спектральных последовательностей, — это вычисление группы для сфер, стр. 51–110.

Группа Гротендика векторных пучков в алгебраической геометрии

Существует аналогичная конструкция, рассматривающая векторные расслоения в алгебраической геометрии. Для ноетерианской схемы существует множество всех классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений на . Затем, как и ранее, прямая сумма классов изоморфизма векторных расслоений определена однозначно, образуя абелеву моноиду. Далее, группа Гротендика определяется применением конструкции Гротендика к этой абелевой моноиде.

Ранняя история

Можно сказать, что эта тема берет начало в работах Александра Гротендика (1957), который использовал ее для формулировки своей теоремы Гротендика — Римана — Роха. Название происходит от немецкого слова Klasse, означающего «класс». Гротендику необходимо было работать с когерентными пучками на алгебраическом многообразии X. Вместо непосредственной работы с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков в качестве образующих группы, с одним соотношением, отождествляющим любое расширение двух пучков с их суммой. Полученная группа называется K(X), если используются только локально свободные пучки, или G(X), если используются все когерентные пучки. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика; K(X) обладает кохомологическим поведением, а G(X) — гомологическим. Если X — гладкое многообразие, то обе группы совпадают. Если X — гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляемы, поэтому для группы существует альтернативное определение. В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атия и Фридрих Хирцебрух определили K(X) для топологического пространства X в 1959 году и, используя теорему о периодичности Ботта, сделали ее основой для необычной теории когомологий. Она сыграла важную роль во втором доказательстве теоремы об индексе Атия — Сингера (около 1962 года). Более того, этот подход привел к развитию некоммутативной K-теории для C*-алгебр. Еще в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал аналогию между векторными расслоениями и проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, утверждающей, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов свободен; это утверждение верно, но было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Свона — еще один аспект этой аналогии.)

События

Другим историческим источником алгебраической K-теории были работы Дж. Х. К. Уайтхеда и других, посвященные тому, что впоследствии стало известно как торсия Уайтхеда. За этим последовал период, в течение которого существовало множество частных определений функторов высшей K-теории. Наконец, в 1969 и 1972 годах Дэниел Квиллен дал два полезных и эквивалентных определения, используя теорию гомотопий. Фридхельм Вальдхаузен предложил вариант для изучения алгебраической K-теории пространств, что связано с исследованием псевдоизотопий. Значительная часть современных исследований в области высшей K-теории связана с алгебраической геометрией и изучением мотивной когомологии. Соответствующие построения, включающие вспомогательную квадратичную форму, получили общее название L-теории. Она является важным инструментом теории хирургии. В теории струн классификация K-теоретических напряженностей полей Рамонда — Рамонда и зарядов стабильных D-бран была впервые предложена в 1997 году.

K0 поля

Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки для поля. Поскольку векторный расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, которое является свободным объектом в категории когерентных пучков, а следовательно, проективным, моноид классов изоморфизма соответствует размерности векторного пространства. Нетрудно показать, что группа Гротендика в этом случае равна .

K0 артинианской алгебры над полем

Одно из важных свойств группы Гротендика ноэтерианской схемы заключается в том, что она инвариантна относительно редукции, следовательно, группа Гротендика любой артинианской алгебры является прямой суммой копий ℤ, по одной для каждого связного компонента её спектра. Например,

K0 из проективного пучка

Другая важная формула для группы Гротендика — формула проективного расслоения: для векторного расслоения ранга r над нётеровой схемой , группа Гротендика проективного расслоения является свободным модулем ранга r с базисом . Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика для . Это делает возможным вычисление группы Гротендика для или поверхностей Хирцебруха. Кроме того, её можно использовать для вычисления группы Гротендика , заметив, что это проективное расслоение над полем .

K0 из единичных пространств и пространств с изолированными коэффициентами единичности

Один из недавних методов вычисления группы Гротендика пространств с незначительными сингулярностями основан на оценке разности между и , что обусловлено тем, что каждый векторный расслоение может быть эквивалентно описано как когерентный пучок. Это делается с использованием группы Гротендика категории сингулярностей из производной некомутативной алгебраической геометрии. Она дает длинную точную последовательность, начинающуюся с

где старшие члены происходят из высшей K-теории. Следует отметить, что векторные расслоения на сингулярном пространстве задаются векторными расслоениями на гладком месте. Это позволяет вычислить группу Гротендика на взвешенных проективных пространствах, поскольку они обычно имеют изолированные частные сингулярности. В частности, если эти сингулярности имеют группы изотропии , то отображение

является инъективным, а коядро аннигилируется элементом для страницы 72 алгебраической K-теории. Для регулярной схемы конечного типа над полем существует сходящаяся спектральная последовательность

для множества точек коразмерности , то есть множества подсхем коразмерности , и алгебраического поля функций подсхемы. Эта спектральная последовательность обладает свойством