Тетрация: Итеративное возведение в степень

Введение

Арифметическая операция повторяющаяся тетрация

В математике тетрация (или гипер-4) — это операция, основанная на многократном, или повторяющемся, возведении в степень. Стандартной нотации для тетрации не существует, хотя нотация стрелки вверх Кнута и левый показатель xb являются распространёнными. Согласно определению как повторяющееся возведение в степень, означает , где n копий числа a последовательно возводятся в степень справа налево, то есть операция возведения в степень применяется n раз. Число n называется "высотой" функции, а число a — "основанием", по аналогии с возведением в степень. Это читается как "тетрация a высоты n". Это следующая гипероперация после возведения в степень, но перед пентацией. Термин был придуман Рубеном Луисом Гудштейном от слова "тетра" (четыре) и "итерация". Тетрация также определяется рекурсивно, что позволяет пытаться расширить её на не натуральные числа, такие как действительные и комплексные числа. Две обратные функции тетрации называются суперкорнем и суперлогарифмом, по аналогии с корнем n-й степени и логарифмической функцией. Ни одна из этих трёх функций не является элементарной. Тетрация используется для записи очень больших чисел.

Введение

Здесь показаны первые четыре гипероперации, причём тетрация считается четвёртой в серии. Операция следования, определяемая как , считается нулевой операцией. Сложение – это n копий 1, добавленных к a, полученному посредством следования. Умножение – это n копий a, объединённых посредством сложения. Возведение в степень – это n копий a, объединённых посредством умножения. Тетрация – это n копий a, объединённых посредством возведения в степень, справа налево. Обратите внимание, что вложенные степени обычно интерпретируются сверху вниз: a^{b^c} означает a^{\left(b^c \right)}, а не \left(a^b \right)^c. Операция следования, , является самой базовой операцией; в то время как сложение является первичной операцией, для сложения натуральных чисел оно может рассматриваться как последовательное применение операции следования к ; умножение также является первичной операцией, хотя для натуральных чисел оно аналогично может рассматриваться как последовательное сложение, включающее чисел. Возведение в степень можно рассматривать как последовательное умножение, включающее чисел, а тетрацию – как последовательное возведение в степень, включающее чисел. Каждая из вышеперечисленных операций определяется итерацией предыдущей; однако, в отличие от предшествующих операций, тетрация не является элементарной функцией. Параметр называется основанием, а параметр – высотой. В первоначальном определении тетрации параметр высоты должен быть натуральным числом; например, было бы нелогично сказать «три возвести в себя в минус пятую степень» или «четыре возвести в себя в половину степени». Однако, так же как сложение, умножение и возведение в степень могут быть определены способами, позволяющими расширить их на действительные и комплексные числа, было предпринято несколько попыток обобщить тетрацию на отрицательные числа, действительные числа и комплексные числа. Один из способов сделать это – использовать рекурсивное определение тетрации; для любого положительного действительного и неотрицательного целого , мы можем определить рекурсивно как: (обобщение рекурсивного представления основания, используемого в теореме Гудштейна, для использования операций более высокого порядка), получило широкое распространение. Оно также было популяризировано в книге Руди Ракера «Бесконечность и разум». Термин «суперэкспоненциация» был опубликован Бромером в его статье «Суперэкспоненциация» в 1987 году. Ранее он использовался Эдом Нельсоном в его книге «Предикативная арифметика», Princeton University Press, 1986. Термин «гиперстепень» – это естественное сочетание «гипер» и «степень», которое точно описывает тетрацию. Проблема заключается в значении «гипер» по отношению к последовательности гиперопераций. При рассмотрении гиперопераций термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» – к рангу 4, то есть тетрации. Следовательно, при таких соображениях «гиперстепень» вводит в заблуждение, поскольку она относится только к тетрации. Термин «башня степеней» иногда используется в форме «башня степеней порядка n». Возведение в степень легко может быть неправильно истолковано: обратите внимание, что операция возведения в степень является правоассоциативной (см. ниже). Тетрация – это итерированное возведение в степень (назовём эту правоассоциативную операцию ^), начиная с верхнего правого угла выражения с экземпляром a^a (назовём это значение c). Возведение в степень следующего a слева (назовём это «следующим основанием» b) означает работу влево после получения нового значения b^c. Двигаясь влево, используйте следующее a слева в качестве основания b и вычислите новое b^c. «Спускайтесь по башне», поочередно, с новым большим значением для c на следующем шаге вниз. Отчасти из-за общей терминологии и схожей нотационной символики тетрацию часто путают со связанными функциями и выражениями. Вот несколько связанных терминов: +Термины, связанные с тетрацией Терминология ФормаТетрацияИтерированные степениВложенные степени (также башни) Бесконечные степени (также башни) В первых двух выражениях a является основанием, а количество появлений a – это высота (добавьте один для x). В третьем выражении n – это высота, но каждое из оснований отличается. Следует соблюдать осторожность при упоминании итерированных степеней, поскольку выражения этой формы часто называют итерированным возведением в степень, что неоднозначно, поскольку это может означать итерированные степени или итерированные экспоненты.

The first four hyperoperations are shown here, with tetration being considered the fourth in the series. The unary operation succession, defined as , is considered to be the zeroth operation. Addition n copies of 1 added to a combined by succession. Multiplication n copies of a combined by addition. Exponentiation n copies of a combined by multiplication. Tetration n copies of a combined by exponentiation, right to left. Note that nested exponents are conventionally interpreted from the top down: a^{b^c} means a^{\left(b^c \right)} and not \left(a^b \right)^c. Succession, , is the most basic operation; while addition is a primary operation, for addition of natural numbers it can be thought of as a chained succession of successors of ; multiplication is also a primary operation, though for natural numbers it can analogously be thought of as a chained addition involving numbers of Exponentiation can be thought of as a chained multiplication involving numbers of and tetration as a chained power involving numbers Each of the operations above are defined by iterating the previous one; however, unlike the operations before it, tetration is not an elementary function. The parameter is referred to as the base, while the parameter may be referred to as the height. In the original definition of tetration, the height parameter must be a natural number; for instance, it would be illogical to say "three raised to itself negative five times" or "four raised to itself one half of a time." However, just as addition, multiplication, and exponentiation can be defined in ways that allow for extensions to real and complex numbers, several attempts have been made to generalize tetration to negative numbers, real numbers, and complex numbers. One such way for doing so is using a recursive definition for tetration; for any positive real and non negative integer , we can define recursively as: (generalizing the recursive base representation used in Goodstein's theorem to use higher operations), has gained dominance. It was also popularized in Rudy Rucker's Infinity and the Mind. The term superexponentiation was published by Bromer in his paper Superexponentiation in 1987. It was used earlier by Ed Nelson in his book Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986. The term hyperpower is a natural combination of hyper and power, which aptly describes tetration. The problem lies in the meaning of hyper with respect to the hyperoperation sequence. When considering hyperoperations, the term hyper refers to all ranks, and the term super refers to rank 4, or tetration. So under these considerations hyperpower is misleading, since it is only referring to tetration. The term power tower is occasionally used, in the form "the power tower of order n" for Exponentiation is easily misconstrued: note that the operation of raising to a power is right associative (see below). Tetration is iterated exponentiation (call this right associative operation ^), starting from the top right side of the expression with an instance a^a (call this value c). Exponentiating the next leftward a (call this the 'next base' b), is to work leftward after obtaining the new value b^c. Working to the left, consume the next a to the left, as the base b, and evaluate the new b^c. 'Descend down the tower' in turn, with the new larger value for c on the next downward step. Owing in part to some shared terminology and similar notational symbolism, tetration is often confused with closely related functions and expressions. Here are a few related terms:

+Terms related to tetration Terminology FormTetrationIterated exponentialsNested exponentials (also towers)Infinite exponentials (also towers)

In the first two expressions a is the base, and the number of times a appears is the height (add one for x). In the third expression, n is the height, but each of the bases is different. Care must be taken when referring to iterated exponentials, as it is common to call expressions of this form iterated exponentiation, which is ambiguous, as this can either mean iterated powers or iterated exponentials.

Примеры

Из-за чрезвычайно быстрого роста тетрации большинство значений в следующей таблице слишком велико, чтобы записывать их в научной нотации. В этих случаях для выражения их в основании 10 используется итерированная экспоненциальная нотация. Значения, содержащие десятичную точку, являются приблизительными. +Примеры тетрации 1 1 1 1 1 1 1 2 4 (2) 16 (2) 65 536 (2) 2,00353 × 10 (10) 3 27 (3) 7 625 597 484 987 (3) (1,25801 × 10 ) 4 256 (4) 1,34078 × 10 (4) (10) 5 3 125 (5) 1,91101 × 10 (5) (10) 6 46 656 (6) 2,65912 × 10 (6) (10) 7 823 543 (7) 3,75982 × 10 (782 3543) (3,17742 × 10 цифр) 8 16 777 216 (8) 6,01452 × 10 (5,43165 × 10 цифр) 9 387 420 489 (9) 4,28125 × 10 (4,08535 × 10 цифр) 10 10 000 000 000 (10) 10 (10 + 1 цифра) Примечание: Если x не отличается от 10 на порядки величины, то, например, в приведенной выше таблице, и разница еще меньше для следующих строк.

Расширения

Тетрация может быть расширена двумя различными способами; в уравнении и основание *a*, и высота *n* могут быть обобщены, используя определение и свойства тетрации. Хотя основание и высота могут быть расширены за пределы неотрицательных целых чисел в различные области, включая вещественные числа, комплексные функции, такие как, и высоты бесконечного *n*, более ограниченные свойства тетрации снижают возможности её расширения.

База нуль

Экспонента определена не всегда однозначно. Следовательно, тетрации не определены чётко формулой, представленной ранее. Однако, определена и существует:

Таким образом, мы могли бы последовательно определить . Это аналогично определению . При таком расширении, , поэтому правило из исходного определения остаётся в силе.

Комплексные высоты

Теперь доказано, что существует уникальная функция F, которая является решением уравнения 1=F(z + 1) = exp(F(z)) и удовлетворяет дополнительным условиям: 1=F(0) = 1, F(z) стремится к фиксированным точкам логарифма (приблизительно 0,318 ± 1,337i) при z, стремящемся к ±i∞, и F голоморфна во всей комплексной плоскости z, за исключением части вещественной оси при z ≤ −2. Это доказательство подтверждает предыдущую гипотезу. Конструкция такой функции была впервые продемонстрирована Кнезером в 1950 году. Комплексное отображение этой функции показано на рисунке справа. Доказательство также работает для других оснований, отличных от e, при условии, что основание больше единицы. Последующие работы расширили конструкцию на все комплексные основания. Требование голоморфности тетрации важно для её уникальности. Многие функции S могут быть построены в виде

где α и β – вещественные последовательности, убывающие достаточно быстро для обеспечения сходимости ряда, по крайней мере, при умеренных значениях Im z. Функция S удовлетворяет уравнениям тетрации 1=S(z + 1) = exp(S(z)), 1=S(0) = 1, и если αn и βn достаточно быстро стремятся к 0, она будет аналитической в окрестности положительной вещественной оси. Однако, если некоторые элементы последовательностей {α} или {β} не равны нулю, то функция S имеет множество дополнительных сингулярностей и разрезов в комплексной плоскости из-за экспоненциального роста синуса и косинуса вдоль мнимой оси; чем меньше коэффициенты {α} и {β}, тем дальше эти сингулярности от вещественной оси. Расширение тетрации на комплексную плоскость, таким образом, необходимо для её уникальности; вещественно-аналитическая тетрация не является уникальной.

Неэлементарная рекурсивность

Тетрация (ограниченная до ) не является элементарной рекурсивной функцией. Можно доказать индукцией, что для каждой элементарной рекурсивной функции f существует константа c, такая что

Обозначим правую часть как . Предположим противного, что тетрация является элементарной рекурсивной. Тогда также является элементарной рекурсивной. По вышеуказанному неравенству, существует константа c, такая что. Подставляя , получим , что является противоречием.

Обратные операции

Экспоненцирование имеет две обратные операции: корни и логарифмы. Аналогично, обратными к тетрации часто называют суперкорень и суперлогарифм (на самом деле, все гипероперации, начиная с третьей, имеют аналогичные обратные); например, для функции , двумя обратными операциями являются суперкорень третьей степени из y и суперлогарифм по основанию y от x.

Другие суперкорни

Для каждого целого числа n > 2 функция определена и возрастает для x ≥ 1 и , так что n-й суперкорень x, , существует для x ≥ 1. Одной из простейших и быстрейших формул для суперкореня третьей степени является рекурсивная формула, если: 1=x^(x^(x)) = a, а следующий 1=x^(n+1) = exp(W(W(x^(n) * ln(a)))), например 1=x^(0) = 1. Однако, если использовать линейное приближение выше, то если −1 < y ≤ 0, то не может существовать. Подобно квадратному суперкорню, терминология для других суперкорней может основываться на обычных корнях: "кубические суперкорни" можно выразить как ; "четвертый суперкорень" можно выразить как ; и "n-й суперкорень" – это . Следует отметить, что может быть не определен однозначно, поскольку может существовать более одного n-го корня. Например, x имеет один (вещественный) суперкорень, если n нечетно, и до двух, если n четно. Как и в случае расширения тетрации до бесконечной высоты, суперкорень можно расширить до 1=n = ∞, при этом он будет хорошо определен, если 1/e ≤ x ≤ e. Обратите внимание, что и, следовательно, когда он хорошо определен, и, в отличие от обычной тетрации, является элементарной функцией. Например, из теоремы Гельфонда — Шнайдера следует, что суперкорень для любого положительного целого числа n является либо целым, либо трансцендентным, а также является либо целым, либо иррациональным. Неизвестно, является ли рациональным для любого положительного целого числа n и положительного нецелого рационального числа q. Например, неизвестно, является ли положительный корень уравнения рациональным числом. Неизвестно, рациональны они или нет.