Қайталама дәрежелеу амалы

Кіріспе

Арифметикалық операция – қайталанған тетрация. Математикада тетрация (немесе гипер-4) – қайталанған экспоненциалдауға негізделген операция. Тетрацияны белгілеу үшін стандартты жазу тәсілі жоқ, бірақ Кнуттың жоғары қарай жебе белгісі және сол жақтан экспонента xb жиі қолданылады. Қайталанған экспоненциалдау бойынша анықтамасы бойынша , a-ның n данасы экспоненциалдау арқылы оңнан солға қайталанады, яғни экспоненциалдау n рет қолданылады. n – функцияның "биіктігі", ал a – "негізі" деп аталады, бұл экспоненциалдауға ұқсас. Оны "a-ның n-ші тетрациясы" деп оқылады. Бұл экспоненциалдаудан кейінгі, бірақ пентациядан бұрынғы келесі гипер операция. Бұл сөзді Рубен Луис Гудштейн "тетра" (төрт) және итерация сөздерінен тудырған. Тетрация рекурсивті түрде де анықталады, бұл тетрацияны нақты және кешенді сандар сияқты натурал емес сандарға кеңейтуге мүмкіндік береді. Тетрацияның екі кері функциясы – супер түбір және супер логарифм, олар n-ші түбір және логарифмдік функцияларға ұқсас. Бұл үш функцияның ешқайсысы да элементарлық функцияларға жатпайды. Тетрация өте үлкен сандарды жазу үшін қолданылады.

Кіріспе

Бірінші төрт гипероперация мұнда көрсетілген, тетрация осы қатардың төртіншісі болып саналады. Бірлік операциясының ізбасары , деп анықталады, бұл нөлдік операция болып саналады. Қосу – ізбасар арқылы біріктірілген бірліктердің n данасын қосу. Көбейту – қосу арқылы біріктірілген n дана. Экспоненталау – көбейту арқылы біріктірілген n дана. Тетрация – экспоненталау арқылы біріктірілген n дана, оңнан солға қарай. Ұялы экспоненттер әдетте жоғарыдан төмен қарай түсіндіріледі: a^{b^c} a^{\left(b^c \right)} дегенді білдіреді, ал емес \left(a^b \right) ^c. Ізбасар , – ең қарапайым операция; қосу – бастапқы операция, бірақ натурал сандарды қосу жағдайында оны ; ізбасарларының тізбегі ретінде қарастыруға болады; көбейту де бастапқы операция, бірақ натурал сандар үшін оны сандардың қосындысы ретінде қарастыруға болады. Экспоненталауды сандардың көбейтуінің тізбегі ретінде, ал тетрацияны қуаттардың тізбегі ретінде қарастыруға болады. Жоғарыда аталған операциялардың әрқайсысы алдыңғысын қайталау арқылы анықталады; алайда, одан бұрынғы операциялардан айырмашылығы, тетрация элементарлық функция емес. Параметрді негіз деп атайды, ал екінші параметрді биіктік деп атауға болады. Тетрацияның бастапқы анықтамасында биіктік параметрі натурал сан болуы керек; мысалы, «үштің өзіне минус бес рет көтерілгенін» немесе «төрттің өзіне жарты рет көтерілгенін» айту логикалық емес. Дегенмен, қосу, көбейту және экспоненталауды нақты және кешен сандарға кеңейтуге мүмкіндік беретін анықтамалар бар, сондықтан тетрацияны теріс сандарға, нақты сандарға және кешен сандарға жалпылауға бірнеше әрекеттер жасалды. Мұны істеудің бір жолы тетрация үшін рекурсивті анықтаманы қолдану: кез келген оң нақты сан және теріс емес бүтін сан үшін біз былайша рекурсивті анықтай аламыз: (Гудштейн теоремасында қолданылатын жоғары операцияларға рекурсивті негізді жалпылау) бұл басымдыққа ие болды. Бұл Руди Раккердің «Шексіздік және Ақыл» кітабында да танымал болды. «Суперэкспоненциация» термині Бромер 1987 жылы жариялаған «Суперэкспоненциация» атты мақаласында пайда болды. Оны Эд Нельсон 1986 жылы «Предикативтік арифметика» кітабында, Принстон университетінің баспасында бұрын қолданған. «Гиперқуат» термині – «гипер» және «қуат» сөздерінің табиғи үйлесімі, ол тетрацияны дұрыс сипаттайды. Мәселе гипероперациялар тізбегінде «гипер» сөзінің мағынасында жатыр. Гипероперацияларды қарастырғанда «гипер» термині барлық дәрежелерді білдіреді, ал «супер» термині 4-ші дәрежеге, яғни тетрацияға жатады. Осыған байланысты «гиперқуат» сөзі шатастырады, өйткені ол тек тетрацияға қатысты. «Қуат мұнарасы» термині кейде «n-реттік қуат мұнарасы» түрінде қолданылады. Экспоненталау оңай қате түсіндірілуі мүмкін: күшті көтеру операциясы оңнан ассоциативті екенін ескеріңіз (төменде қараңыз). Тетрация – итерацияланған экспоненталау (осы оңнан ассоциативті операцияны ^ деп атайық), өрнектің жоғарғы оң жағынан a^a мысалымен басталады (осы мәнді c деп атайық). Келесі солға қарай а экспоненталау (осы «келесі негізді» b деп атайық) жаңа b^c мәнін алғаннан кейін солға қарай жұмыс істеуді білдіреді. Солға қарай жұмыс істеп, сол жақтағы келесі а-ны b негізі ретінде қабылдап, жаңа b^c-ны есептеңіз. «Мұнарадан төмен түсіп», келесі төменгі қадамда c үшін жаңа үлкен мәнмен жалғастырыңыз. Біршама ортақ терминология мен ұқсас белгілік символикаға байланысты тетрация жиі осымен байланысты функциялар мен өрнектермен шатастырылады. Міне, бірнеше байланысты терминдер: +Тетрациямен байланысты терминдер Терминология ТүріТетрацияИтерацияланған экспоненталарКірістелген экспоненталар (сонымен қатар мұнаралар)Шексіз экспоненталар (сонымен қатар мұнаралар) Алғашқы екі өрнекте a – негіз, ал a санының қайталану саны – биіктік (x үшін бірлік қосыңыз). Үшінші өрнекте n – биіктік, бірақ әр негіз әртүрлі. Итерацияланған экспоненталарға қатысты сақ болу керек, өйткені бұл өрнектерді итерацияланған экспоненталау деп атау жиі кездеседі, бұл екіұшты, өйткені бұл итерацияланған қуаттарды немесе итерацияланған экспоненталарды білдіруі мүмкін.

The first four hyperoperations are shown here, with tetration being considered the fourth in the series. The unary operation succession, defined as , is considered to be the zeroth operation. Addition n copies of 1 added to a combined by succession. Multiplication n copies of a combined by addition. Exponentiation n copies of a combined by multiplication. Tetration n copies of a combined by exponentiation, right to left. Note that nested exponents are conventionally interpreted from the top down: a^{b^c} means a^{\left(b^c \right)} and not \left(a^b \right)^c. Succession, , is the most basic operation; while addition is a primary operation, for addition of natural numbers it can be thought of as a chained succession of successors of ; multiplication is also a primary operation, though for natural numbers it can analogously be thought of as a chained addition involving numbers of Exponentiation can be thought of as a chained multiplication involving numbers of and tetration as a chained power involving numbers Each of the operations above are defined by iterating the previous one; however, unlike the operations before it, tetration is not an elementary function. The parameter is referred to as the base, while the parameter may be referred to as the height. In the original definition of tetration, the height parameter must be a natural number; for instance, it would be illogical to say "three raised to itself negative five times" or "four raised to itself one half of a time." However, just as addition, multiplication, and exponentiation can be defined in ways that allow for extensions to real and complex numbers, several attempts have been made to generalize tetration to negative numbers, real numbers, and complex numbers. One such way for doing so is using a recursive definition for tetration; for any positive real and non negative integer , we can define recursively as: (generalizing the recursive base representation used in Goodstein's theorem to use higher operations), has gained dominance. It was also popularized in Rudy Rucker's Infinity and the Mind. The term superexponentiation was published by Bromer in his paper Superexponentiation in 1987. It was used earlier by Ed Nelson in his book Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986. The term hyperpower is a natural combination of hyper and power, which aptly describes tetration. The problem lies in the meaning of hyper with respect to the hyperoperation sequence. When considering hyperoperations, the term hyper refers to all ranks, and the term super refers to rank 4, or tetration. So under these considerations hyperpower is misleading, since it is only referring to tetration. The term power tower is occasionally used, in the form "the power tower of order n" for Exponentiation is easily misconstrued: note that the operation of raising to a power is right associative (see below). Tetration is iterated exponentiation (call this right associative operation ^), starting from the top right side of the expression with an instance a^a (call this value c). Exponentiating the next leftward a (call this the 'next base' b), is to work leftward after obtaining the new value b^c. Working to the left, consume the next a to the left, as the base b, and evaluate the new b^c. 'Descend down the tower' in turn, with the new larger value for c on the next downward step. Owing in part to some shared terminology and similar notational symbolism, tetration is often confused with closely related functions and expressions. Here are a few related terms:

+Terms related to tetration Terminology FormTetrationIterated exponentialsNested exponentials (also towers)Infinite exponentials (also towers)

In the first two expressions a is the base, and the number of times a appears is the height (add one for x). In the third expression, n is the height, but each of the bases is different. Care must be taken when referring to iterated exponentials, as it is common to call expressions of this form iterated exponentiation, which is ambiguous, as this can either mean iterated powers or iterated exponentials.

Мысалдар

Тетрацияның өте жылдам өсуіне байланысты, келесі кестедегі көптеген мәндерді ғылыми жазу түрінде жазу мүмкін емес. Мұндай жағдайларда, оларды 10-дық негізде көрсету үшін итеративті экспоненциалдық жазу қолданылады. Ондық бөлшегі бар мәндер шамамен берілген. +Тетрация мысалдары 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 (2) 16 (2) 65,536 (2) 2.00353 × 10 (10) 3 27 (3) 7,625,597,484,987 (3) (1.25801 × 10 ) 4 256 (4) 1.34078 × 10 (4) (10) 5 3,125 (5) 1.91101 × 10 (5) (10) 6 46,656 (6) 2.65912 × 10 (6) (10) 7 823,543 (7) 3.75982 × 10 (7823,543) (3.17742 × 10 цифр) 8 16,777,216 (8) 6.01452 × 10 (5.43165 × 10 цифр) 9 387,420,489 (9) 4.28125 × 10 (4.08535 × 10 цифр) 10 10,000,000,000 (10) 10 (10 + 1 цифр) Ескерту: Егер x мәні 10-нан шамамен айырмашылығы болмаса, онда, мысалы, жоғарыдағы кестеде, ал келесі қатарларда бұл айырмашылық одан да аз болады.

Ұзартулар

Тетрацияны екі түрлі жолмен кеңейтуге болады; теңдеудегі а негізін де, n биіктігін де тетрацияның анықтамасы мен қасиеттерін қолдана отырып, жалпылауға болады. Негіз бен биіктіктің екеуін де нөл емес бүтін сандардан асып, нақты сандар, кешенді функциялар сияқты түрлі салаларға, сондай-ақ шексіз n биіктіктеріне дейін кеңейтуге болғанымен, тетрацияның салыстырмалы шектеулі қасиеттері тетрацияны кеңейту мүмкіндігін төмендетеді.

Базасы нөл

Экспонента тұрақты түрде анықталмаған. Сондықтан, тетрациялар бұрын берілген формула бойынша нақты анықталмайды. Дегенмен, жақсы анықталған және бар: Осылайша, біз оны тұрақты түрде анықтай аламыз. Бұл осы кеңейту арқылы анықтауға ұқсас, сондықтан бастапқы анықтамадағы қағида әлі де сақталады.

Күрделі биіктіктер

Қазір F функциясының бар екендігі дәлелденді, ол 1=F(z + 1) = exp(F(z)) теңдеуінің шешімі болып табылады және 1=F(0) = 1 және F(z) логарифмнің тұрақты нүктелеріне (шамамен 0,318 ± 1,337i) z ±i∞-ға жақындаған кезде жақындасады, сондай-ақ F z-дің бүкіл кешенді жазықтығында голоморфты болып табылады, z ≤ -2-дегі нақты осьтің бөлігінен басқа. Бұл дәлел бұрынғы болжамды растайды. Мұндай функция құрылысын алғаш рет 1950 жылы Кнезер көрсетті. Бұл функцияның кешенді картасы оң жақтағы суретте көрсетілген. Дәлел e-ден басқа негіздер үшін де жұмыс істейді, егер негіз e-ден үлкен болса. Кейінгі жұмыстар құрылысты барлық кешенді негіздерге дейін кеңейтті. Тетрацияның голоморфты болуы оның бірегейлігі үшін маңызды. Көптеген S функцияларын α және β – нақты тізбектер ретінде құруға болады, олар серияның жуысуын қамтамасыз ету үшін жеткілікті жылдам азаяды, кем дегенде Im z орташа мәндерінде. S функциясы тетрация теңдеулерін қанағаттандырады: 1=S(z + 1) = exp(S(z)), 1=S(0) = 1, және егер αn және βn 0-ға жеткілікті жылдам жақындасса, ол оң нақты осьтің маңындағы аналитикалық болады. Алайда, егер {α} немесе {β} элементтерінің бірі де нөл болмаса, онда S функциясы кешенді жазықтықта көптеген қосымша сингулярлықтар мен кесу сызықтарына ие болады, себебі синус және косинус қиял осі бойымен экспоненциалды өседі; {α} және {β} коэффициенттері неғұрлым кіші болса, осы сингулярлықтар шын осіден соғұрлым алыс болады. Сондықтан тетрацияның кешенді жазықтыққа кеңейтілуі бірегейлік үшін маңызды; нақты аналитикалық тетрация бірегей емес.

Элементар емес рекурсивтілік

Тетрация (шешілген жағдайда) элементар рекурсивті функция емес. Индукция арқылы дәлелдеуге болады, кез келген элементар рекурсивті f функциясы үшін c тұрақты саны бар, осындай

Осы жақ бөлігін біз деп белгілейміз. Егер тетрация элементар рекурсивті болса деп есептейік. онда да элементар рекурсивті болады. Жоғарыдағы теңсіздік бойынша, c тұрақты саны бар, сондықтан . -ні таңдасақ, , қарама-қайшылыққа әкеледі.

Кері операциялар

Экспоненциалдық есептеудің екі кері амалы бар: түбірлер мен логарифмдер. Сол сияқты, тетрацияның кері амалдары көбінесе супер түбір және супер логарифм деп аталады (Шындығында, 3-ке тең немесе одан жоғары гипероперациялардың барлығында ұқсас кері амалдар бар); мысалы, функцияда y-дың кубтық супер түбірі және x-тің y негізді супер логарифмі екі кері амал болып табылады.

Басқа супер тамырлар

Әрбір n > 2 бүтін саны үшін функция анықталған және x ≥ 1 үшін өспелі, және , сондықтан x-тің n-ші супер түбірі, x ≥ 1 үшін бар. Үшінші дәрежелі супер түбірдің қарапайым және жылдам формулаларының бірі рекурсивті формула, егер: 1=x^(x^(x)) = a, ал келесі 1=x^(n + 1) = exp(W(W(x^(n) * ln(a)))), мысалы 1=x^(0) = 1. Алайда, егер жоғарыда көрсетілген сызықтық жуықтау қолданылса, онда егер −1 < y ≤ 0 болса, онда бола алмайды. Төрткіш супер түбір сияқты, басқа супер түбірлер үшін терминология қалыпты түбірлерге негізделуі мүмкін: "кубтық супер түбірлер" ретінде көрсетілуі мүмкін; "4-ші супер түбір" ретінде көрсетілуі мүмкін; және "n-ші супер түбір" - бұл бірегей анықталмауы мүмкін, өйткені бірден көп n түбір болуы мүмкін. Мысалы, x-тің бір (нақты) супер түбірі бар, егер n тақ болса, ал екіге дейін, егер n жұп болса. Тетрацияны шексіз биіктікке кеңейту сияқты, супер түбірді 1=n = ∞-ға кеңейтуге болады, егер 1/e ≤ x ≤ e болса, жақсы анықталады. Сондықтан, және осылайша, жақсы анықталған кезде және қалыпты тетрациядан айырмашылығы, бұл элементар функция. Мысалы,
Gelfond–Schneider теоремасынан кез келген оң бүтін n үшін супер түбір бүтін немесе трансценденттік сан, ал бүтін немесе иррационалды сан болады. Кез келген оң бүтін n және оң, бүтін емес рационал q үшін рационал болатыны белгісіз. Мысалы, теңдеуінің оң түбірі рационал сан екені белгісіз. немесе рационал сандар екені белгісіз.